Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề “$\exists x\in \mathbb{R},x^2=3$” là mệnh đề tồn tại, khẳng định có ít nhất một số thực $x$ sao cho $x^2=3$ (thực tế có hai số là $\pm \sqrt{3}$). Do đó đáp án là B. Các phương án A, D dùng “mỗi/tất cả” (đúng ra phải là $\forall$), phương án C khẳng định tính duy nhất, đều không phù hợp với ký hiệu $\exists$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{9}=3$, nên $\sqrt{9}>3$ sai, $\sqrt{9}<3$ sai, $\sqrt{9}=81$ sai. Chỉ mệnh đề $\sqrt{9}\ge 3$ đúng (dấu $\ge$ cho phép bằng). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Với $n=3$: $3^2+11\cdot 3+2=9+33+2=44$ chia hết cho $11$, nên mệnh đề đúng.
- B: Với $n$ chẵn thì $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; với $n$ lẻ thì $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho $4$, mệnh đề SAI.
- C: Số $5$ là số nguyên tố và chia hết cho $5$, mệnh đề đúng.
- D: $2n^2-8=0\iff n=\pm 2\in \mathbb{Z}$, mệnh đề đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: Với $n=4$: $4^2+17\cdot 4+1=16+68+1=85=17\cdot 5$, chia hết cho 17 → đúng.
- B: Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1$ lẻ, không chia hết cho 4; nếu $n$ lẻ thì $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$, cũng không chia hết cho 4. Vậy không tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $n^2+1$ chia hết cho 4 → mệnh đề SAI.
- C: Số 13 là số nguyên tố và chia hết cho 13 → đúng.
- D: $x=2\in \mathbb{Z}$ thỏa $x^2-4=0$ → đúng.
Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A sai vì với $n=1$, $n(n+1)=2$ không là số chính phương. B sai vì với $n=1$, $n(n+1)=2$ là số chẵn (thực tế $n(n+1)$ luôn chẵn vì hai số liên tiếp). C sai vì trong ba số liên tiếp $n,n+1,n+2$ luôn có một số chẵn nên tích $n(n+1)(n+2)$ luôn chẵn, không thể là số lẻ. D đúng: trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3, do đó tích $n(n+1)(n+2)$ chia hết cho $2\cdot 3=6$ với mọi $n\in \mathbb{N}$. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: chia hết cho 5 chỉ là điều kiện cần để chia hết cho 15, không đủ (ví dụ $10$ chia hết cho $5$ nhưng không chia hết cho $15$).
- B sai: tứ giác có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc là hình chữ nhật (ví dụ hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau), nên đây không phải điều kiện cần và đủ.
- C sai: $a+b$ hữu tỉ không kéo theo $a,b$ hữu tỉ (ví dụ $a=\sqrt{2},b=-\sqrt{2}$ thì $a+b=0$ hữu tỉ), nên đây không phải điều kiện cần.
- D đúng: điều kiện đủ nghĩa là $a+b>0\Rightarrow$ ít nhất một trong hai số $a,b$ dương. Thật vậy, nếu cả $a\le 0$ và $b\le 0$ thì $a+b\le 0$, mâu thuẫn với $a+b>0$. Vậy mệnh đề D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A: $\exists n\in \mathbb{N}:3^n<n+3$. Với $n=0$: $3^0=1<3$, mệnh đề đúng.
- B: $1>2\iff 6>7$. Cả hai vế đều sai nên tương đương đúng, mệnh đề đúng.
- C: $6<4\Rightarrow 10>7$. Mệnh đề giả $\Rightarrow$ mệnh đề đúng là mệnh đề đúng.
- D: $\forall x\in \mathbb{R}:(x-2{)}^2<x^2$. Với $x=0$: $(0-2{)}^2=4>0=x^2$, nên mệnh đề sai.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với mọi $n\in \mathbb{N}$, xét $n$ chia cho 3 có ba trường hợp: $n=3k$ thì $n^2+1=9k^2+1$ dư 1; $n=3k+1$ thì $n^2+1=9k^2+6k+2$ dư 2; $n=3k+2$ thì $n^2+1=9k^2+12k+5$ dư 2. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 3, mệnh đề đúng.
b) $|x|<3\iff -3<x<3$, còn $x<3$ chỉ là điều kiện cần chứ không đủ (ví dụ $x=-4$: $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Vậy hai vế không tương đương, mệnh đề sai.
c) Với $x=1$: $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định $(x-1{)}^2\ne x-1$ với mọi $x$ là sai.
d) Nếu $n$ chẵn, $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy $n^2+1$ không bao giờ chia hết cho 4, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xét $n$ theo modulo 3: $n^2+1$ có số dư lần lượt là 1, 2, 2 nên không bao giờ chia hết cho 3. Mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|x|<3\iff -3<x<3$, trong khi $x<3$ rộng hơn (ví dụ $x=-4$ thỏa $x<3$ nhưng $|x|=4\ge 3$). Hai mệnh đề không tương đương, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ ta có $(x-1{)}^2=0=x-1$, nên khẳng định đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Không tồn tại $n$ để $n^2+1$ chia hết cho 4, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 36: a) $2x^2-8=0\iff x=\pm 2\in \mathbb{Z}$, ví dụ $x=2$, nên mệnh đề đúng. b) Thử $n=3$: $3^2+11\cdot 3+2=9+33+2=44=4\cdot 11$ chia hết cho 11, nên mệnh đề đúng. c) Số 5 là số nguyên tố và chia hết cho 5, nên mệnh đề đúng. d) Xét $n$ chẵn: $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; xét $n$ lẻ: $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nên $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy với mọi $n\in \mathbb{N}$, $n^2+1$ không chia hết cho 4, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x^2-8=0\iff x=\pm 2\in \mathbb{Z}$, tồn tại $x=2$ thỏa mãn nên mệnh đề đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $n=3$: $n^2+11n+2=9+33+2=44$ chia hết cho 11, nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số 5 là số nguyên tố và chia hết cho 5, nên mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $n$ chẵn thì $n^2+1\equiv 1(\mathrm{mod}4)$; nếu $n$ lẻ thì $n^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. Vậy không tồn tại $n\in \mathbb{N}$ để $n^2+1$ chia hết cho 4, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Sai vì 2 là số chẵn và là số nguyên tố. b) Sai vì với x=0 thì -x²=0, không thỏa -x²<0. c) Đúng vì 2x²-8=0 ⟺ x²=4 ⟺ x=±2 ∈ ℤ. d) Sai vì 3x²-6=0 ⟺ x²=2 ⟺ x=±√2 là các số vô tỷ, không có nghiệm hữu tỷ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai vì số 2 là số chẵn và là số nguyên tố.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai vì với x=0 thì -x²=0, không nhỏ hơn 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì 2x²-8=0 ⟺ x²=4 ⟺ x=±2 ∈ ℤ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì 3x²-6=0 ⟺ x²=2 ⟺ x=±√2 là số vô tỷ, nên phương trình không có nghiệm hữu tỷ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 38: a) Sai vì với x=3, 2x=6 < 9=x^2 (mệnh đề đúng chỉ với 0<x<2). b) Đúng vì 2018=2·1009 không là số chính phương nên √2018 là số vô tỉ. c) Đúng vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất (số nguyên tố phải lớn hơn 1). d) Đúng vì 4·9=36, cả 4 và 9 đều là số chính phương.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai: với x=3 thì 2x=6 < 9=x^2; bất đẳng thức 2x>x^2 chỉ đúng khi 0<x<2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: 2018=2·1009 không là số chính phương nên √2018 là số vô tỉ, không là số hữu tỉ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: 2 là số nguyên tố nhỏ nhất vì số nguyên tố phải lớn hơn 1 và 2 chia hết duy nhất cho 1 và chính nó.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: tồn tại hai số chính phương 4 và 9 với tích 4·9=36.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ví dụ $a=1,b=-2$ thì $a\ge b$ nhưng $a^2=1<b^2=4$. b) Đúng: nếu $a=9k$ thì $a=3(3k)$ nên $a$ chia hết cho 3. c) Sai: tứ giác có hai cạnh đối song song chỉ là hình thang, ví dụ hình thang có $AB\parallel CD$ nhưng không phải hình bình hành. d) Sai: tam giác vuông cân có góc $60^{\circ }$ (ví dụ các góc $60^{\circ },60^{\circ },60^{\circ }$ là đều, nhưng tam giác có các góc $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ có một góc $60^{\circ }$ mà không đều). Vậy chỉ mệnh đề b) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ: $a=1,b=-2$ thì $a\ge b$ nhưng $a^2=1<4=b^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $a=9k$ thì $a=3\cdot 3k$, nên $a$ chia hết cho 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tứ giác chỉ cần hai cạnh đối song song là hình thang, chưa chắc hai cạnh đối còn lại song song nên chưa chắc là hình bình hành.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác có các góc $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$ có một góc $60^{\circ }$ nhưng không đều.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng giá trị vào mệnh đề $P(x):x+15\le x^2$. Với $x=2$: $2+15=17\le 4$ sai. Với $x=3$: $3+15=18\le 9$ sai. Với $x=-4$: $-4+15=11\le 16$ đúng. Với $x=0$: $0+15=15\le 0$ sai. Vậy $P(-4)$ là mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 40: Xét mệnh đề phủ định của từng mệnh đề.
a) $P$: “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề đúng (tính chất của hình thoi). Phủ định của $P$ là $\overline{P}$: “Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”. Vì mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc nên $\overline{P}$ là mệnh đề SAI.
b) $S$: “$1>-3$” là mệnh đề đúng. Phủ định là $\overline{S}$: “$1\le -3$”, đây là mệnh đề SAI vì $1>-3$.
c) $K$: “Phương trình $x^4-2x^2+2=0$ có nghiệm”. Đặt $t=x^2\ge 0$, ta được $t^2-2t+2=0$ với $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 2=-4<0$, nên phương trình vô nghiệm; do đó $K$ sai. Phủ định của $K$ là $\overline{K}$: “Phương trình $x^4-2x^2+2=0$ vô nghiệm”, đây là mệnh đề ĐÚNG.
d) $H$: “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=3$”. Ta có $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ nên $\sqrt{3}-\sqrt{12}=-\sqrt{3}$, suy ra $(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=(-\sqrt{3}{)}^2=3$, tức $H$ đúng. Phủ định của $H$ là $\overline{H}$: “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2\ne 3$”, đây là mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định là “Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau”. Mọi hình thoi đều có hai đường chéo vuông góc nên phủ định SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của “$1>-3$” là “$1\le -3$”, sai vì $1>-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=x^2\ge 0$: $t^2-2t+2=0$ có $\Delta =-4<0$ nên vô nghiệm. Phủ định “phương trình vô nghiệm” là ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2=(\sqrt{3}-2\sqrt{3}{)}^2=(-\sqrt{3}{)}^2=3$ nên $H$ đúng; phủ định “$(\sqrt{3}-\sqrt{12}{)}^2\ne 3$” là SAI.

(AI giải đề cho tôi)
a) Phủ định của '3^3 là số chính phương' là '3^3 không là số chính phương' → đúng. b) Phủ định của 'Tam giác ABC là tam giác cân' phải là 'Tam giác ABC không là tam giác cân', không phải 'không là tam giác vuông' → sai. c) Phủ định của '2^{2003}-1 là số nguyên tố' là '2^{2003}-1 không là số nguyên tố' → đúng. d) Phủ định của '$\sqrt{2}$ là số vô tỉ' là '$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ' → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của mệnh đề '3^3 là số chính phương' là '3^3 không là số chính phương', đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định đúng phải là 'Tam giác ABC không là tam giác cân', chứ không phải 'không là tam giác vuông'.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của '2^{2003}-1 là số nguyên tố' là '2^{2003}-1 không là số nguyên tố', đúng như đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của '$\sqrt{2}$ là số vô tỉ' là '$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ', đúng như đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, nên $P(x)$ đúng khi và chỉ khi $x=2$ hoặc $x=-1$.
a) Với $x=0$: $0^2-0-2=-2\ne 0$, mệnh đề sai.
b) Với $x=-1$: $(-1{)}^2-(-1)-2=1+1-2=0$, mệnh đề đúng.
c) Với $x=1$: $1-1-2=-2\ne 0$, mệnh đề sai.
d) Với $x=2$: $4-2-2=0$, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $0^2-0-2=-2\ne 0$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1$: $(-1{)}^2-(-1)-2=0$, nên mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $1-1-2=-2\ne 0$, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$: $4-2-2=0$, nên mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
P(x): x > 1/x. a) P(1): 1 > 1 sai. b) P(-1/3): -1/3 > -3 đúng. c) Với x=1 ∈ ℕ, P(1) sai nên mệnh đề ∀x∈ℕ, P(x) sai (ngoài ra x=0 làm 1/x không xác định). d) Tồn tại x=2 ∈ ℕ với 2 > 1/2 nên mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(1): 1 > 1/1 = 1 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(-1/3): -1/3 > 1/(-1/3) = -3 là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì P(1) sai (1 > 1 sai), nên không thể có ∀x∈ℕ, P(x); mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại x = 2 ∈ ℕ: 2 > 1/2 đúng, nên mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: chọn x=1, y=1 thì x+y=2≠1, nên mệnh đề ∀x,∀y: x+y=1 sai. b) Đúng: tồn tại x=1, y=1 thì x+y=2. c) Đúng: chọn x=1 thì y=1·y đúng với mọi y∈ℝ. d) Đúng: với mọi a∈ℝ, chọn b=a/3 thì a=3b.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì với x=1, y=1 ta có x+y=2≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì tồn tại x=1, y=1 với x+y=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì chọn x=1 thì y=xy với mọi y∈ℝ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì với mọi a∈ℝ, chọn b=a/3 thì a=3b.

(AI giải đề cho tôi)
Một đề (mệnh đề) là câu khẳng định có thể xác định đúng hoặc sai. Xét từng phát biểu: (1) “17 là số nguyên tố” là câu khẳng định, có thể xét đúng/sai (đúng, vì 17 chỉ chia hết cho 1 và 17) → là đề. (2) “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền” là câu khẳng định đúng (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) → là đề. (3) “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé!” là câu cầu khiến, không thể xác định đúng/sai → không phải đề. (4) “Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn” là câu khẳng định đúng (tâm là giao hai đường chéo) → là đề. Vậy có 3 phát biểu là một đề, khớp với đáp số 3 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng câu: Câu 1 'Phan-xi-păng là ngọn núi cao nhất Việt Nam' là một khẳng định có thể xác định đúng/sai, nên là mệnh đề. Câu 2 '${\pi }^2<9,86$' là một khẳng định toán học (đúng vì ${\pi }^2\approx 9,87$... thực tế ${\pi }^2\approx 9,8696>9,86$ nên mệnh đề sai, nhưng vẫn là mệnh đề). Câu 3 'Mệt quá!' là câu cảm thán, không phải mệnh đề. Câu 4 'Chị ơi, mấy giờ rồi?' là câu hỏi, không phải mệnh đề. Vậy có 2 câu là mệnh đề (câu 1 và câu 2), khớp với đáp số 2 của nguồn.