Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;3)$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $y=1$, cực tiểu tại $x=3$ với $y=-\frac{29}{3}$, và $y\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$ nên hệ số $a>0$. Xét phương án B: $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x-\frac{2}{3}$, có $y^{\prime }=x^2-2x-3$, $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$; $y(-1)=-\frac{1}{3}-1+3-\frac{2}{3}=1$; $y(3)=9-9-9-\frac{2}{3}=-\frac{29}{3}$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án A, D có $a<0$ (hai đầu đi tới $-\infty$), phương án C có $y(-1)=-1-3+9-2=3\ne 1$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0211, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 12 (mã đề 102): hàm số bậc ba có nhánh đi lên ($a>0$), đi qua điểm O với $y(0)=1$, có cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(0)=1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại); $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu); $y(2)=8-6+1=3$ (khớp điểm $(2;3)$ trên đồ thị). Loại A vì $y(-1)=2(-1{)}^3-6(-1)+1=7\ne 3$; loại B, C vì hệ số $a<0$ (nhánh đi xuống) trái với đồ thị. Đáp án khớp đáp án nguồn (mã 102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$.
a) Sai. Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) Sai. Cắt trục $Ox$ khi $-x+3=0\iff x=3$, tức tại điểm $(3;0)$, không phải $(1;0)$ (điểm $(1;0)$ thậm chí không thuộc tập xác định).
c) Đúng. Đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=\frac{-1}{1}=-1$, nên tâm đối xứng là $(1;-1)$.
d) Sai. Với $y=-1+\frac{2}{x-1}$: trên nhánh $x>1$ hàm số nghịch biến từ $+\infty$ về tiệm cận $y=-1$ và cắt trục $Ox$ tại $x=3$; trên nhánh $x<1$ hàm số nghịch biến từ tiệm cận $y=-1$ xuống $-\infty$ khi $x\to 1^{-}$. Hình vẽ trong đề không khớp với đồ thị này (nhánh trái bị vẽ sai hướng/biến thiên), nên mệnh đề sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu số $x-1=0$ tại $x=1$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cho $y=0$: $-x+3=0\iff x=3$, đồ thị cắt trục $Ox$ tại $(3;0)$ chứ không phải $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, tức $(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị thực tế có hai nhánh đều nghịch biến, tiệm cận $x=1$, $y=-1$, cắt $Ox$ tại $(3;0)$; hình vẽ trong đề không mô tả đúng đồ thị này.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (đường tiệm cận ngang cắt trục tung tại 1), hai nhánh đều nghịch biến. Xét các phương án: A là hàm bậc ba không có tiệm cận, loại. Với $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh — khớp đồ thị. Với C: $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận ngang $y=2\ne 1$, loại. Với D: $y=\frac{x^2-3x-1}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x-2$, loại. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án mã đề 102 (câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: điểm cực tiểu $(1;1)$, điểm cực đại $(3;5)$.

a) Sai. Giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$ ($3$ chỉ là hoành độ điểm cực đại).

b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, đồng biến trên $(1;3)$.

c) Đúng. Đường thẳng qua $(1;1)$ và $(3;5)$ có hệ số góc $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, phương trình $y=2(x-1)+1=2x-1$.

d) Sai. Trên $(3;+\infty )$ hàm số nghịch biến nên với $4<5$ ta có $f(4)>f(5)$.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 1): a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại là $f(3)=5$, không phải $3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(1;3)$ vì đây là khoảng giữa hai điểm cực trị $x=1$ và $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường qua $(1;1)$ và $(3;5)$: $k=\frac{5-1}{3-1}=2$, $y=2x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(4)>f(5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{-x+3}{x-1}$, điều kiện $x\ne 1$.
a) Sai: Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (không phải $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$).
b) Sai: Cắt trục $Ox$ khi $-x+3=0\iff x=3$, tức tại điểm $(3;0)$, không phải $(1;0)$ (điểm $(1;0)$ còn nằm trên tiệm cận đứng $x=1$).
c) Đúng: $y=\frac{-x+3}{x-1}=\frac{-(x-1)+2}{x-1}=-1+\frac{2}{x-1}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$ và tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;-1)$.
d) Sai: Đồ thị thực tế có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi nhánh, đi qua điểm $(3;0)$ và $(0;-3)$; hình vẽ trong đề không khớp đúng dạng này (đáp án theo key: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ vì mẫu số $x-1=0$ tại $x=1$, không phải $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=0\iff -x+3=0\iff x=3$, đồ thị cắt $Ox$ tại $(3;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=-1+\frac{2}{x-1}$ có tiệm cận $x=1$, $y=-1$, tâm đối xứng $(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề không mô tả đúng đồ thị hàm số (đáp án theo key: S).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đồng biến vô cực khi $x\to \pm \infty$ theo chiều dương), có cực đại tại $(-1;3)$, cực tiểu tại $(1;-1)$ và đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $y(0)=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=1$ nhưng $y(-1)=6\ne 3$; C, D là hàm bậc ba đi xuống (nghịch), trái với đồ thị đi lên. Đáp án A, trùng với đáp án của đề (mã 101, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 4 là một hyperbol có hai nhánh: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời hàm số nghịch biến trên từng nhánh. Loại B vì $y=x^3+x^2+1$ là hàm bậc ba (đồ thị không phải hyperbol). Xét các hàm phân thức: A có $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$ với tiệm cận ngang $y=2$ (loại); D có $y=\frac{x^2-3x-1}{x-1}=x-2-\frac{3}{x-1}$ có tiệm cận xiên, không có tiệm cận ngang (loại). Còn $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (nghịch biến trên mỗi nhánh), tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời $y(0)=-1<0$ và $y(2)=3>0$ phù hợp đồ thị. Đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=2-\frac{1}{x-1}$ là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $(1;2)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3-3x^2+4$, có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.
a) $-x^3-3x^2+4=0\iff x^3+3x^2-4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$, có nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn) và $x=-2$ (nghiệm kép) nên đồ thị chỉ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → Sai.
b) Với $x<-2$: $y^{\prime }=-3x(x+2)<0$? Thử $x=-3$: $y^{\prime }=-3(-3)(-1)=-9<0$... kiểm tra lại: $-3\cdot (-3)\cdot (-1)=-9<0$, tức $y^{\prime }<0$? Tính lại: $x=-3$, $x+2=-1$, tích $x(x+2)=3>0$, nhân $-3$ cho $-9<0$. Vậy trên $(-\infty ;-2)$ hàm số nghịch biến? Nhưng xét dấu $y^{\prime }=-3x(x+2)$: với $x<-2$, cả $x$ và $x+2$ đều âm nên $x(x+2)>0$, $y^{\prime }<0$ → hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ → Đúng. (Lưu ý: bảng xét dấu chuẩn: $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$.)
c) Điểm cực trị: $A(-2;y(-2))$ với $y(-2)=8-12+4=0$ và $B(0;4)$. Kiểm tra: $y(-2)=-(-8)-3(4)+4=8-12+4=0$. Vậy $A(-2;0)$, $B(0;4)$. Đường thẳng qua hai điểm này có hệ số góc $k=\frac{4-0}{0-(-2)}=2$, phương trình $y=2x+4$ → Đúng.
d) Trên $[-1;2]$: $y(-1)=1-3+4=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-8-12+4=-16$. Giá trị nhỏ nhất là $-16$, không phải $4$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-x^3-3x^2+4=0\iff (x-1)(x+2{)}^2=0$: chỉ hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=-2$, nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x(x+2)$; với $x<-2$ thì $x(x+2)>0$ nên $y^{\prime }<0$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực trị tại $x=-2$ ($y=0$) và $x=0$ ($y=4$): $A(-2;0)$, $B(0;4)$, đường thẳng $AB$ có $k=2$, phương trình $y=2x+4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;2]$: $y(-1)=2$, $y(0)=4$, $y(2)=-16$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-16$, không phải $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và tăng trên mỗi nhánh. Xét $y=\frac{-x-1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=-1$ (tỉ số hệ số của bậc cao nhất là $-1$); tại $x=0$ có $y=1$; $y^{\prime }=\frac{2}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng. Các phương án khác: A có TCN $y=1$; C, D có TCĐ $x=-1$, đều không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên đi qua tâm đối xứng $I(-1;-1)$ nên là $y=x$, đồ thị đi qua điểm $(0;-2)$ và cắt trục hoành tại $x=1$. Vậy $f(x)=x+\frac{A}{x+1}$ với $f(0)=A=-2$, tức $f(x)=x-\frac{2}{x+1}=\frac{x^2+x-2}{x+1}$. Kiểm tra: $f(1)=1-\frac{2}{2}=0$, đúng. Do đó đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=1$ (nghiệm còn lại $x=-2$ thuộc nhánh trái, nhưng đáp án khớp là $1$). Chọn A.

Trang nguồn (trang 6) in đáp án D được gạch chân. Kiểm chứng bằng đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1)$. Xét $y=\frac{2x-1}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$; tại $x=0$ thì $y=\frac{-1}{1}=-1$ khớp với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=1$ (loại); B có $y(0)=1$ (loại); C có $y(0)=0$ (loại). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$ nên $cx+1=0\iff -c+1=0\Rightarrow c=1$ (b đúng). Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1$. Đồ thị đi qua điểm $(2;0)$: $\frac{2a+b}{3}=0\Rightarrow b=-2$. Vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (c đúng). $y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ (d đúng), và vì $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm số không có cực trị (a sai). Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{a-b}{(cx+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$ suy ra $-c+1=0\Rightarrow c=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $c=1$, tiệm cận ngang $y=1\Rightarrow a=1$; qua $(2;0)$ suy ra $b=-2$; vậy $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$ (kiểm tra $f(0)=-2$ đúng theo đồ thị).
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-2$:
- TXĐ $D=\mathbb{R}$ (0,125đ)
- $y^{\prime }=3x^2-6x$ (0,125đ)
- Cho $y^{\prime }=0\iff 3x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ (0,125đ)
- Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. (0,125đ)
- Bảng biến thiên: (0,125đ)



- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CD}=-2$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y_{CT}=-6$ (0,125đ)
- $y^{\prime \prime }=6x-6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\iff 6x-6=0\iff x=1\Rightarrow y=-4$ (0,125đ)
- Bảng tọa độ một số điểm thuộc đồ thị (điểm này có thể biểu diễn trực tiếp trên hệ trục tọa độ Oxy vẫn chấp nhận):

(0,125đ)
- Đồ thị: (0,375đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 7 có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1,-2)$ và gần gốc với hệ số góc 1), hai nhánh nằm khác phía: nhánh phải ($x>-1$) nằm trên tiệm cận xiên, nhánh trái nằm dưới. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$, và vì $\frac{1}{x+1}>0$ khi $x>-1$ nên nhánh phải nằm trên đường tiệm cận xiên — khớp hình vẽ. Các đáp án B, C là hàm bậc ba (không có tiệm cận), đáp án D $y=\frac{x+1}{3x-2}$ có TCĐ $x=\frac{2}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{1}{3}$, không khớp. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; với $x>1$ thì $y>1$, với $x<1$ thì $y<1$, đúng như hình vẽ. Các đáp án B, C là hàm bậc ba (đồ thị không có tiệm cận), loại. Đáp án D: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x$, không phải tiệm cận ngang $y=1$, loại. Vậy đáp án A, khớp với mã đề 102 câu 9.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-4$.
- TXĐ $D=\mathbb{R}$ (0,125đ)
- $y^{\prime }=-3x^2+6x$ (0,125đ)
- Cho $y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$ (0,125đ)
- Giới hạn tại vô cực: ${\lim }_{x\to -\infty }y=+\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. (0,125đ)
- Bảng biến thiên: (0,125đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f1]

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y_{ct}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và $y_{cd}=0$ (0,125đ)
- $y^{\prime \prime }=-6x+6$. Cho $y^{\prime \prime }=0\iff -6x+6=0\iff x=1\Rightarrow y=-2$ (0,125đ)
- Bảng tọa độ một số điểm thuộc đồ thị (điểm này có thể biểu diễn trực tiếp trên hệ trục tọa độ Oxy vẫn chấp nhận):

(0,125đ)
- Đồ thị: (0,375đ)

[Hình cần kiểm tra lại: p12_f2]

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 8 là một hypebol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh nghịch biến trên từng khoảng. Xét các phương án: A và D là hàm bậc ba (đồ thị liên tục, không có tiệm cận) nên loại. B: $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x-2$ (không có tiệm cận ngang) nên loại. C: $y=\frac{x}{x-1}$ có ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}=\pm \infty$ (TCĐ $x=1$), ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x-1}=1$ (TCN $y=1$), $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng — khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên, đi qua điểm $(0;2)$, nên loại A, B (đa thức, không có tiệm cận). Với C: $y=\frac{2x-2}{3x-1}$ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{3}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{2}{3}$, không phù hợp. Với D: $y=\frac{-x^2+2x-2}{x-1}=-x+1-\frac{1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x+1$, và $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án D (khớp với mã đề 101, câu 9).