Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ (khớp $cx-1=0$), tiệm cận ngang $y=-1$ nên $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow a=-c$. Đồ thị đi qua $(2;0)$: $2a+b=0\Rightarrow b=-2a$. Đi qua $(0;-2)$: $\frac{b}{-1}=-2\Rightarrow b=2$. Suy ra $a=-1$, $c=1$. Vậy $a<0$, $b>0$, $c>0$: có 2 số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ (phương án D), xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+4)(x+2)-(x^2+4x+5)}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+3)(x+1)}{(x+2{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-3$ và $x=-1$; $f^{\prime }>0$ khi $x<-3$ hoặc $x>-1$, $f^{\prime }<0$ khi $-3<x<-2$ hoặc $-2<x<-1$ — đúng như bảng biến thiên. Giới hạn: khi $x\to (-2{)}^{-}$, tử số $=1>0$, mẫu âm nên $f\to -\infty$; khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $f\to +\infty$ — khớp bảng. Cực đại $f(-3)=\frac{9-12+5}{-1}=-2$; cực tiểu $f(-1)=\frac{1-4+5}{1}=2$ — khớp bảng. Các phương án A, B có đạo hàm không triệt tiêu tại $-3,-1$; phương án C có tiệm cận đứng $x=2$ (sai miền xác định). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (loại C vì C có tiệm cận đứng $x=-2$) và tiệm cận xiên (loại B vì B có tiệm cận ngang $y=1$). Xét A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$, có $y^{\prime }=1-\frac{3}{(x-2{)}^2}$ nên hàm số có cực trị, đồ thị phải có 2 nhánh cùng đi lên với điểm cực trị — không khớp hình vẽ (hai nhánh đơn điệu, nhánh trái tăng, nhánh phải cũng tăng và tiệm cận xiên $y=x+1$). Xét D: $y=\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}$, có $y^{\prime }=1+\frac{1}{(x-2{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, không có cực trị; tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận xiên $y=x+1$ — khớp hoàn toàn với đồ thị đã cho (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to 2^{-}$, nhánh phải tăng từ $-\infty$ khi $x\to 2^{+}$, tiệm cận xiên đi qua các điểm gần gốc). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy tiệm cận đứng $x=-2$ và hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng, giới hạn khi $x\to \pm \infty$ lần lượt là $+\infty$ và $-\infty$. Xét $y=\frac{-x^2-2x+1}{x+2}$ (đáp án A): $y^{\prime }=\frac{(-2x-2)(x+2)-(-x^2-2x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{-x^2-4x-5}{(x+2{)}^2}=-\frac{(x+2{)}^2+1}{(x+2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -2$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$. Khi $x\to \pm \infty$, $y\sim -x-2$ nên $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$, $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$. Tại $x=-2$: tử số $=-4+4+1=1>0$, nên $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$, $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các phương án B, D có tiệm cận đứng $x=-2$ nhưng giới hạn vô cực không phù hợp (B: $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$, $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$ nhưng khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$, không phải $\pm \infty$; D tương tự $y\to -1$). Phương án C có tiệm cận đứng $x=2$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f đồng biến trên (-∞;0) và (3;+∞), nghịch biến trên (0;3); f(0)=2 (cực đại), f(3)=-4 (cực tiểu).
a) Sai: hàm đồng biến trên (-∞;0), không phải (-∞;2).
b) Đúng: f' đổi dấu từ - sang + tại x=3 nên f đạt cực tiểu tại x=3.
c) Sai: trên khoảng (-∞;3), f(0)=2 nên GTLN bằng 2, nhưng f(x)>-4 với mọi x<3 (vì f(3)=-4 không thuộc khoảng) nên hàm không có GTNN = -4 trên khoảng này.
d) Sai: f(x)+2=0 ⇔ f(x)=-2. Trên (-∞;0) f tăng từ -∞ đến 2 nên có 1 nghiệm; trên (0;3) f giảm từ 2 đến -4 nên có 1 nghiệm; trên (3;+∞) f tăng từ -4 đến +∞ nên có 1 nghiệm. Cả 3 nghiệm đều đơn nên đồ thị y=2025/(f(x)+2) có 3 tiệm cận đứng. Ngoài ra khi x→±∞, f(x)+2→+∞ nên y=0 là tiệm cận ngang. Tổng cộng đồ thị có 4 đường tiệm cận, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên (-∞;0) và (3;+∞), không đồng biến trên (-∞;2) vì trên (0;2) hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x=3 nên hàm đạt cực tiểu tại x=3, giá trị cực tiểu f(3)=-4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng (-∞;3): f(0)=2 nên GTLN bằng 2; nhưng f(3)=-4 không thuộc khoảng và f(x)>-4 với mọi x<3 nên hàm không có GTNN bằng -4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình f(x)=-2 có 3 nghiệm đơn (mỗi khoảng đồng biến/nghịch biến 1 nghiệm) nên có 3 tiệm cận đứng; đồng thời y=0 là tiệm cận ngang vì f(x)+2→+∞ khi x→±∞. Vậy đồ thị có 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$. → Sai.

b) Vì $f(x)-\left(x+1\right)=\frac{1}{x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x+1$. → Đúng.

c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$; với $x\in (-1;0)$ hàm nghịch biến, $x\in (0;+\infty )$ hàm đồng biến nên $x=0$ là điểm cực tiểu, $f(0)=2$, điểm cực tiểu $(0;2)$. → Đúng.

d) Đặt $t=x+1\ne 0$, khi đó $f(x)=t+\frac{1}{t}$. Phương trình $\left|t+\frac{1}{t}\right|=5$:
- Với $t>0$: $t+\frac{1}{t}=5\iff t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương.
- Với $t<0$: $t+\frac{1}{t}=-5\iff t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm.

Vậy tổng cộng 4 nghiệm phân biệt của $x$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;0)$ nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$, hàm nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, $f(0)=2$ nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x+1\ne 0$, $|t+1/t|=5$ cho 2 nghiệm dương và 2 nghiệm âm của $t$, tức 4 nghiệm phân biệt của $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$. Với $y=\frac{ax+1}{cx+d}$: $y(0)=\frac{1}{d}=1\Rightarrow d=1$; $y(1)=\frac{a+1}{c+1}=0\Rightarrow a=-1$; tiệm cận ngang $\frac{a}{c}=-1\Rightarrow c=1$. Vậy $y=\frac{-x+1}{x+1}$. a) $y^{\prime }=\frac{-(x+1)-(-x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$ trên mỗi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định → Đúng. b) ${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{a}{c}=-1$ → Đúng. c) Khi $x\to -1^{+}$: tử số $-(-1)+1=2>0$, mẫu số $x+1\to 0^{+}$ nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty \ne -\infty$ → Sai. d) $a=-1\ne 2$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, nên hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }y=\frac{a}{c}=\frac{-1}{1}=-1$, đúng với tiệm cận ngang $y=-1$ trên đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{-x+1}{x+1}$, khi $x\to -1^{+}$ thì tử số tiến về 2 và mẫu số tiến về $0^{+}$, nên ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, không phải $-\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $y(1)=0$ suy ra $a+1=0\Rightarrow a=-1\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
h(x)=(x^2-2x-1)/(x+1), y' = (x^2+2x-1)/(x+1)^2, cực trị tại x=-1±√2 với y lần lượt -4-2√2 và -4+2√2. Khoảng cách = √((2√2)^2+(4√2)^2)=√40=2√10≈6,32≠10 → a sai. Khi x→−∞, h(x)~x−3→−∞ → b sai. Phương trình h(x)=−2x cho 3x^2−1=0, hai nghiệm phân biệt x=±1/√3 (đều khác −1) → c đúng. Chia đa thức: x^2−2x−1=(x+1)(x−3)+2 nên tiệm cận xiên y=x−3 → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y'=(x^2+2x-1)/(x+1)^2=0 tại x=-1±√2. h(-1-√2)=-4-2√2, h(-1+√2)=-4+2√2. Khoảng cách = √((2√2)^2+(4√2)^2)=√40=2√10≈6,32≠10.
b) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=x-3+2/(x+1), khi x→−∞ thì h(x)→−∞, không phải +∞.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x)=-2x ⟺ x^2-2x-1=-2x(x+1) ⟺ 3x^2-1=0 ⟺ x=±1/√3, hai nghiệm phân biệt và đều thuộc tập xác định, nên có hai điểm chung phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
x^2-2x-1=(x+1)(x-3)+2 nên h(x)=x-3+2/(x+1), tiệm cận xiên là y=x-3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tập xác định của $g$ là $[-2;+\infty )$ (khoảng trước $-2$ bị gạch chéo), $g(-2)=0$, $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$ trên $(-2;0)$ (khi $x\to 0^{-}$ thì $g(x)\to +\infty$), $g(0)=1$ và $g$ nghịch biến từ $1$ xuống $-\infty$ trên $(0;+\infty )$.

a) Trên $(0;+\infty )$ ta có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$: ĐÚNG.

b) Trên $(-2;0)$: $g(-2)=0$ và $g$ đồng biến, $g(x)\ge 0$, đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ (cắt tại điểm này). Trên $(0;+\infty )$: $g$ liên tục, giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên theo định lý giá trị trung gian, đồ thị cắt trục hoành tại đúng một điểm. Vậy đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm: ĐÚNG.

c) Tại $x=0$, do ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$ nên hàm số không liên tục tại $x=0$, không thể đạt cực đại tại đó (cực đại yêu cầu hàm liên tục và đổi dấu đạo hàm từ $+$ sang $-$ quanh điểm đó với giá trị hữu hạn): SAI.

d) Xét $y=\frac{1}{g(x)-1}$:
- Tiệm cận đứng: $g(x)=1$ xảy ra tại đúng một điểm trên $(-2;0)$ (vì $g$ đồng biến từ $0$ đến $+\infty$) và tại $x=0$ (vì $g(0)=1$, mẫu số bằng $0$). Vậy $a=2$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{g(x)-1}=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{g(x)-1}=0$ nên có $b=1$ đường tiệm cận ngang $y=0$.
Khi đó $a^2+b^2=4+1=5\ne 10$: SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(-2)=0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại $x=-2$; trên $(0;+\infty )$ hàm liên tục giảm từ $1$ đến $-\infty$ nên còn cắt trục hoành thêm một điểm. Vậy luôn cắt trục hoành ít nhất một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, hàm số không liên tục tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có đúng một nghiệm trên $(-2;0)$ và tại $x=0$ nên $a=2$; hàm số có $b=1$ tiệm cận ngang $y=0$. Suy ra $a^2+b^2=5\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: bảng biến thiên có đường tiệm cận đứng x=-1 (f' không xác định, f không xác định tại x=-1), nên D=R\{-1}. b) Đúng: trên nhánh (-∞;-1) hàm tăng từ 1 đến 2 (không đạt 2), trên nhánh (-1;+∞) hàm tăng từ -∞ đến f(1)=3 rồi giảm đến -1; giá trị lớn nhất trên toàn tập xác định là f(1)=3. c) Sai: f' không xác định tại x=-1 nên không thể nói hàm đồng biến trên khoảng (-∞;1); hàm chỉ đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;1). d) Sai: với y=2x/|x+1|, trên khoảng (-∞;-1) ta có y=-2x/(x+1), y'=-2/(x+1)^2<0 nên hàm nghịch biến trên (-∞;-1), mâu thuẫn với bảng biến thiên (đồng biến, đi từ 1 đến 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên có tiệm cận đứng x=-1 nên hàm không xác định tại x=-1: D=R\{-1}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-1) hàm tăng từ 1 đến 2 (chưa đạt 2); trên (-1;+∞) hàm đạt cực đại f(1)=3 rồi giảm. Vậy GTLN của hàm số bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
f' không xác định tại x=-1 nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng (-∞;1); hàm chỉ đồng biến trên (-∞;-1) và (-1;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=2x/|x+1|, khi x<-1: y=-2x/(x+1) có y'=-2/(x+1)^2<0, hàm nghịch biến trên (-∞;-1), trái với bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $-c=1\Rightarrow c=-1$. Đồ thị đi qua điểm $(0;3)$: $3=2+\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c=-1$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(2;0)$: $0=2a+2+\frac{b}{2+c}=2a+2-1=2a+1\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$ (khớp với tiệm cận xiên $y=-\frac{x}{2}+2$ đi xuống như hình). Vậy $P=a-3b+2c=-\frac{1}{2}-3(-1)+2(-1)=-\frac{1}{2}+3-2=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng tại $x=2$ nên $d=-2<0$. Ta có $f(0)=\frac{c}{d}=-1\Rightarrow c=2>0$. Có $f(4)=7$: $\frac{16a+4b+2}{2}=7\Rightarrow 4a+b=3$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2ax+b)(x+d)-(a{x}^2+bx+c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2+2adx+(bd-c)}{(x+d{)}^2}=\frac{a{x}^2-4ax-2b-2}{(x+d{)}^2}$. Vì $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=4$ nên $-2b-2=0\Rightarrow b=-1<0$; khi đó $4a-1=3\Rightarrow a=1>0$ (tử số là $x^2-4x$, đúng có nghiệm $0$ và $4$). Vậy $a=1>0$, $b=-1<0$, $c=2>0$, $d=-2<0$: có 2 số dương. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án mã đề 221: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{x^2-3x+3}{1-x}=-x+2-\frac{1}{x-1}$ (với $x\ne 1$). Khi đó $f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime }(x)>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, $f^{\prime }(x)<0\iff 0<x<2$ (trừ $x=1$).
a) Trên $(0;2)$ hàm số nghịch biến (trừ điểm gián đoạn $x=1$), nên khẳng định SAI.
b) Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=2$, không phải cực đại → SAI.
c) Trên $[3/2;7/2]$, hàm nghịch biến trên $[3/2;2]$ và đồng biến trên $[2;7/2]$, nên $\min f=f(2)=\frac{4-6+3}{-1}=-1\ne -\frac{3}{2}$ → SAI.
d) Hai điểm cực trị: $A(0;3)$, $B(2;-1)$. Với $C(-1;2)$: $CA=\sqrt{2}$, $CB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$, nên $\frac{AD}{DB}=\frac{CA}{CB}=\frac{1}{3}$. Khi đó $D=\frac{3A+B}{4}=\left(\frac{1}{2};2\right)$, tức $a=\frac{1}{2},b=2$, suy ra $4a-b=2-2=0$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\in (0;2),x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[3/2;7/2]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=2$: $f(2)=-1\ne -\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(0;3)$, $B(2;-1)$, $C(-1;2)$; $CA=\sqrt{2}$, $CB=3\sqrt{2}$ nên $AD:DB=1:3$, $D=\frac{3A+B}{4}=(1/2;2)$, do đó $4a-b=4\cdot \frac{1}{2}-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) C(0)=0/(0+4)=0 mg/l → đúng. b) C(6)=180/40=4,5 mg/l; lim C(t) khi t→+∞ bằng 0 (không phải 7,5), và hàm giảm sau t=2 → sai. c) C'(t)=30(4−t²)/(t²+4)²=0 tại t=2, C(2)=60/8=7,5 mg/l là mức cao nhất, không phải 4 mg/l → sai. d) 30t/(t²+4)≥6 ⇔ t²−5t+4≤0 ⇔ 1≤t≤4, độ dài khoảng thời gian là 4−1=3 giờ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(0)=0/(0+4)=0 mg/l.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(6)=180/40=4,5 mg/l; tiệm cận khi t→+∞ là 0, không phải 7,5 mg/l.
c) (AI giải đề cho tôi)
C'(t)=30(4−t²)/(t²+4)²=0 tại t=2; C(2)=60/8=7,5 mg/l là giá trị lớn nhất.
d) (AI giải đề cho tôi)
30t/(t²+4)≥6 ⇔ t²−5t+4≤0 ⇔ 1≤t≤4, kéo dài đúng 3 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng x=1 nên d=-1; f(0)=2 nên c=-2; f(2)=6 nên 4a+2b-2=6 ⇒ 2a+b=4. f'(0)=0: f'(x)=[(2ax+b)(x+d)-(ax²+bx+c)]/(x+d)², tại x=0: -b+2=0 ⇒ b=2, a=1. Vậy f(x)=(x²+2x-2)/(x-1). Kiểm tra: f(0)=2, f(2)=6 đúng.
a) Sai: f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) Đúng: cực đại f(0)=2, cực tiểu f(2)=6, tích 2·6=12.
c) Sai: a+b+c+d=1+2-2-1=0≠2.
d) Đúng: với x>1 thì y=f(x)≥6>0, tổng khoảng cách tới hai trục là S=x+y=x+(x²+2x-2)/(x-1)=(2x²+x-2)/(x-1)=2x+3+1/(x-1). Đặt t=x-1>0: S=2t+5+1/t≥5+2√2, dấu bằng tại t=1/√2 (tức x=1+√2/2). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 5+2√2.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)<0 trên (0;1) và (1;2) nhưng hàm số không xác định tại x=1 (tiệm cận đứng), nên hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (0;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại f(0)=2, giá trị cực tiểu f(2)=6, tích bằng 12.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tìm được a=1, b=2, c=-2, d=-1 nên a+b+c+d=0≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, y≥6>0 nên tổng khoảng cách S=x+y=(2x²+x-2)/(x-1)=2t+5+1/t với t=x-1>0, đạt min 5+2√2 tại t=1/√2.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nhận $x=-1$ làm tiệm cận đứng nên $-c+d=0\Rightarrow d=c$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}=\frac{k}{(x+1{)}^2}$ với $k>0$ (đồ thị dương). Từ đồ thị $f^{\prime }(0)=3\Rightarrow k=3$, tức $a-b=3c$ (với $c\ne 0$).
Vì $f^{\prime }(x)>0$ trên mọi khoảng xác định nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$: ý a) Đúng.
GTLN trên $[0;2]$ đạt tại $x=2$: $f(2)=1\Rightarrow 2a+b=3c$. Kết hợp $a-b=3c$ được $b=-c,a=2c$; chọn $c=1$: $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$.
Kiểm tra: $f(0)=-1$, $f(2)=1$ (GTLN đúng), $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, $f^{\prime }(0)=3$ khớp đồ thị.
b) $f(0)=-1\ne 1$: Sai.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$: Đúng.
d) $y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $3$: $x+1\in \{\pm 1,\pm 3\}\Rightarrow x\in \{0,-2,2,-4\}$ với $y\in \{-1,5,1,3\}$, tức 4 điểm nguyên chứ không phải 6: Sai.
Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên $f$ đồng biến trên $(-1;+\infty )$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tìm được $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, nên $f(0)=-1\ne 1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{a}{c}=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y=2-\frac{3}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của 3: $x\in \{0,-2,2,-4\}$, cho 4 điểm nguyên, không phải 6. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$ với $a>0$, nên $y^{\prime }=3a(x+1)(x-4)=3a(x^2-3x-4)$. Suy ra $2b=-9a\Rightarrow \frac{b}{a}=-\frac{9}{2}$. Theo Vieta, tổng ba nghiệm của phương trình $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ (tức hoành độ giao điểm với trục hoành) là $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}=\frac{9}{2}$. Vậy $S=\frac{x_1+x_2+x_3}{2}=\frac{9}{4}=2,25$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Câu 44): đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (đường đứt nét), tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua $(0;2)$ và có hệ số góc $1$, tức $y=x+2$; đồ thị cắt trục $Oy$ tại $y=4$ và có hai nhánh đồng biến. Xét phương án A: $y=\frac{x^2+x-4}{x-1}=x+2-\frac{2}{x-1}$, có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+2$, $y(0)=4$, $y^{\prime }=1+\frac{2}{(x-1{)}^2}>0$ (đồng biến trên mỗi nhánh), $y=0\iff x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx 1,56$ — khớp với hình vẽ. Phương án B: $y=-x+2-\frac{2}{x-1}$ có TCX $y=-x+2$ (sai). Phương án C: TCĐ là $x=-1$ (sai). Phương án D: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ nên $y=x+3$ với $x\ne 1$, là đường thẳng, không có TCĐ (sai). Vậy đáp án là A.