Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$.
- Điểm $(0;0;0)$: $0+0+0-0-0-0=0$ → thuộc mặt cầu.
- Điểm $(1;2;3)$: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$ → không thuộc mặt cầu.
- Điểm $(2;0;6)$: $4+0+36-4-0-36=0$ → thuộc mặt cầu.
Vậy có 2 điểm thuộc mặt cầu, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $(S)$ là $I(3;0;0)$ bán kính $R=3$; tâm $(S^{\prime })$ là $I^{\prime }(-2;0;0)$ bán kính $r=2$. Khoảng cách $I{I}^{\prime }=5=R+r=3+2$, nên hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khoảng cách từ $A(2;0;1)$ đến $(Oxy)$ là $z_A=1$, nên bán kính $R=1$ và phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$. Đúng.
b) Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{2+0}{2};\frac{0-2}{2};\frac{-1+3}{2}\right)=(1;-1;1)$, bán kính $R=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{24}=\sqrt{6}$, nên $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$. Đúng.
c) Thay $(1;2;3)$: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$, điểm này không thuộc $(S)$ (mặc dù $(0;0;0)$ và $(2;0;6)$ thuộc). Sai.
d) Quả cầu tâm $I(12;20;50)$ bán kính 50 nên tiếp xúc mặt sàn $(Oxy)$ tại điểm có cao độ 0, phương trình $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$ mô tả đúng quả cầu resting trên sàn. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;0;1)$ đến $(Oxy)$ là 1 nên $R=1$, phương trình $(x-2{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=1$ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;-1;1)$, $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{6}$, nên $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=6$ đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;2;3)$ vào phương trình: $1+4+9-2-8-18=-14\ne 0$, nên điểm này không thuộc $(S)$; khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm cao 50 cm và bán kính 50 cm nên quả cầu tiếp xúc mặt sàn $(Oxy)$, phương trình đã cho đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+8z+17=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với tâm $I(a;b;c)$. Suy ra $a=\frac{4}{2}=2$, $b=\frac{2}{2}=1$, $c=\frac{-8}{2}=-4$. Vậy $I(2;1;-4)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với $a=1,b=1,c=4$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2-c>0$, tức $1+1+16-4=6-m>0\iff m<6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm $I=\left(\frac{1-3}{2};\frac{-2+8}{2};\frac{7-1}{2}\right)=(-1;3;3)$. Bán kính $R=\frac{AB}{2}$ với $A{B}^2=(-4{)}^2+10^2+(-8{)}^2=16+100+64=180$, nên $R^2=45$. Phương trình mặt cầu: $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-3{)}^2=45$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-1{)}^2+(-3+4{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18}$. Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-4;3)$: $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+(z-3{)}^2=18$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6-m$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=6-m>0$, tức $m<6$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1,2,3,4,5\}$, có 5 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu có tâm $I(1;-3;2)$ nên $a=1,b=-3,c=2$. Bán kính $R=IA=\sqrt{(5-1{)}^2+(-1+3{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}$, nên $R^2=24$. Do đó $T=a+b+c+R^2=1-3+2+24=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z-2=0$. Tâm $I=(-a/2;-b/2;-c/2)=(1;2;-1)$. Bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2-(-2)}=\sqrt{1+4+1+2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu đường kính AB là trung điểm I = ((1-3)/2; (-2+8)/2; (7-1)/2) = (-1;3;3) nên a đúng. AB = (-4;10;-8) nên AB² = 16+100+64 = 180, R = √180 = 3√5 ≈ 6,7 ≠ 5 nên b sai. Vì R ≠ 5 nên phương trình (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 25 sai (đúng phải là = 180). Khoảng cách từ A(1;-2;7) đến (P): d = |1 - 2(-2) + 3·7 - 1|/√(1+4+9) = 25/√14 ≈ 6,68 ≠ 3 nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(-1;3;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/2 = √180/2 = 3√5 ≈ 6,7 ≠ 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là (x+1)²+(y-3)²+(z-3)² = 180, không phải 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P)) = |1+4+21-1|/√14 = 25/√14 ≈ 6,68 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0$, ta có tâm $I(-2;1;-1)$ (đổi dấu các hệ số $4x,-2y,2z$). Bán kính $R=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+(-1{)}^2-(-3)}=\sqrt{4+1+1+3}=\sqrt{9}=3$. Vậy $I(-2;1;-1)$, $R=3$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu cách đều các mặt của khối lập phương cạnh 10 cm một khoảng 1 cm nên tâm là tâm lập phương $I(5;5;5)$ và bán kính $R=5-1=4$ cm. Phương trình: $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2+(z-5{)}^2=16\iff x^2+y^2+z^2-10x-10y-10z+59=0$. Suy ra $a=b=c=5$, $d=59$. Vậy $a+b+c-d=15-59=-44$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+c=0$ với $a=1,b=1,c=4$. Đây là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=a^2+b^2+c^2-c>0$, tức $R^2=1+1+16-m=18-m>0$... Kiểm tra lại bằng cách hoàn thành bình phương: $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6-m$. Để là mặt cầu cần bán kính dương: $6-m>0\iff m<6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z+2{)}^2=49$ có tâm $I(1;3;-2)$, bán kính $R=7$. Bóng đèn nhỏ tại $P(4;7;-2)$. Khoảng cách $IP=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-3{)}^2+(-2+2{)}^2}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5$. Vậy khoảng cách từ bóng đèn nhỏ đến tâm quả cầu là $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-200x-600y-4000z+4099900=0$. Tâm $I(100;300;2000)$, bán kính $R=\sqrt{100^2+300^2+2000^2-4099900}=\sqrt{10000+90000+4000000-4099900}=\sqrt{100}=10$. Khớp với đáp án nguồn (đề 1220, Phần III câu 1: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2+z^2-4x+2z-6y-2=0$, ta có $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+1{)}^2=4+9+1+2=16$. Vậy tâm $I(2;3;-1)$, $P=a+b+c=2+3-1=4$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1220, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Quả cầu nằm trên mặt sàn (mặt phẳng $Oxy$) nên tiếp xúc với $Oxy$ tại điểm có cao độ $z=0$. Tâm $I(12;20;50)$ có khoảng cách tới mặt phẳng $Oxy$ bằng 50, do đó bán kính $R=50$ cm. Phương trình mặt cầu: $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 6, mã đề 1220: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x^2+y^2+z^2-4x-6y+2z-2=0$, ta có tâm $I(a;b;c)$ với $a=-\frac{-4}{2}=2$, $b=-\frac{-6}{2}=3$, $c=-\frac{2}{2}=-1$. Bán kính $R=\sqrt{4+9+1+2}=4>0$ nên đây là mặt cầu. Khi đó $P=a+b+c=2+3-1=4$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Quả cầu nằm trên mặt sàn (mặt phẳng $Oxy$) nên tiếp xúc với mặt sàn tại điểm có cao độ $z=0$. Tâm $I(12;20;50)$ cách mặt sàn một khoảng bằng 50 cm, do đó bán kính quả cầu $R=50$ cm. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(12;20;50)$, bán kính 50 nên phương trình là $(x-12{)}^2+(y-20{)}^2+(z-50{)}^2=50^2$. Kết quả trùng với đáp án D trong đề.