Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh 1, góc $\widehat{ADC}=120^{\circ }$. Hai góc kề trong hình thoi bù nhau nên $\widehat{DAB}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$. Diện tích hình thoi bằng tích hai cạnh kề nhân sin góc giữa chúng: $S=AB\cdot AD\cdot \sin \widehat{DAB}=1\cdot 1\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: a) Đúng — định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. b) Đúng — từ $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ suy ra $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$. c) Sai — định lí sin cho $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, không phải $R$. d) Sai — hai cạnh $a,b$ kẹp góc $C$ nên công thức đúng là $S=\frac{1}{2}ab\sin C$; $\frac{1}{2}ab\sin A$ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định lí côsin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai: định lí sin cho tỉ số bằng $2R$, không phải $R$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ vì hai cạnh $a,b$ kẹp góc $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=2, b=7, C=20°.

- Định lí cosin: c² = a² + b² − 2ab·cos C = 4 + 49 − 28·cos20° ≈ 53 − 26,3114 = 26,6886 ⇒ c ≈ 5,1661 ≈ 5,17. Khẳng định d đúng.
- Định lí sin: sin B = b·sin C / c = 7·sin20° / 5,1661 ≈ 7·0,34202/5,1661 ≈ 0,46343. Vì b = 7 là cạnh lớn nhất nên B là góc lớn nhất ⇒ B = 180° − arcsin(0,46343) ≈ 180° − 27,61° = 152,39°. Khẳng định c đúng.
- A = 180° − 20° − 152,39° = 7,61° ⇒ cos A ≈ cos 7,61° ≈ 0,9912 ≈ 0,99. Khẳng định a đúng.
- Diện tích: S = ½·a·b·sin C = ½·2·7·sin20° ≈ 7·0,34202 ≈ 2,39 ≠ 9,58. Khẳng định b sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
A = 180° − 20° − 152,39° = 7,61° nên cos A ≈ 0,9912 ≈ 0,99. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·a·b·sin C = ½·2·7·sin20° ≈ 2,39 ≠ 9,58. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin B = 7·sin20°/5,1661 ≈ 0,46343; vì b là cạnh lớn nhất nên B = 180° − 27,61° = 152,39°. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
c² = 4 + 49 − 28·cos20° ≈ 26,6886 ⇒ c ≈ 5,17. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=5, b=c=6. Nửa chu vi p=(5+6+6)/2=8,5=17/2, nên khẳng định a) p=17 SAI (17 là chu vi, không phải nửa chu vi). Diện tích theo công thức Heron: S=√(p(p−a)(p−b)(p−c))=√((17/2)(7/2)(5/2)(5/2))=√(2975/16)=(5√119)/4, nên b) ĐÚNG. Bán kính nội tiếp r=S/p=(5√119/4)/(17/2)=(5√119)/34, nên c) r=(5√119)/68 SAI. Bán kính ngoại tiếp R=abc/(4S)=(5·6·6)/(4·(5√119/4))=36/√119=(36√119)/119, nên d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(5+6+6)/2=17/2=8,5 ≠ 17 (17 là chu vi).
b) (AI giải đề cho tôi)
S=√((17/2)(7/2)(5/2)(5/2))=√(2975/16)=5√119/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
r=S/p=(5√119/4)÷(17/2)=5√119/34 ≠ 5√119/68.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=180/(5√119)=36/√119=36√119/119.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9: $\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-43^{\circ }=61^{\circ }$ (đúng). Theo định lý sin: $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{7\sin 43^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx \frac{7\cdot 0,6820}{0,9703}\approx 4,92$ (đúng); $c=\frac{7\sin 61^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx \frac{7\cdot 0,8746}{0,9703}\approx 6,31$ (đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4,92\cdot \sin 61^{\circ }\approx 15,06\ne 30,12$ (sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\hat{C}=180^{\circ }-76^{\circ }-43^{\circ }=61^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}ab\sin C\approx \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4,92\cdot \sin 61^{\circ }\approx 15,06\ne 30,12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$b=\frac{7\sin 43^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx 4,92$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$c=\frac{7\sin 61^{\circ }}{\sin 76^{\circ }}\approx 6,31$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $t$ giờ, tàu thứ nhất đi được $8t$ hải lí, tàu thứ hai đi được $10t$ hải lí. Hai hướng tạo góc $120^{\circ }$, áp dụng định lí cosin: $d^2=(8t{)}^2+(10t{)}^2-2\cdot 8t\cdot 10t\cdot \cos 120^{\circ }=64t^2+100t^2+80t^2=244t^2$. Với $d=60$: $244t^2=3600\Rightarrow t^2=\frac{3600}{244}\approx 14,754\Rightarrow t\approx 3,84\approx 3,8$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 15 phút = 0,25 giờ, máy bay bay được $AC=220\cdot 0,25=55$ dặm. Gọi $A$ là Chicago, $B$ là Louisville, $C$ là vị trí phát hiện lỗi. Trong tam giác $ABC$: $AB=330$ dặm, $AC=55$ dặm, góc $A=10^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=330^2+55^2-2\cdot 330\cdot 55\cdot \cos 10^{\circ }=108900+3025-36300\cdot 0,9848\approx 111925-35748,3\approx 76176,7$. Suy ra $BC\approx \sqrt{76176,7}\approx 276,0$ dặm. Vậy máy bay còn cách Louisville khoảng 276 dặm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là độ cao điểm M (đỉnh tháp) so với đường ngang qua mắt người đo (cách mặt đất 1,3 m). Gọi x là khoảng cách từ chân tháp đến A. Tại A: tan65° = H/x; tại B: tan55° = H/(x+20). Suy ra H = tan65°·tan55°·20/(tan65° − tan55°) ≈ 2,1445·1,4281·20/0,7164 ≈ 85,5 m. Chiều cao tháp = 85,5 + 1,3 ≈ 86,8 m.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo định lí cosin trong tam giác ABC: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \cos 120°=36+100+60=196$. Vậy $BC=14$ m.

b) Vì $A,B,C$ nằm trên bờ hồ (đường tròn tâm $O$), theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R$, nên $R=\frac{14}{2\sin 120°}=\frac{14}{\sqrt{3}}\approx 8,08$ m. Làm tròn: $R\approx 8$ m và đường kính $d=2R\approx 16$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC có AB = 500 m, góc A = 65°, góc B = 55°, suy ra góc C = 180° − 65° − 55° = 60°.

a) Theo định lí sin:
$$\frac{AC}{\sin 55^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 65^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}=\frac{500}{\sin 60^{\circ }}$$

Khoảng cách từ A đến đảo:
$$AC=\frac{500\cdot \sin 55^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{500\cdot 0,8192}{0,8660}\approx 472,9\text{ m}$$

Khoảng cách từ B đến đảo:
$$BC=\frac{500\cdot \sin 65^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{500\cdot 0,9063}{0,8660}\approx 523,2\text{ m}$$

b) Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đường bờ biển AB là chiều cao CH của tam giác ứng với cạnh AB. Kẻ CH ⊥ AB, ta có:
$$CH=AC\cdot \sin 65^{\circ }\approx 472,9\cdot 0,9063\approx 428,6\text{ m}$$

(Kiểm tra: CH = BC·sin 55° ≈ 523,2·0,8192 ≈ 428,6 m, khớp kết quả.)

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ đảo C vào bờ biển AB xấp xỉ 428,6 m.

(AI giải đề cho tôi)
Do tam giác ABC đều và hệ đối xứng, ba lực căng cùng độ lớn T. Phương thẳng đứng: tổng thành phần dọc của ba lực cân bằng với trọng lượng: $3T\sin 60^{\circ }=180\Rightarrow T=\frac{180}{3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{120}{\sqrt{3}}=40\sqrt{3}\approx 69,28\approx 69$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 102: Cho tam giác $ABC$ với $AB=6$, $AC=8$, góc $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích tam giác:
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=100+48=148,$$
$$BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.$$

Nửa chu vi: $p=\frac{6+8+2\sqrt{37}}{2}=7+\sqrt{37}$.

Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})\cdot (-1)$$

Tính lại cẩn thận: $\frac{12\sqrt{3}}{7+\sqrt{37}}\cdot \frac{\sqrt{37}-7}{\sqrt{37}-7}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=12\sqrt{3}(7-\sqrt{37})/12$... đúng ra:
$$r=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{37-49}=\frac{12\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)}{-12}=-\sqrt{3}(\sqrt{37}-7)=\sqrt{3}(7-\sqrt{37}).$$

Vì $\sqrt{37}\approx 6,083<7$ nên $r=\sqrt{3}(7-\sqrt{37})=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 12,124-10,536\approx 1,59>0$, hợp lí.

Kết luận: $S=12\sqrt{3}$; $BC=2\sqrt{37}$; $r=7\sqrt{3}-\sqrt{111}\approx 1,59$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 103: Cho tam giác ABC với $a=8$, $b=10$, $c=13$.

a) Áp dụng định lí côsin: $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{64+100-169}{2\cdot 8\cdot 10}=\frac{-5}{160}=-\frac{1}{32}<0$. Vậy góc C là góc tù, tức tam giác ABC có một góc tù (góc C).

b) Từ $\cos C=-\frac{1}{32}$ ta có $\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{1024}}=\frac{\sqrt{1023}}{32}$. Theo định lí sin: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{13}{2\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}}=\frac{208}{\sqrt{1023}}=\frac{208\sqrt{1023}}{1023}\approx 6,50$.

c) Diện tích: $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \frac{\sqrt{1023}}{32}=\frac{5\sqrt{1023}}{4}\approx 40,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $C=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$, với $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.

- $a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$.
- $c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}+1$.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{2}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.
- Diện tích: $S=\frac{abc}{4R}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

Vậy $a=\sqrt{6},c=\sqrt{3}+1,R=\sqrt{2},S=\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos A=\frac{3}{5}$ với $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{4}{5}$.
Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=14$.
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=74-42=32$, suy ra $a=4\sqrt{2}$.
Đường cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{28}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.
Kết luận: $h_a=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ và $S=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ac\sin B$. Với $B=135^{\circ }$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $S=\frac{1}{2}ac\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=2R$. Với $B=135^{\circ }$, $\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $2R=\frac{b}{\sqrt{2}/2}=b\sqrt{2}$, suy ra $R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$. Vậy đáp án B. (A đúng về bản chất vì $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $\frac{a}{\sin A}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó A đúng, B đúng. D đúng vì $\sin C=\frac{c}{2R}=\frac{c\sin A}{a}$. C sai vì $b\sin B=\frac{b^2}{2R}\ne 2R$ nói chung (đúng phải là $b=2R\sin B$).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích quen thuộc. B sai vì định lý sin cho $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $a=BC$, $b=AC$ kèm góc $C$ xen giữa). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.