Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

Ta có
$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }}=7$; $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=10\sqrt{3}$ (0,25 điểm).
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AH\cdot BC\iff 10\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot AH\iff AH=\frac{20\sqrt{3}}{7}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin đúng là $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên phát biểu ở C (có $\frac{b}{\cos B}$) là sai. Các phát biểu A (công thức Heron), B (định lý cosin), D (công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$) đều đúng. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $AB=AC\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=2\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với góc $C=60^{\circ }$, $CA=200$ m, $CB=180$ m: $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos 60^{\circ }=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \frac{1}{2}=40000+32400-36000=36400$. Suy ra $AB=\sqrt{36400}\approx 190,79$ m, làm tròn đến hàng đơn vị ta được $AB\approx 191$ m. Kết quả trùng với đáp án nguồn (191).

Theo hướng dẫn chấm:
1. Tính góc $\hat{C}$: Trong tam giác ABC, ta có tổng ba góc bằng $180^{\circ }$. $\hat{C}=180^{\circ }-(\hat{A}+\hat{B})=180^{\circ }-(45^{\circ }+70^{\circ })=180^{\circ }-115^{\circ }=65^{\circ }$. (0,25 điểm)
2. Tính độ dài cạnh $a$ (Áp dụng Định lí sin): $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
Tính cạnh $a$: $a=c\cdot \frac{\sin A}{\sin C}=12\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}=>a\approx 12\cdot \frac{0.7071}{0.9063}\approx 9.36\approx 9$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot \cos 120^0=52-48\cdot (-\frac{1}{2})=52+24=76$. Suy ra $a=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, nên $a=7$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 15: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{A}=70^{\circ }$, $\hat{C}=50^{\circ }$ nên $\hat{B}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 44,2\approx 44$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn (44).

Theo hướng dẫn chấm:
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{6+10+14}{2}=15cm$ (0.25 điểm)
Áp dụng công thức Herong ta có: $S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{15(15-6)(15-10)(15-14)}=15\sqrt{3}(c{m}^2)$ (đvdt). (0.5 điểm)
Độ dài đường cao: $AH=\frac{2S}{BC}=\frac{2.15\sqrt{3}}{14}=\frac{15\sqrt{3}}{7}\approx 3,7cm$. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=8, c=5, B=60°. a) Sai: định lí cosin cho cạnh b là b² = a² + c² − 2ac·cos B (góc đối diện cạnh b là B, không phải A). b) Sai: b² = 8² + 5² − 2·8·5·cos60° = 64 + 25 − 40 = 49 nên b = 7 ≠ 6. c) Đúng: diện tích tam giác S = (1/2)ac·sin B. d) Đúng: S = (1/2)·8·5·sin60° = 20·(√3/2) = 10√3. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 102: aS; bS; cĐ; dĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: b² = a² + c² − 2ac·cos B (góc đối diện cạnh b là B), không phải cos A.
b) (AI giải đề cho tôi)
b² = 64 + 25 − 2·8·5·cos60° = 49 nên b = 7 ≠ 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích S = (1/2)ac·sin B đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = (1/2)·8·5·sin60° = 10√3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=2R$, nên $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin 150^{\circ }}=\frac{8}{2\cdot \frac{1}{2}}=8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 102, Câu 3 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi p = (5+6+7)/2 = 9. Diện tích theo công thức Heron: S = √(9·4·3·2) = √216 = 6√6 ≈ 14,6969... ≈ 14,7. Kết quả khớp với đáp án nguồn 14,7.

Xét tam giác ABC có: $AB=c=15cm$, $BC=a=18cm$, $\hat{B}=120^{\circ }$. $A{C}^2=b^2=a^2+c^2-2.a.c.\cos B=15^2+18^2-\mathrm{2.15.18.}\cos 120^{\circ }=819$. $AC=\sqrt{819}\approx 28,62(m)$. Số tiền là: $\sqrt{819}\times 18.000\approx 515.164$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu trong tam giác $ABC$ với các ký hiệu quen thuộc ($a=BC$, $b=CA$, $c=AB$):
- A: Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}a\cdot c\cdot \sin B$ (vì $B$ là góc giữa hai cạnh $a=BC$ và $c=AB$). Đúng.
- B: Công thức Heron đúng là $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, thiếu thừa số $p$, nên sai.
- C: Ta có $S=p\cdot r$ (không phải $pR$), nên sai.
- D: Ta có $S=\frac{abc}{4R}$ (không phải $4r$), nên sai.
Vậy phát biểu đúng là A, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos 120^{\circ }=74+35=109$, nên $a=\sqrt{109}\approx 10,44$. a) Sai vì thiếu bình phương: $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$, không phải $a=b^2+c^2-2bc\cos A$. b) Sai vì $a=\sqrt{109}\ne 7$. c) Đúng theo công thức diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. d) Sai vì $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{35\sqrt{3}}{2}\ne 35\sqrt{3}$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin cho $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}$, mệnh đề thiếu bình phương nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-70\cos 120^{\circ }=74+35=109\Rightarrow a=\sqrt{109}\approx 10,44\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ là đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{35\sqrt{3}}{2}\ne 35\sqrt{3}$, nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{2\cdot 0,5}=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3 Phần III: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}\approx 26,83\approx 26,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 26,8.

Xét tam giác ABC có: $AB=c=15m$, $BC=a=18m$, $\hat{B}=120^{\circ }$. $A{C}^2=b^2=a^2+c^2-2.a.c.\cos B=15^2+18^2-\mathrm{2.15.18.}\cos 120^{\circ }=819$. $AC=\sqrt{819}\approx 28,62(m)$. Số tiền là: $\sqrt{819}\times 20.000\approx 572.440$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó $\sin A=\frac{a}{2R}$ (A đúng), $\frac{a}{\sin A}=2R$ (D đúng), và từ $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$ suy ra $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$ (C đúng). Khẳng định B sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung; đúng phải là $\frac{b}{\sin B}=2R$. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Từ đó: A đúng vì $\sin C=\frac{c\sin A}{a}$; C đúng; D đúng vì $\sin A=\frac{a}{2R}$. Khẳng định B sai vì $b\sin B=2R{\sin }^{2}B\ne 2R$ nói chung (đúng phải là $b=2R\sin B$). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 10: B).