Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức diện tích tam giác ABC với $BC=a,AC=b,AB=c$:
- A: $S=\frac{1}{2}ab\sin A$ sai, vì $a,b$ lần lượt đối diện $A,B$; công thức đúng phải là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$.
- B: $S=\frac{abc}{2R}$ sai; công thức đúng là $S=\frac{abc}{4R}$.
- C: $S=\frac{1}{2}pr$ sai; công thức đúng là $S=pr$ (vì $S$ bằng tổng diện tích ba tam giác tạo bởi tâm đường tròn nội tiếp: $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=pr$).
- D: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ đúng, vì $b=AC,c=AB$ kề góc $A$, diện tích bằng nửa tích hai cạnh kề nhân sin góc xen giữa.
Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ABC: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó đáp án B. Các phương án A sai dấu, C và D dùng sai góc tương ứng với cạnh $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$ (với $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$): $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là phương án A. Các phương án B, C, D sai vì góc trong công thức phải đối diện với cạnh $a$, tức là góc $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Xét từng phương án: A sai vì $a^2=b^2-c^2-2bc\cos A$ không đúng (dấu và số hạng sai). B sai vì $a^2=b^2+c^2-2ab\cos A$ (phải là $2bc\cos A$, không phải $2ab$). C sai vì $a^2=b^2+c^2-2bc\cos C$ (góc phải là $A$, nếu là $C$ thì công thức đúng là $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$). D đúng: áp dụng định lí cosin cho cạnh $b$ và góc đối diện $B$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$. Vậy $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$, nên $b=7$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin tại đỉnh C: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C=3+4-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }$. Vì $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $A{B}^2=7+4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=7+6=13$, suy ra $AB=\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có $a=6,b=8,c=10$ thỏa mãn $6^2+8^2=36+64=100=10^2$, nên là tam giác vuông tại $A$ (đỉnh đối diện cạnh $c=10$). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 4a\cdot \sin 120^{\circ }=4a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2a^2\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{4+6+8}{2}=9$. Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$. Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 35\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$. Đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$, ý a) đúng. Vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$, ý b) đúng. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$, ý c) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$ vì $0<A<\pi$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14\ne 7$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{\frac{8}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne \frac{3\sqrt{2}}{2}$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a=21,b=17,c=10$: nửa chu vi $p=\frac{21+17+10}{2}=24$ (đúng). Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)}=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$ (đúng). Đường cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8\ne 4$ (sai). Bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$p=\frac{21+17+10}{2}=24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\sqrt{24\cdot 3\cdot 7\cdot 14}=\sqrt{7056}=84$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h_a=\frac{2S}{a}=\frac{168}{21}=8\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\frac{84}{24}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b=7,c=5,\cos A=\frac{3}{5}$: vì $0<A<\pi$ nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$ (đúng). Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-42=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$ (sai). Bán kính ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot \frac{4}{5}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,54\ne 4-\sqrt{2}\approx 2,59$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$ vì $0<A<\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=32\Rightarrow a=4\sqrt{2}\ne 3\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{4\sqrt{2}}{8/5}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\ne 4-\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Suy ra $A=60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+5^2-2\cdot 2\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=4+25-20\cdot \frac{1}{2}=29-10=19$. Vậy $BC=\sqrt{19}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-28}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$.

Vì $MC=2MB$ và $BC=6$ nên $MB=2$, $MC=4$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABM$:
$$A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2\cdot AB\cdot BM\cdot \cos B=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=12.$$
Vậy $AM=2\sqrt{3}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $b(b^2-a^2)=c(a^2-c^2)$, chuyển vế: $b^3-a^{2}b=a^{2}c-c^3\Rightarrow b^3+c^3=a^2(b+c)\Rightarrow (b+c)(b^2-bc+c^2)=a^2(b+c)$. Vì $b+c>0$ nên $a^2=b^2-bc+c^2$. Mặt khác định lí cosin tại góc $A$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Suy ra $-bc=-2bc\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{1}{2}\Rightarrow A=60^{\circ }$. Vậy góc $BAC=60^{\circ }$, chọn C.