Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+8+12+2+2=30$. Tần số tích lũy: nhóm $[100;120)$: 6; nhóm $[120;140)$: 14; nhóm $[140;160)$: 26; nhóm $[160;180)$: 28; nhóm $[180;200]$: 30.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ nằm trong nhóm $[120;140)$ (tần số tích lũy trước là 6, tần số nhóm là 8), nên
$$Q_1=120+\frac{7,5-6}{8}\cdot 20=120+3,75=123,75\text{ (km)}.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ nằm trong nhóm $[140;160)$ (tần số tích lũy trước là 14, tần số nhóm là 12), nên
$$Q_3=140+\frac{22,5-14}{12}\cdot 20=140+\frac{170}{12}=140+\frac{85}{6}\approx 154,17\text{ (km)}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 154,17-123,75=30,42\approx 30,4\text{ (km)}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta Q\approx 30,4$ km.

a) Sai. Cỡ mẫu $n=20$. Gọi $x_1;x_2;\dots ;x_{20}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có: $x_1\in [130;160)$; $x_2\in [160;190)$; $x_3\in [190;220)$; $x_4;\dots ;x_{11}\in [220;250)$; $x_{12};\dots ;x_{18}\in [250;280)$; $x_{19};x_{20}\in [280;310)$. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)\in [220;250)$. Do đó $Q_1=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+1+1)}{8}(250-220)=227,5$. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)\in [250;280)$. Do đó $Q_3=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+1+1+8)}{7}(280-250)=\frac{1870}{7}$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=39,64$.

b) Đúng. Gọi $y_1;y_2;\dots ;y_{20}$ là mẫu số liệu gốc của Quy Nhơn: $y_1\in [160;190)$; $y_2;y_3\in [190;220)$; $y_4;\dots ;y_7\in [220;250)$; $y_8;\dots ;y_{17}\in [250;280)$; $y_{18};\dots ;y_{20}\in [280;310)$. $Q_1^{\prime }=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+2)}{4}(250-220)=235$; $Q_3^{\prime }=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+2+4)}{10}(280-250)=274$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=39<39,64$. Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

c) Đúng. $\overline{x_Y}=\frac{1.175+2.205+4.235+10.265+3.295}{20}=253$; ${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{1.175^2+2.205^2+4.235^2+10.265^2+3.295^2}{20}-253^2}\approx 30,59$.

d) Sai. $\overline{x_X}=\frac{1.145+1.175+1.205+8.235+7.265+2.295}{20}=242,5$; ${\sigma }_X\approx 35,34>{\sigma }_Y$. Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.
a) a) Sai. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_1=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+1+1)}{8}(250-220)=227,5$. Tứ phân vị thứ ba là: $Q_3=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+1+1+8)}{7}(280-250)=\frac{1870}{7}$. Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=39,64$.
b) b) Đúng. Với số liệu Quy Nhơn: $Q_1^{\prime }=220+\frac{\frac{20}{4}-(1+2)}{4}(250-220)=235$; $Q_3^{\prime }=250+\frac{\frac{3.20}{4}-(1+2+4)}{10}(280-250)=274$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q^{\prime }=Q_3^{\prime }-Q_1^{\prime }=39<39,64$ nên số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.
c) c) Đúng. Số trung bình: $\overline{x_Y}=\frac{1.175+2.205+4.235+10.265+3.295}{20}=253$. Độ lệch chuẩn: ${\sigma }_Y=\sqrt{\frac{1.175^2+2.205^2+4.235^2+10.265^2+3.295^2}{20}-253^2}\approx 30,59$.
d) d) Sai. Xét số liệu của Nha Trang: $\overline{x_X}=\frac{1.145+1.175+1.205+8.235+7.265+2.295}{20}=242,5$; ${\sigma }_X=\sqrt{\frac{1.145^2+1.175^2+1.205^2+8.235^2+7.265^2+2.295^2}{20}-242,5^2}\approx 35,34>30,59$. Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Chọn D. Tần số tích lũy của các nhóm [2,7;3,0), [3,0;3,3), [3,3;3,6), [3,6;3,9), [3,9;4,2) lần lượt là 3; 9; 14; 18; 20 (n = 20). Ta có $\frac{n}{4}=5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm [3,0;3,3): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Ta có $\frac{3n}{4}=15$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [3,6;3,9): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=70-20=50$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối và đầu mút trái của nhóm đầu: $R=x_M-x_m=70-20=50$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 211: A).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R=20-0=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số: $2+7+10+11+2=32$, nên lớp 12A có 32 học sinh (A sai). Số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên: $10+11+2=23$ (B sai). Tần số lớn nhất là 11 thuộc nhóm $[55;60)$, không phải $[50;55)$ (C sai). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $=65-40=25$ (D đúng). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=10,5$ và $\frac{3n}{4}=31,5$. Tần số tích lũy: $4;15;31;39;42$.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[5;6)$: $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,0625-5,5909=1,4716\approx 1,47$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,47).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (đại diện hai nhóm đầu và cuối): $R=65-40=25$, nên khẳng định A đúng. Kiểm tra các khẳng định khác: B sai vì số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên là $10+11+2=23$ (không phải 22). C sai vì nhóm có tần số lớn nhất là $[55;60)$ với tần số 11 (nhóm $[50;55)$ chỉ có tần số 10). D sai vì tổng số học sinh là $2+7+10+11+2=32$ (không phải 35). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{42}{4}=10,5$ nằm trong nhóm $[5;6)$ (tần số tích lũy trước là 4, tần số nhóm là 11): $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3\cdot 42}{4}=31,5$ nằm trong nhóm $[7;8)$ (tần số tích lũy trước là $4+11+16=31$, tần số nhóm là 8): $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=7,0625-5,5909\approx 1,47$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do $Q_3\ge Q_1$ nên hiệu này không âm, đúng nghĩa độ phân tán. Vậy đáp án là $Q_3-Q_1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu ghép nhóm: giá trị nhỏ nhất là đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 50, giá trị lớn nhất là đầu mút phải của nhóm cuối cùng là 300. Khoảng biến thiên $R=300-50=250$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q3 − Q1 là một đại lượng đo mức độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu (50% dữ liệu ở giữa). Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc. Do đó ý nghĩa đúng là: nó cho biết mức độ phân tán (không phải 'không phân tán') của nửa giữa mẫu số liệu. Phương án A sai vì nói 'không phân tán'; C sai vì khoảng tứ phân vị thường được dùng thay cho khoảng biến thiên khi có dữ liệu bất thường; D sai vì nó giúp xác định các giá trị bất thường, không phải 'không bất thường'.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu dữ liệu ghép nhóm bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm có tần số lớn nhất (cuối bảng có dữ liệu) và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu. Lớp 12A: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[150;155)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[175;180)$, nên ${\Delta }_A=180-150=30$. Lớp 12B: nhóm có dữ liệu đầu tiên là $[160;165)$, nhóm cuối cùng có dữ liệu là $[180;185)$, nên ${\Delta }_B=185-160=25$. Vậy ${\Delta }_A=30=25+5={\Delta }_B+5$, do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số các nhóm: 6, 2, 4, 4, 6, 8; n = 30. Giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25.
a) Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3 → đúng.
b) n/4 = 7,5 nên Q1 thuộc nhóm [49; 49,5): Q1 = 49 + (7,5 − 6)/2 · 0,5 = 49,375. 3n/4 = 22,5 nên Q3 thuộc nhóm [51; 51,5): Q3 = 51 + (22,5 − 22)/8 · 0,5 = 51,03125. Khoảng tứ phân vị = 51,03125 − 49,375 = 1,65625 ≠ 3 → sai.
c) Trung bình = (48,75·6 + 49,25·2 + 49,75·4 + 50,25·4 + 50,75·6 + 51,25·8)/30 = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32 → sai.
d) Σ n_i x_i² = 75576,875; s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 2519,2292 − 2518,3703 ≈ 0,8589 ≠ 0,7009 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên = 51,5 − 48,5 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 49,375; Q3 = 51,03125; khoảng tứ phân vị = 1,65625 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị trung bình = 1505,5/30 ≈ 50,1833 ≠ 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s² = 75576,875/30 − (1505,5/30)² ≈ 0,8589 ≠ 0,7009.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (theo hai đầu mút của bảng): $R=24,5-9,5=15$ (phút). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (ghép nhóm) được định nghĩa là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $R=19-14=5$ (năm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100. Q1: vị trí 100/4 = 25 thuộc nhóm [8,8; 9,0): Q1 = 8,8 + (25-17)/25 · 0,2 = 8,864. Q3: vị trí 75 thuộc nhóm [9,0; 9,2): Q3 = 9,0 + (75-42)/44 · 0,2 = 9,15. Khoảng tứ phân vị Δ_Q = 9,15 - 8,864 = 0,286.