Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi nhánh. Với $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, nên đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)$. Nhánh bên trái $x=1$ nằm trên tiệm cận $y=1$, đi qua $(0;2)$ và tăng dần lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$; nhánh bên phải tăng dần từ $-\infty$ tiến tới tiệm cận ngang $y=1$. Hình A thể hiện đúng các đặc điểm này (điểm $(0;2)$ được đánh dấu trên nhánh trái, hai đường tiệm cận $x=1$, $y=1$). Các hình B, C, D có dạng nghịch biến hoặc giá trị tại điểm mốc không phù hợp.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$. Trên khoảng $(-\infty ;1)$: khi $x\to -\infty$, $y\to 1^{+}$... thực tế $y-1=\frac{3}{x-1}<0$ nên nhánh trái nằm dưới đường $y=1$, cắt trục hoành tại $x=-2$, cắt trục tung tại $y=-2$, và khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$. Trên khoảng $(1;+\infty )$: $y>1$, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ và giảm dần về $1$. Đồ thị gồm hai nhánh: nhánh trái đi từ gần $y=1$ xuống $-\infty$ (đi qua điểm $(-2;0)$ và $(0;-2)$), nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống gần $y=1$. Hình đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy hàm số liên tục trên ℝ, đồng biến trên toàn bộ ℝ (y' > 0 với mọi x) và giới hạn khi x → −∞ là −∞, khi x → +∞ là +∞.
- A: y = x² + 2x + 1 là parabol, không đồng biến trên toàn ℝ → loại.
- B: y = (x²+1)/(x+2) có điểm gián đoạn tại x = −2, không liên tục trên ℝ → loại.
- C: y = x³ + x² + 2x − 5 có y' = 3x² + 2x + 2 với Δ = 4 − 24 = −20 < 0 nên y' > 0 với mọi x; hàm đồng biến trên ℝ và lim(x→−∞) y = −∞, lim(x→+∞) y = +∞ → khớp bảng biến thiên.
- D: y = (x+1)/(x+2) có y' = 1/(x+2)² > 0 nhưng không xác định tại x = −2 và giới hạn tiến tới 1, không phải −∞/+∞ → loại.
Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x+6}{5x-8}$.
a) Sai. Hàm số xác định khi $5x-8\ne 0\iff x\ne \frac{8}{5}$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{8}{5}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-6\}$.
b) Đúng. $y^{\prime }=\frac{(5x-8)-5(x+6)}{(5x-8{)}^2}=\frac{-38}{(5x-8{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{8}{5}$, nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và không có điểm cực trị.
c) Đúng. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+6}{5x-8}=\frac{1}{5}$, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.
d) Đúng. Trên đoạn $[2;3]$ (không chứa $\frac{8}{5}$), hàm số nghịch biến nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=2$: $y(2)=\frac{2+6}{10-8}=\frac{8}{2}=4$. Kiểm tra $y(3)=\frac{9}{7}\approx 1,29<4$. Vậy GTLN trên $[2;3]$ bằng $4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{8}{5}\right\}$ vì mẫu số $5x-8=0$ khi $x=\frac{8}{5}$, không phải $x=-6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-38}{(5x-8{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{8}{5}$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+6}{5x-8}=\frac{1}{5}$ nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[2;3]$ nên GTLN tại $x=2$: $y(2)=\frac{8}{2}=4$; $y(3)=\frac{9}{7}<4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;1)$ và $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;+\infty )$; hàm số gián đoạn tại $x=1$ với ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$; $f(-1)=1$ (cực tiểu), $f(3)=-2$ (cực đại).

a) Sai. $-1$ và $3$ là hai điểm cực trị (hoành độ cực trị); giá trị cực trị là $f(-1)=1$ (cực tiểu) và $f(3)=-2$ (cực đại).

b) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.

c) Sai. Trên $(-1;3)$ hàm số gián đoạn tại $x=1$ (đồng biến riêng trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ nhưng không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;3)$).

d) Sai. Trên nhánh trái, $f(x)\ge 1>0$ nên không cắt trục hoành; trên nhánh phải, $f(x)\le -2<0$ nên cũng không cắt trục hoành. Vậy đồ thị không cắt trục hoành tại điểm nào (0 điểm).
a) (AI giải đề cho tôi)
$-1$ và $3$ là điểm cực trị; giá trị cực trị là $1$ và $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại $x=1$ với giới hạn trái $+\infty$, phải $-\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại $x=1$ nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh trái có min $=1>0$, nhánh phải có max $=-2<0$ nên đồ thị không cắt trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$; đạt cực đại $f(0)=2$ và cực tiểu $f(1)=-1$; khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$. a) Sai: vì $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ (giá trị 2 tại $x=0$ chỉ là cực đại). b) Sai: hàm số có hai cực trị là $x=0$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu). c) Đúng: $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. d) Sai: vì $y\to -\infty$ khi $x\to -\infty$ nên hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ (giá trị $-1$ tại $x=1$ chỉ là cực tiểu).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$; giá trị 2 tại $x=0$ chỉ là cực đại.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có hai cực trị: $x=0$ (cực đại, giá trị 2) và $x=1$ (cực tiểu, giá trị -1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$; giá trị $-1$ tại $x=1$ chỉ là cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f(0)=-1\Rightarrow d=-1<0$. Có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$; $f^{\prime }(0)=0\Rightarrow c=0$. $f^{\prime }(4)=0\Rightarrow 48a+8b=0\Rightarrow b=-6a$. Mà $f(4)=-5$: $64a+16b+d=-5\Rightarrow 64a-96a-1=-5\Rightarrow -32a=-4\Rightarrow a=\frac{1}{8}>0$, suy ra $b=-\frac{3}{4}<0$. Vậy $a>0,b<0,c=0,d<0$: chỉ có 1 số dương (là $a$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ, có cực đại tại $(-1;2)$ và cực tiểu tại $(1;-2)$. Xét $f(x)=x^3-3x$: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $f(-1)=-1+3=2$ (cực đại), $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu), và $f(0)=0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ. Khớp hoàn toàn với hình vẽ. Loại A (hàm phân thức), B (đồ thị bị dịch lên 1 đơn vị, $f(0)=1$), D (hàm nghịch biến nên cực đại bên phải).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có tiệm cận đứng $x=-2$ và giới hạn ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, hàm nghịch biến trên từng khoảng. Xét $y=\frac{2x+5}{x+2}$: mẫu bằng 0 tại $x=-2$ (tiệm cận đứng), ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (tiệm cận ngang), $y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{-1}{(x+2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$. Khi $x\to -2^{-}$: tử $2x+5\to 1>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to -2^{+}$: $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án B, C, D có giới hạn tại vô cùng khác 2 hoặc tiệm cận đứng khác. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1$, tức $b+c=0\Rightarrow c=-b$. Tiệm cận ngang $y=2$ nên $\frac{a}{b}=2\Rightarrow a=2b$. Thử các đáp án: A: $y=\frac{2x-1}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$ — khớp đồ thị. B: $c=1$ cho TCĐ $x=-1$ (loại). C: $b=2,c=-1$ cho TCĐ $x=\frac{1}{2}$, TCN $y=1$ (loại). D: $b=-1$ cho TCN $y=-2$ (loại). Vậy $a=2;b=1;c=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm bậc ba có cực đại bên trái trục tung, cực tiểu bên phải trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, nên loại A, B (đồ thị phân thức có tiệm cận). Xét hai hàm bậc ba: với $y=-x^3+3x+1$ (C), $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=-6x$ nên cực tiểu tại $x=-1$ (bên trái) và cực đại tại $x=1$ (bên phải) — trái với hình. Với $y=x^3-3x+1$ (D), $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ với $y=3$ (bên trái trục tung) và cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$ (bên phải trục tung), đồng thời $y(0)=1>0$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một đường hypebol có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận, tức là điểm $(-1;2)$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1; tiệm cận ngang y=a/c=-1 ⇒ a=1; đồ thị đi qua (2;0) ⇒ 2a+b=0 ⇒ b=-2 (khớp f(0)=-2). Vậy f(x)=(x-2)/(1-x). a) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(1-2)/(1-x)²=-1/(1-x)²<0 với mọi x≠1, nhưng hàm không xác định tại x=1 nên khẳng định f'(x)<0 ∀x∈ℝ là SAI. b) Hàm nghịch biến trên (-∞;1) và (1;+∞) (do f'<0), không đồng biến trên (-∞;1) ⇒ SAI. c) TCĐ x=1, TCN y=-1 ⇒ ĐÚNG. d) a+b+c=1-2-1=-2≠5 ⇒ SAI. Kết quả SSDS khớp bảng đáp án mã đề 1201.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=-1/(1-x)²<0 với mọi x≠1 nhưng hàm không xác định tại x=1, nên khẳng định với ∀x∈ℝ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì f'(x)<0 trên từng khoảng, hàm nghịch biến trên cả (-∞;1) và (1;+∞), không đồng biến trên (-∞;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, TCĐ là x=1 và TCN là y=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-2, c=-1 nên a+b+c=-2≠5.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có $y(0)=-4$ (giao trục $Oy$ tại $-4$), đi xuống rồi lên, có điểm cực tiểu tại $x=0$ và điểm cực đại tại $x=2$ với $y(2)=0$ (tiếp xúc trục $Ox$ tại $x=2$). Xét $y=-x^3+3x^2-4$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, $y^{\prime }=0$ tại $x=0,x=2$; $y(0)=-4$, $y(2)=-8+12-4=0$. Chiều biến thiên: nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;2)$, nghịch biến trên $(2;+\infty )$ — khớp hoàn toàn với đồ thị (cực tiểu $(0;-4)$, cực đại $(2;0)$). Các phương án khác: A có $y(0)=-4$ nhưng cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$ với $y(2)=-8$ (sai); B, C có hệ số $a>0$ nên ngược chiều với đồ thị. Đáp án khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{x+3}{x-1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$.

a) Sai. Trên $\left[-\frac{1}{2};0\right]$ hàm số nghịch biến nên GTLN đạt tại $x=-\frac{1}{2}$: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-\frac{1}{2}+3}{-\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}}=-\frac{5}{3}\ne -3$. (Chú ý $f(0)=-3$ là GTNN trên đoạn.)

b) Đúng. $f^{\prime }(x)=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ trên tập xác định, không có điểm nào $f^{\prime }(x)=0$, nên hàm số không có cực trị.

c) Đúng. Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $\mathbb{R}\setminus \{1\}=(-\infty ;+\infty )\setminus \{1\}$.

d) Sai. Vì $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên đoạn nên GTLN là $f(-1/2)=-5/3$, không phải $-3$ (giá trị $-3=f(0)$ là GTNN).
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, không có nghiệm $f^{\prime }(x)=0$ nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $(-\infty ;+\infty )\setminus \{1\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên $y=-x$ (nhánh phải đi từ $+\infty$ xuống, nhánh trái đi xuống $-\infty$, hai nhánh tiến về đường thẳng $y=-x$). Xét các phương án: A có $y=\frac{-x^2+1}{x}=-x+\frac{1}{x}$, tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=-x$ — khớp đồ thị. B có tiệm cận đứng $x=-1$ (sai). C có tiệm cận đứng $x=1$ (sai). D là đa thức bậc 3, không có tiệm cận (sai). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ với $f(-2)=2$ và cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-2$. Xét phương án D: $f(x)=x^3+3x^2-2$ có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và $x=0$. Với $x<-2$: $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<0$: $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$: $f^{\prime }(x)>0$, đúng dấu trong bảng. Ngoài ra $f(-2)=-8+12-2=2$ và $f(0)=-2$, khớp bảng biến thiên. Các phương án khác sai: A có $f(0)=-2$ nhưng $f(-2)=8+12-2=18\ne 2$; B có $f^{\prime }(x)=3x^2+3>0$ (không có cực trị); C có $f^{\prime }(x)=x^2+2x=x(x+2)$ đúng dấu nhưng $f(-2)=\frac{-8}{3}+4-2=\frac{2}{3}\ne 2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=1$ với ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, và ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ (tiệm cận ngang $y=-1$).
Xét $y=\frac{-x+3}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$: có $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$; ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên.
A: $\frac{x^2+2x-3}{x-1}=x+3$ (với $x\ne 1$) không có tiệm cận đứng. B: $\frac{x-2}{x-1}=1-\frac{1}{x-1}$ đồng biến và ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$. D: hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua điểm (0;-2) và có hai điểm cực trị. Xét $y=x^3-3x-2$: $y(0)=-2$ khớp đồ thị; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, với $y(-1)=0$ (cực đại, gần giá trị 0 như hình) và $y(1)=-4$ (cực tiểu, âm như hình). Hàm A có $y(0)=1$ và không có cực trị (y'=3x²+3>0), loại; B là hàm phân thức có tiệm cận, loại; C là hàm logarit, loại. Vậy đáp án D.