Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{B}=180^{\circ }-46^{\circ }-43^{\circ }=91^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ nên $b=\frac{6\cdot \sin 91^{\circ }}{\sin 46^{\circ }}\approx \frac{6\cdot 0,9998}{0,7193}\approx 8,34\approx 8,3$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$: góc $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AC}{\sin 60^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 75^{\circ }}$, nên $AC=\frac{50\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 75^{\circ }}=\frac{50\cdot \frac{\sqrt{6}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{50\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\approx 44,8$ m. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{0,5}=12\Rightarrow R=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh 1, góc $\widehat{ADC}=120^{\circ }$. Hai góc kề trong hình thoi bù nhau nên $\widehat{DAB}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Diện tích hình thoi bằng tích hai cạnh kề nhân sin góc giữa chúng: $S=AB\cdot AD\cdot \sin \widehat{DAB}=1\cdot 1\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=2, b=7, C=20°.

- Định lí cosin: c² = a² + b² − 2ab·cos C = 4 + 49 − 28·cos20° ≈ 53 − 26,3114 = 26,6886 ⇒ c ≈ 5,1661 ≈ 5,17. Khẳng định d đúng.
- Định lí sin: sin B = b·sin C / c = 7·sin20° / 5,1661 ≈ 7·0,34202/5,1661 ≈ 0,46343. Vì b = 7 là cạnh lớn nhất nên B là góc lớn nhất ⇒ B = 180° − arcsin(0,46343) ≈ 180° − 27,61° = 152,39°. Khẳng định c đúng.
- A = 180° − 20° − 152,39° = 7,61° ⇒ cos A ≈ cos 7,61° ≈ 0,9912 ≈ 0,99. Khẳng định a đúng.
- Diện tích: S = ½·a·b·sin C = ½·2·7·sin20° ≈ 7·0,34202 ≈ 2,39 ≠ 9,58. Khẳng định b sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A = 180° − 20° − 152,39° = 7,61° nên cos A ≈ 0,9912 ≈ 0,99. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·a·b·sin C = ½·2·7·sin20° ≈ 2,39 ≠ 9,58. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin B = 7·sin20°/5,1661 ≈ 0,46343; vì b là cạnh lớn nhất nên B = 180° − 27,61° = 152,39°. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
c² = 4 + 49 − 28·cos20° ≈ 26,6886 ⇒ c ≈ 5,17. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=5, b=c=6. Nửa chu vi p=(5+6+6)/2=8,5=17/2, nên khẳng định a) p=17 SAI (17 là chu vi, không phải nửa chu vi). Diện tích theo công thức Heron: S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))=√((17/2)(7/2)(5/2)(5/2))=√(2975/16)=(5√119)/4, nên b) ĐÚNG. Bán kính nội tiếp r=S/p=(5√119/4)/(17/2)=(5√119)/34, nên c) r=(5√119)/68 SAI. Bán kính ngoại tiếp R=abc/(4S)=(5·6·6)/(4·(5√119/4))=36/√119=(36√119)/119, nên d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(5+6+6)/2=17/2=8,5 ≠ 17 (17 là chu vi).
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√((17/2)(7/2)(5/2)(5/2))=√(2975/16)=5√119/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
r=S/p=(5√119/4)÷(17/2)=5√119/34 ≠ 5√119/68.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=180/(5√119)=36/√119=36√119/119.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: $\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-43^{\circ }=61^{\circ }$ (đúng). Theo định lý sin: $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{7\sin 43^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx \frac{7\cdot 0,6820}{0,9703}\approx 4,92$ (đúng); $c=\frac{7\sin 61^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx \frac{7\cdot 0,8746}{0,9703}\approx 6,31$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4,92\cdot \sin 61^{\circ }\approx 15,06\ne 30,12$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-43^{\circ }=61^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}ab\sin C\approx \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4,92\cdot \sin 61^{\circ }\approx 15,06\ne 30,12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$b=\frac{7\sin 43^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx 4,92$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c=\frac{7\sin 61^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx 6,31$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \cos 120°=36+100+60=196$. Vậy $BC=14$ m.

b) Vì $A,B,C$ nằm trên bờ hồ (đường tròn tâm $O$), theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R$, nên $R=\frac{14}{2\sin 120°}=\frac{14}{\sqrt{3}}\approx 8,08$ m. Làm tròn: $R\approx 8$ m và đường kính $d=2R\approx 16$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 102: Cho tam giác $ABC$ với $AB=6$, $AC=8$, góc $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=100+48=148,$$
$$BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.$$

Nửa chu vi: $p=\frac{6+8+2\sqrt{37}}{2}=7+\sqrt{37}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})\cdot (-1)$$

Tính lại cẩn thận: $\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}\cdot \frac{\sqrt{37}-7}{\sqrt{37}-7}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=12\sqrt{3}(7-\sqrt{37})/12$... đúng ra:
$$r=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=-\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)=\sqrt{3}(7-\sqrt{37}).$$

Vì $\sqrt{37}\approx 6,083<7$ nên $r=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 12,124-10,536\approx 1,59>0$, hợp lí.

Kết luận: $S=12\sqrt{3}$; $BC=2\sqrt{37}$; $r=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 1,59$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 103: Cho tam giác ABC với $a=8$, $b=10$, $c=13$.

a) Áp dụng định lí côsin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+100-169}{2\cdot 8\cdot 10}=\frac{-5}{160}=-\frac{1}{32}<0$. Vậy góc C là góc tù, tức tam giác ABC có một góc tù (góc C).

b) Từ $\cos C=-\frac{1}{32}$ ta có $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{1024}}=\frac{\sqrt{1023}}{32}$. Theo định lí sin: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}}=\frac{208}{\sqrt{1023}}=\frac{208\sqrt{1023}}{1023}\approx 6,50$.

c) Diện tích: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}=\frac{5\sqrt{1023}}{4}\approx 40,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $C=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$, với $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

- $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.
- $c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}+1$.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{2}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.
- Diện tích: $S=\frac{abc}{4R}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $a=\sqrt{6},c=\sqrt{3}+1,R=\sqrt{2},S=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos A=\frac{3}{5}$ với $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$.
Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, suy ra $a=4\sqrt{2}$.
Đường cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
Kết luận: $h_a=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ và $S=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ac\sin B$. Với $B=135^{\circ }$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $S=\frac{1}{2}ac\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=2R$. Với $B=135^{\circ }$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $2R=\frac{b}{\sqrt{2}/2}=b\sqrt{2}$, suy ra $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$. Vậy đáp án B. (A đúng về bản chất vì $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $\frac{a}{\sin A}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$, nên $b=7$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{4+6+8}{2}=9$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$. Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 35\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$. Đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$, ý a) đúng. Vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$, ý b) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$, ý c) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$ vì $0<A<\pi$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{8}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a=21,b=17,c=10$: nửa chu vi $p=\frac{21+17+10}{2}=24$ (đúng). Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)}=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$ (đúng). Đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8\ne 4$ (sai). Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{21+17+10}{2}=24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b=7,c=5,\cos A=\frac{3}{5}$: vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ (đúng). Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ (sai). Bán kính ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54\ne 4-\sqrt{2}\approx 2,59$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$ vì $0<A<\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{8/5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne 4-\sqrt{2}$.