Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin 120^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=25\Rightarrow a=5$. Sau đó $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{25+64-25}{80}=\frac{4}{5}\Rightarrow \sin C=\frac{3}{5}$. Chiều cao $h_a=b\sin C=8\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{5}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 3600 − 2·40·60·(1/2) = 2800, nên BC = √2800 = 20√7 ≈ 52,92 hải lí. Kết quả gần nhất với 53 hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cây vuông góc với mặt đất, tam giác ABH vuông tại H nên AB = √(AH² + HB²) = √(16+400) = 4√26 ≈ 20,396 m. Góc AB tạo với phương ngang: tan = 4/20 = 0,2 nên góc ≈ 11,31°. Do BC (cây) thẳng đứng, góc ABC = 90° − 11,31° = 78,69°. Trong tam giác ABC: góc A = 45°, góc C = 180° − 45° − 78,69° = 56,31°. Theo định lý sin: BC = AB·sin45°/sin C = 20,396·0,7071/0,8321 ≈ 17,33 m. Giá trị gần nhất là 17,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-40=49\Rightarrow BC=7$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=10\sqrt{3}\ne 10$ (sai). Bán kính ngoại tiếp $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ (đúng). Nửa chu vi $p=\frac{7+8+5}{2}=10$, bán kính nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49\Rightarrow BC=7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \sin 60^{\circ }=10\sqrt{3}\ne 10$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$p=10$, $r=\frac{S}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Cho $\Delta ABC$ với $a=BC=12$, $b=CA=15$, $c=AB=13$, nửa chu vi $p=\frac{12+15+13}{2}=20$.

a) Theo định lí cosin:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{225+169-144}{2\cdot 15\cdot 13}=\frac{250}{390}=\frac{25}{39}\Rightarrow A\approx 50^{\circ }13^{\prime }(\approx 50,21^{\circ }).$$
$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{144+169-225}{2\cdot 12\cdot 13}=\frac{88}{312}=\frac{11}{39}\Rightarrow B\approx 73^{\circ }37^{\prime }(\approx 73,62^{\circ }).$$
$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{144+225-169}{2\cdot 12\cdot 15}=\frac{200}{360}=\frac{5}{9}\Rightarrow C\approx 56^{\circ }15^{\prime }(\approx 56,25^{\circ }).$$
Kiểm tra: $A+B+C\approx 180^{\circ }$ (sai lệch nhỏ chỉ do làm tròn).

b) Công thức Heron:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{20\cdot 8\cdot 5\cdot 7}=\sqrt{5600}=20\sqrt{14}\approx 74,83.$$
$$R=\frac{abc}{4S}=\frac{12\cdot 15\cdot 13}{80\sqrt{14}}=\frac{117}{4\sqrt{14}}=\frac{117\sqrt{14}}{56}\approx 7,82.$$
$$r=\frac{S}{p}=\frac{20\sqrt{14}}{20}=\sqrt{14}\approx 3,74.$$

c) Đặt hệ tọa độ: $B(0;0)$, $C(12;0)$, do $BM=8$ nên $M(8;0)$. Gọi $A(x;y)$ với $AB=13$, $AC=15$:
- $x^2+y^2=169$
- $(x-12{)}^2+y^2=225\Rightarrow -24x+144=56\Rightarrow x=\frac{11}{3}$.
- $y^2=169-\frac{121}{9}=\frac{1400}{9}\Rightarrow y=\frac{10\sqrt{14}}{3}$.

$$A{M}^2={\left(\frac{11}{3}-8\right)}^2+\frac{1400}{9}=\frac{169}{9}+\frac{1400}{9}=\frac{1569}{9}=\frac{523}{3}\Rightarrow AM=\frac{\sqrt{1569}}{3}=\sqrt{\frac{523}{3}}\approx 13,20.$$

Kiểm tra bằng định lí Stewart với $m=BM=8$, $n=CM=4$: $b^{2}m+c^{2}n=a(A{M}^2+mn)\Rightarrow 225\cdot 8+169\cdot 4=2476=12(A{M}^2+32)\Rightarrow A{M}^2=\frac{523}{3}$. Kết quả khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho $△ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Định lý cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-96\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=148,$$
suy ra $BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$.

Đường cao AH hạ từ A xuống BC, từ $S=\frac{1}{2}BC\cdot AH$:
$$AH=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42.$$

Vậy $S=12\sqrt{3}$, $BC=2\sqrt{37}$, $AH=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Tam giác ABC có $A=30^0$, $B=120^0$, $b=8$.

Trước hết, $C=180^0-A-B=180^0-30^0-120^0=30^0$.

a) Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

$\frac{a}{\sin 30^0}=\frac{8}{\sin 120^0}\Rightarrow a=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Vì $C=A=30^0$ nên tam giác cân tại $B$, suy ra $c=a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

c) Diện tích: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{64}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $a=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $R=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, $S=\frac{16\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó đáp án B. Các phương án C, D sai vì góc phải đối diện với cạnh $a$ là góc $A$, không phải $B$ hay $C$; phương án A sai dấu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{6\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=6\sqrt{\frac{3}{2}}=3\sqrt{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, nên $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{0,5}=12$, suy ra $R=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho tam giác ABC với BC=8, AC=5, C=60°. Theo định lí cosin: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos C = 64 + 25 − 2·8·5·(1/2) = 49, nên AB = 7. a) Sai: đề cho AC = 5 (cạnh bằng 7 là AB, không phải AC). b) Sai: S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·sin60° = 20·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10. c) Đúng: R = AB/(2 sin C) = 7/(2·(√3/2)) = 7/√3 = 7√3/3. d) Đúng: S = ½·BC·AH nên AH = 2S/BC = 2·10√3/8 = 5√3/2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đề bài cho AC = 5, không phải 7. Cạnh tính được bằng định lí cosin là AB = √(64+25−40) = 7, nên mệnh đề nhầm AB với AC → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AC·sin C = ½·8·5·sin60° = 10√3 ≈ 17,32 ≠ 10 → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = 7 (định lí cosin). R = AB/(2 sin C) = 7/(2·√3/2) = 7/√3 = 7√3/3 → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·BC·AH ⇒ AH = 2S/BC = 20√3/8 = 5√3/2 → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với góc B = 68°, góc C = 75°, BC = 50 m. Tổng ba góc bằng 180° nên góc A = 180° - 68° - 75° = 37°. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$, suy ra $AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{50\cdot \sin 75^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9659}{0,6018}\approx 80,25$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị, khoảng cách từ A đến B xấp xỉ 80 m.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh xe quay 30 vòng trong 10 giây, tức 3 vòng/giây. Trong 5 phút = 300 giây, bánh xe quay được 3 × 300 = 900 vòng. Chu vi bánh xe: $C=2\pi r=2\pi \cdot 0,065=0,13\pi$ (m). Quãng đường đi được: $s=900\cdot 0,13\pi =117\pi \approx 367,57$ (m). Làm tròn đến hàng đơn vị: $s\approx 368$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=8$, $BC=5$, $\hat{B}=60^{\circ }$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos B=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot \frac{1}{2}=49$. Suy ra $AC=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí quan sát, D là chân đường ngang mắt (cách mặt đất 5 m), DC = 18 m. Góc nâng tới chân cột A là 40°, tới đỉnh cột B là 50°.
a) Góc ACB = 50° − 40° = 10° → Đúng.
b) AD = 18·tan40° ≈ 15,10 m; BD = 18·tan50° ≈ 21,45 m. Chiều cao cột cờ h₂ = BD − AD = 18(tan50° − tan40°) ≈ 6,35 m, không thuộc (6,5; 7,0) → Sai.
c) Chiều cao tòa nhà h₁ = AD + 5 ≈ 20,10 m, thỏa 20 < h₁ < 20,5 → Đúng.
d) AC = 18/cos40° ≈ 23,5 m > 18 m → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc ACB = 50° − 40° = 10°.
b) (AI giải đề cho tôi)
h₂ = 18(tan50° − tan40°) ≈ 6,35 m ∉ (6,5; 7,0).
c) (AI giải đề cho tôi)
h₁ = 18·tan40° + 5 ≈ 20,10 m ∈ (20; 20,5).
d) (AI giải đề cho tôi)
AC = 18/cos40° ≈ 23,5 m > 18 m.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2,5 giờ: tàu thứ nhất đi $AB=8\cdot 2,5=20$ hải lí, tàu thứ hai đi $AC=12\cdot 2,5=30$ hải lí, góc $BAC=75^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 75^{\circ }=400+900-1200\cdot 0,2588\approx 989,42$. Suy ra $BC\approx 31,45\approx 31,5$ hải lí. Kết quả khớp với đáp án nguồn 31.5.

Tìm được góc $A=180^{\circ }-75^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\approx 5,77$.

Gọi S là diện tích tam giác ABC, $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi. Ta có $h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$. Suy ra $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{a+b+c}{2S}=\frac{p}{S}=\frac{1}{r}$, suy ra điều cần chứng minh.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (A đúng); $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ (B đúng); $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ (C đúng). Khẳng định D sai vì mẫu số đúng nhưng tử số phải là $a^2+c^2-b^2$, không phải $a^2+c^2+b^2$. Khớp với đáp án nguồn D.