Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{7}9=m\iff 9=7^m$ (với $7>0$, $7\ne 1$, $9>0$). Do đó đáp án là A. Các phương án B, C, D đều sai vì viết sai cơ số, số mũ hoặc vị trí của $m$ trong biểu thức lũy thừa.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2026^x$ với cơ số $2026>0$, $2026\ne 1$ xác định với mọi số thực $x$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{123}(4x)$ xác định khi $4x>0$, tức $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Xét các đáp án: $2023>1$ (đồng biến), $0<0,3<1$ (nghịch biến), $\sqrt{\pi }>1$ (đồng biến), $2>1$ (đồng biến). Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y=0,3^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định: $x>0$ nên $D=(0;+\infty )\ne \mathbb{R}$ → Sai. b) Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) Thay $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$ → Đúng. d) Cắt $y=1$: ${\log }_{4}x=1\iff x=4\ne 3$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$ nên $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x-1)$ xác định khi $x-1>0$, tức $x>1$. Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$, suy ra $a=1$. Do đó $a^3+2=1^3+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, ta có ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$. Ví dụ kiểm tra: ${\log }_{2}8=3\iff 2^3=8$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a\ne 1$ (và để các logarit có nghĩa cần $b\ne 1$):
- A: ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b$ — đúng theo tính chất lũy thừa của logarit.
- B: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, chứ không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ với $a=2,b=4$: ${\log }_{2}4=2$ còn $-{\log }_{4}2=-\frac{1}{2}$, không bằng nhau. Vậy B sai.
- C: ${\log }_{a^3}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^3}=\frac{1}{3}{\log }_{a}b$ — đúng.
- D: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a={\log }_{a}b\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}=1$ — đúng.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến là hàm số có cơ số $a$ thỏa $0<a<1$. Các hàm $y=5^x$, $y=e^x$ là hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến; $y=\log x$ có cơ số $10>1$ nên đồng biến. Riêng $y={\log }_{0,8}x$ có cơ số $0<0,8<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Lôgarit thập phân là lôgarit với cơ số 10, ký hiệu $\log A$ (tức ${\log }_{10}A$). Với số thực $A$ dương, lôgarit thập phân là $\log A$. Các đáp án khác: $\ln A$ là lôgarit tự nhiên (cơ số $e$), ${\log }_{2}A$ và ${\log }_{3}A$ là lôgarit với cơ số 2 và 3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_7\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{7}a-{\log }_{7}b$ với $a,b>0$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A) $y={\left(\sqrt{2}+1\right)}^x$ có cơ số $a=\sqrt{2}+1>0$ và $a\ne 1$, biến $x$ ở số mũ, đây là hàm số mũ. B) $y=(x+1{)}^2$ là hàm số lũy thừa (biến ở cơ số). C) $y=x^{\sqrt{5}-1}$ cũng là hàm số lũy thừa. D) $y=\log x$ là hàm số lôgarit. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_7{7}^5=5{\log }_{7}7=5\cdot 1=5$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^{2}b)={\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b=2+{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các đáp án: $\frac{2024}{2025}<1$ (nghịch biến), $0,5<1$ (nghịch biến), $\sqrt{3}>1$ (đồng biến), $\frac{1}{\pi }<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ là $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$, ta có $\log (a^3{b}^2)=\log a^3+\log b^2=3\log a+2\log b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$: $\log (a{b}^2)=\log a+\log b^2=\log a+2\log b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(1;3)$ và đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên có dạng $y=a^x$ với $a>1$ và $a^1=3\Rightarrow a=3$. Vậy hàm số là $y=3^x$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các đáp án: A có $a=\frac{2}{5}<1$ (nghịch biến), B có $a=\frac{1}{3}<1$ (nghịch biến), C có $a=2005>1$ (đồng biến), D là hàm hằng $y=2022$ (không đồng biến). Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y=2005^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $\frac{\pi }{4}\approx 0,785<1$ nên $y={\left(\frac{\pi }{4}\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$; còn $e>1$, $2022>1$, $2>1$ nên các hàm $y=e^x$, $y=2022^x$, $y=2^x$ đều đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chọn A.