Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$ (nhánh phải đi qua điểm gần $(2;0)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$). Tâm đối xứng của hyperbol là giao hai tiệm cận: $I(1;-1)$. Kiểm tra: hàm số dạng $y=\frac{1}{x-1}-1$ thỏa các đặc điểm trên đồ thị. Vậy tâm đối xứng là $(1;-1)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$. a) Điều kiện xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$: đúng. b) $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$; tuy nhiên tập $(-\infty ;-1)\cup (-1;+\infty )$ không phải là một khoảng và hàm không đồng biến trên tập hợp đó (ví dụ $f(-2)=5>-1=f(0)$), nên mệnh đề b) sai. c) $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$, đồ thị là hyperbol nhận giao điểm hai tiệm cận $x=-1$, $y=2$ làm tâm đối xứng, tức $I(-1;2)$: đúng. d) Trên đoạn $[0;2]$ hàm liên tục và đồng biến nên $\underset{[0;2]}{\mathrm{Max}}y=f(2)=\frac{4-1}{3}=1$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x+1\ne 0$, tức $x\ne -1$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, nhưng không đồng biến trên hợp của hai khoảng (không phải là khoảng); ví dụ $f(-2)=5>-1=f(0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2-\frac{3}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị nhận $I(-1;2)$ làm tâm đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến nên giá trị lớn nhất tại $x=2$: $f(2)=\frac{3}{3}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có cực đại tại $(-2;4)$ và cực tiểu tại $(2;-4)$ (theo hình vẽ). Tâm đối xứng của đồ thị là trung điểm của hai điểm cực trị này: $\left(\frac{-2+2}{2};\frac{4+(-4)}{2}\right)=(0;0)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x-1}{x-1}=2+\frac{1}{x-1}$. a) TXĐ: $x\ne 1$ nên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, đúng. b) $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, đúng. c) Đồ thị $y=2+\frac{1}{x-1}$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;2)$, không phải $I(2;1)$, sai. d) Trên $[-2;0]$ hàm nghịch biến nên $\underset{[-2;0]}{\mathrm{Max}}y=y(-2)=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}\ne 1$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x-1\ne 0$, tức $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=1$, $y=2$ tức $I(1;2)$, không phải $(2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ nên Max $=y(-2)=\frac{5}{3}\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$ (đồ thị đi qua điểm $(2;0)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$, hai nhánh đối xứng qua giao của hai tiệm cận). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(1;-1)$. Vậy chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức của đề (mã đề 1020, trang 13), câu 5 có đáp án D. Hình vẽ cho đồ thị hàm số bậc ba đi qua gốc tọa độ O, có điểm uốn tại (1;-2) và cực tiểu tại (2;-4), phù hợp với hàm số $y=x^3-3x^2$ (có $y^{\prime }=3x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=0$, $y(2)=-4$, điểm uốn tại $x=1$, $y(1)=-2$).

Chọn A. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số cần tìm là hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a>0$ nên loại C, D. Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm $(0;0)$, $(2;-4)$ nên chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$. a) Tập xác định: $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → sai. b) $y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$ → đúng. c) Tiệm cận đứng là $x=-1$ (không phải $x=1$), tiệm cận ngang là $y=\frac{3}{1}=3$ → vì nửa đầu sai nên khẳng định sai. d) Trên đoạn $[0;3]$: $f(0)=-2$, $f(3)=\frac{7}{4}=1,75$; hàm đồng biến nên $\max =\frac{7}{4}$, $\min =-2$, tổng $=\frac{7}{4}-2=-\frac{1}{4}=-0,25$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ vì mẫu số $x+1=0$ khi $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(x+1)-(3x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{5}{(x+1{)}^2},\forall x\ne -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=-1$ (nghiệm của mẫu), chỉ có tiệm cận ngang $y=3$ là đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $[0;3]$ vì $y^{\prime }>0$. Giá trị lớn nhất $f(3)=\frac{7}{4}=1,75$, giá trị nhỏ nhất $f(0)=-2$. Tổng $=1,75-2=-0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị của hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ là một đường cong nhẵn (hyperbolic không, parabol không) đi từ $-\infty$ đến $+\infty$ (hoặc ngược lại), có dạng chữ S với hai điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu) và có tâm đối xứng. Xét các hình: A là parabol (đồ thị hàm bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$); B là hyperbol (đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$); D là đồ thị hàm phân thức có tiệm cận đứng; chỉ có hình C là đường cong bậc ba có hai cực trị dạng chữ S, đúng là đồ thị của hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 201, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 28: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=-1$, cắt trục hoành tại $x=-1$ và đi qua điểm $(-3;-2)$. Xét $y=\frac{x+1}{-x-2}$ (đáp án C): mẫu số $-x-2=0\iff x=-2$ nên tiệm cận đứng $x=-2$; khi $x\to \pm \infty$, $y\to \frac{1}{-1}=-1$ nên tiệm cận ngang $y=-1$; $y=0\iff x=-1$; tại $x=-3$: $y=\frac{-3+1}{3-2}=-2$, khớp điểm $(-3;-2)$. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=2$, cắt trục hoành tại $x=0$; B có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; D có tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=-1$ nhưng cắt trục hoành tại $x=1$ và tại $x=-3$ có $y=\frac{4}{-1}=-4\ne -2$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề (mã 201, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ luôn có tâm đối xứng tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f^{\prime \prime }(x)=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$. Giải $6ax+2b=0$ cho $x=-\frac{b}{3a}$. Vậy tâm đối xứng là $I\left(-\frac{b}{3a};f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: cực đại tại $(-1;1)$, cực tiểu tại $(1;-3)$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ nên $d=-1$. Ta có hệ: $f(1)=a+b+c-1=-3\Rightarrow a+b+c=-2$; $f(-1)=-a+b-c-1=1\Rightarrow -a+b-c=2$. Cộng hai phương trình được $b=0$, suy ra $a+c=-2$. Vì $f^{\prime }(1)=3a+2b+c=0\Rightarrow c=-3a$, nên $a-3a=-2\Rightarrow a=1,c=-3$. Vậy $f(x)=x^3-3x-1$ (kiểm tra $f(-1)=-1+3-1=1$ đúng).
a) Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm $(1;-3)$): Đúng.
b) Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$, không phải $(0;1)$: Sai.
c) $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ với $x\in (-1;1)$, do đó hàm nghịch biến trên $(0;1)$: Đúng.
d) $2a+3b+c=2+0-3=-1\ne 8$: Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực tiểu $(1;-3)$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d=f(0)=-1$, đồ thị cắt $Oy$ tại $(0;-1)$ chứ không phải $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^3-3x-1$, $f^{\prime }(x)=3x^2-3<0$ trên $(-1;1)$, nên hàm nghịch biến trên $(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ hệ phương trình thu được $a=1,b=0,c=-3$, nên $2a+3b+c=2+0-3=-1\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị là đường cong hình chữ S đi qua toàn bộ mặt phẳng, không có tiệm cận và có hai điểm cực trị (hoặc một điểm uốn nếu $y^{\prime }=0$ có nghiệm kép). Xét các hình: - Hình A: đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, đây là đồ thị của hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, không phải hàm bậc ba. - Hình B: đồ thị là đường cong bậc ba đi từ $-\infty$ lên $+\infty$, có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, đúng dạng đồ thị hàm trùng phương dạng hàm bậc ba với $a>0$. - Hình C: đồ thị là parabol (hàm bậc hai), không phải hàm bậc ba. - Hình D: đồ thị có tiệm cận, là đồ thị hàm phân thức, không phải hàm bậc ba. Vậy chỉ có hình B là đồ thị của hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$. Kết quả này trùng với đáp án đã cho là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 6: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$. Xét $y=\frac{x-2}{-x+1}$: mẫu số $-x+1=0\iff x=1$ nên tiệm cận đứng là $x=1$; tiệm cận ngang $y=\frac{1}{-1}=-1$; $y=0\iff x=2$; $y(0)=\frac{-2}{1}=-2$. Tất cả khớp với đồ thị. Loại các phương án khác: A có $y(0)=1$ và không có giao điểm $(2;0)$; B có tiệm cận đứng $x=-1$; D có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có cực đại tại điểm $(1;3)$ và cực tiểu tại điểm $(-1;-1)$, nên loại ngay C và D (đồ thị hàm phân thức có tiệm cận). Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm), $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Xét $y=x^3-3x+1$ thì cực đại tại $x=-1$ với $y=3$, cực tiểu tại $x=1$ với $y=-1$, ngược với hình. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ về gần $y=1$ khi $x\to +\infty$, tức hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$. Do đó khẳng định A (hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$) là sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(2;1)$, tiệm cận ngang $y=1$, tiệm cận đứng $x=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu tại $(-1;-1)$ và cực đại tại $(1;3)$. Xét $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$. Khi đó $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu, vì $y^{\prime \prime }=-6x>0$ tại $x=-1$) và $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại, vì $y^{\prime \prime }=-6x<0$ tại $x=1$). Hoàn toàn khớp với hình vẽ. Các phương án B, D là hàm phân thức (có tiệm cận), phương án C $y=x^3-3x+1$ có cực đại tại $x=-1$ với giá trị $3$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-1$, ngược với hình vẽ. Đáp án khớp với mã đề 2101: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(2;1)$ → A, C, D đúng. Trên khoảng $(2;+\infty )$, nhánh đồ thị đi từ $+\infty$ xuống tiến gần $y=1$, tức hàm số nghịch biến, nên khẳng định B 'hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$' là sai. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là một đường hypebol có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Xét các phương án: $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ có ${\lim }_{x\to -1}=\pm \infty$ (TCĐ $x=-1$), ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=1$ (TCN $y=1$), và $f(0)=\frac{-1}{1}=-1$ khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B $\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận ngang $y=2$ (loại); C có TCĐ $x=0$ (loại); A là hàm bậc ba (loại). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+x+2}{x-1}=x+2+\frac{4}{x-1}$.
a) ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$ → Đúng.
b) So sánh với $ax+b+\frac{c}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x+2$ → Đúng.
) $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên $(-\infty ;-1)$ hàm đồng biến, $(-1;3)$ nghịch biến, $(3;+\infty )$ đồng biến, nên $x=-1$ là điểm cực đại với $y(-1)=-1$, còn điểm cực tiểu là $B(3;7)$ (vì $y(3)=\frac{9+3+2}{2}=7$). Mệnh đề nói cực tiểu $A(-1;-1)$ → Sai.
d) Đường thẳng qua $(-1;-1)$ và $(3;7)$: $y=2x+1$. Giao Ox tại $(-\frac{1}{2};0)$, Oy tại $(0;1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu số triệt tiêu tại x=1 và lim y = +∞ khi x→1⁺, đồ thị có tiệm cận đứng x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
y = x + 2 + 4/(x−1), nên tiệm cận xiên là y = x + 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y' = 1 − 4/(x−1)² = 0 cho x = −1 và x = 3. Hàm đồng biến trên (−∞;−1), nghịch biến trên (−1;3), đồng biến trên (3;+∞), nên x = −1 là cực đại (A(−1;−1)) và điểm cực tiểu là B(3;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm cực trị (−1;−1) và (3;7) là y = 2x + 1, cắt hai trục tại (−1/2;0) và (0;1), diện tích tam giác = 1/2 · 1/2 · 1 = 1/4.