Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

a) Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ (1)
Ta có:
$$\{\begin{array}{l}O\in AC,AC\subset (SAC)\\ O\in BD,BD\subset (SBD)\end{array}$$
$\Rightarrow O\in (SAC)\cap (SBD)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $SO=(SAC)\cap (SBD)$

b) Vì $I$ là trung điểm của $SD$, $O$ là trung điểm của $BD$ nên $OI$ là đường trung bình của tam giác $SBD$.
Suy ra: $OI\parallel SB$.
Mà $SB\subset (SAB),OI\not\subset (SAB)$
Suy ra: $OI\parallel (SAB)$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\in BC$, do đó $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Điểm $A$ cũng thuộc $(ABC)$. Hai điểm phân biệt $A,M$ cùng thuộc $(ABC)$ nên đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. Các phương án khác sai vì: $A\notin (BCD)$, $M\notin (ACD)$, $M\notin (ABD)$. Kết quả trùng đáp án nguồn (mã đề 111, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $2n$ cạnh và $n+1$ mặt. Vì hình chóp có 16 cạnh nên $2n=16$, suy ra $n=8$ (đáy là tám giác). Số mặt $=n+1=8+1=9$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 4 (1 điểm)**

**a/ Tìm K = AD ∩ (SBC):**

Vì $AB\parallel CD$ (đáy hình thang) nên $CD\parallel AB$, mà $AB\subset (SBC)$ và $CD\not\subset (SBC)$ suy ra $CD\parallel (SBC)$.

Xét hai đường thẳng $AD$ và $BC$ là hai cạnh bên của hình thang, chúng cắt nhau tại điểm $K$ (khi kéo dài). Vì $K\in BC\subset (SBC)$ và $K\in AD$ nên $K=AD\cap (SBC)$.

Vậy $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$ (kéo dài).

**Tìm giao tuyến của $(IJE)$ và $(SAB)$:**

$I,J$ là trung điểm của $AD,BC$ nên $IJ$ là đường trung bình của hình thang: $IJ\parallel AB$.

Hai mặt phẳng $(IJE)$ và $(SAB)$ đều chứa điểm $E$ (vì $E\in SA\subset (SAB)$ và $E\in (IJE)$), nên chúng cắt nhau theo đường thẳng đi qua $E$.

Mặt khác $IJ\parallel AB$, với $IJ\subset (IJE)$, $AB\subset (SAB)$, nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua $E$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $IJ$).

**b/ Tính tỉ số diện tích:**

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF\parallel IJ\parallel AB$, với $E\in SA$, $F\in SB$.

Trong tam giác $SAB$, do $EF\parallel AB$ ta có $\frac{SF}{FB}=\frac{SE}{EA}=2$, suy ra $\frac{SF}{SB}=\frac{2}{3}$ và $\frac{EF}{AB}=\frac{2}{3}$, tức $EF=\frac{2}{3}AB$.

Vì $IJFE$ là hình bình hành nên $EF=IJ$. Mặt khác $IJ=\frac{AB+CD}{2}$ (đường trung bình hình thang). Do đó:
$$\frac{AB+CD}{2}=\frac{2}{3}AB\Rightarrow CD=\frac{4}{3}AB-AB=\frac{1}{3}AB.$$

Vì $K=AD\cap BC$ và $CD\parallel AB$, tam giác $KCD$ đồng dạng với tam giác $KBA$ với tỉ số $\frac{CD}{AB}=\frac{1}{3}$.

Vậy tỉ số diện tích:
$$\frac{S_{KCD}}{S_{KBA}}={\left(\frac{CD}{AB}\right)}^2=\frac{1}{9}.$$

Tỉ số diện tích của hai tam giác $KCD$ và $KBA$ là $1:9$.

Câu 3 (1 điểm):
a/ Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và mặt phẳng $(SBC)$.

$S\in (SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
$I=AD\cap BC\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in AD\Rightarrow I\in (SAD)\\ I\in BC\Rightarrow I\in (SBC)\end{array}$ (0.125)
$I\in (SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
$SI=(SAD)\cap (SBC)$ (0.125)
b/ Chứng minh: $MN//(SBC)$.
Gọi E là trung điểm của AD
$$\frac{EM}{EB}=\frac{EN}{ES}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel SB$$ (0.25)
$$MN\not\subset (SBC)$$ (0.125)
$$\Rightarrow MN//(SBC)$$ (0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm N nằm trên đường thẳng AB (nằm ngoài đoạn AB, phía sau A). Vì N thuộc đường thẳng AB mà đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC), nên N ∈ (ABC). Do đó mệnh đề A đúng. Mệnh đề B sai vì N ∈ AB (nếu hiểu AB là đường thẳng); C sai vì N ∈ (ABC); D sai vì N là điểm, không thể là tập con của (ABC) theo cách viết N ⊂ (ABC). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: câu 5 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$ và $CD\subset (SCD)$, do đó $AB\parallel (SCD)$ (vì $AB$ không nằm trong $(SCD)$). Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $\Delta$, nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $\Delta \parallel AB$. Ngoài ra $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ nên $S\in \Delta$. Vậy $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AB$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

a/ $S\in (SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
$I=AB\cap CD\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in AB\Rightarrow I\in (SAB)\\ I\in CD\Rightarrow I\in (SCD)\end{array}$ (0.125)
$I\in (SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
$SI=(SAB)\cap (SCD)$ (0.125)
b/ Gọi E là trung điểm của BC
$\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ES}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN\parallel SA$ (0.25)
$MN\not\subset (SAB)$ (0.125)
$\Rightarrow MN//(SAB)$ (0.125)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho tam giác $ABC$ với điểm $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ (ngoài đoạn $BC$, về phía $C$). Vì đường thẳng $BC$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(ABC)$, nên mọi điểm thuộc đường thẳng $BC$ đều thuộc mặt phẳng $(ABC)$, do đó $M\in (ABC)$ → A đúng. Xét các phương án khác: B sai vì $M\in (ABC)$; C sai vì $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ nên $M\in BC$ (hiểu $BC$ là đường thẳng); D sai vì $M$ là điểm, không thể dùng kí hiệu tập con $M\subset (ABC)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\subset (SAD)$, do đó $AD\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua đường thẳng $AD$ và cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $\Delta$, nên theo định lý về giao tuyến, $\Delta \parallel AD$. Hơn nữa $S\in (SAD)\cap (SBC)$ nên $S\in \Delta$. Vậy $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AD$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a$ là tập hợp các điểm, nên không dùng kí hiệu thuộc ($\in$) giữa đường thẳng và mặt phẳng; khẳng định đúng phải là $a\subset (P)$ hoặc $a\not\subset (P)$. Do đó khẳng định $a\in (P)$ ở phương án B là sai. Các khẳng định $H\in (P)$ và $H\in a$ đều là các khẳng định hợp lệ (có thể đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 12: B).

a. $I=AB\cap CD\Rightarrow I$ là điểm chung của hai mặt phẳng (0,5 điểm). S là điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy $SI=(SAB)\cap (SCD)$ (0,25 điểm).

b. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] G là trọng tâm tam giác SCD nên $\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$. Theo giả thiết $\frac{BM}{AB}=\frac{2}{3}$ và MN // BC nên $\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}$ (0,25 điểm). Do đó $\frac{CG}{CH}=\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}\Rightarrow GN//HA$. Mà $HA\subset (SAD)$. Vậy $GN//(SAD)$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SDB)$ cùng chứa điểm $S$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC\cap BD=O$ vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ (giao hai đường chéo), nên $O$ thuộc cả $(SAC)$ (vì $O\in AC$) và $(SDB)$ (vì $O\in BD$). Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức là $SO$.

b) Sai. $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$ (và $BD$), không phải trung điểm $AB$. Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $MO$ là đường trung bình, suy ra $MO\parallel SC$. Vì $SC$ cắt $SB$ tại $S$ nên $MO$ không song song với $SB$. Vậy ý b) Sai.

c) Đúng. $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD$; mà $AD\parallel BC$ (hình bình hành) nên $MN\parallel BC$ với $BC\subset (SBC)$. Trong tam giác $SAC$, $MO\parallel SC$ với $SC\subset (SBC)$. Hai đường thẳng cắt nhau $MN$ và $MO$ nằm trong $(MNO)$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BC$ và $SC$ nằm trong $(SBC)$, do đó $(MNO)\parallel (SBC)$. Vậy ý c) Đúng.

d) Đúng. Từ b), trong tam giác $SAC$ ta có $MO\parallel SC$, với $SC\subset (SBC)$ và $M\notin (SBC)$, suy ra $MO\parallel (SBC)$. Vậy ý d) Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp đáp án nguồn mã đề 132 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(SAC)$ và $(SDB)$ cùng chứa $S$; trong $(ABCD)$, $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O$ là trung điểm $AC$. Trong tam giác $SAC$, $M$ trung điểm $SA$, $O$ trung điểm $AC$ nên $MO$ là đường trung bình, suy ra $MO\parallel SC$, không song song với $SB$ (vì $SC$ cắt $SB$ tại $S$).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $MN$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$; trong tam giác $SAC$, $MO\parallel SC$. Hai đường cắt nhau $MN,MO$ trong $(MNO)$ lần lượt song song với hai đường cắt nhau $BC,SC$ trong $(SBC)$, nên $(MNO)\parallel (SBC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trong tam giác $SAC$, $MO\parallel SC$ với $SC\subset (SBC)$, $M\notin (SBC)$, suy ra $MO\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) nên viết $a\subset (P)$. Ký hiệu $a\in (P)$ là sai vì $\in$ chỉ dùng cho điểm thuộc tập hợp/mặt phẳng, không dùng cho đường thẳng. Các khẳng định $H\in (P)$ và $H\in a$ đều dùng ký hiệu đúng. Khớp với đáp án nguồn: B.

a. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] $I=AB\cap CD\Rightarrow I$ là điểm chung của hai mặt phẳng (0,5 điểm). S là điểm chung của hai mặt phẳng. Vậy $SI=(SAB)\cap (SCD)$ (0,25 điểm).

b. G là trọng tâm tam giác SCD nên $\frac{CG}{CH}=\frac{2}{3}$. Theo giả thiết $\frac{BM}{AB}=\frac{2}{3}$ và MN // BC nên $\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}$ (0,25 điểm). Do đó $\frac{CG}{CH}=\frac{CN}{CA}=\frac{2}{3}\Rightarrow GN//HA$. Mà $HA\subset (SAD)$. Vậy $GN//(SAD)$ (0,25 điểm).

$A^{\prime }{A}_1=4A{A}_1$ và $A{A}^{\prime }=60$ cm, nên $A{A}_1=12cm$. Trong mặt phẳng (A'D'DA), $H=A{Q}_1\cap D{D}^{\prime }\Rightarrow H=D{D}^{\prime }\cap (A{F}_1{C}_1)$. Do $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ cắt $(A_1{F}_1{D}_1{C}_1)\parallel (ABCDEF)$ lần lượt $A_1{D}_1,AD$ nên $A_1{D}_1//AD$. $A{A}_1//D{D}_1\Rightarrow A{A}_1{D}_{1}D$ là hình bình hành. Do đó $A{A}_1=D_{1}D=12cm$ (0,25 điểm). Mà $O{O}_1//D_{1}D$, O là trung điểm AD nên $DH=2D_{1}D=24cm$. Do đó $D^{\prime }H=60-24=36cm$. Vậy $D^{\prime }H=36$ cm. [Hình cần kiểm tra lại: p9_f2] (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SD$ (theo mã đề 102, đáp án Phần II Câu 2: S S S Đ, khớp với key đã cho).
a) Sai. $M$ là trung điểm của $SD$ với $S$ không thuộc $(ABCD)$, nên $M$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Sai. Đường thẳng $DM$ chính là đường thẳng $SD$, còn $SO$ đi qua $S$. Hai đường thẳng $SD$ và $SO$ cùng đi qua điểm $S$ nên chúng cắt nhau (tại $S$), không chéo nhau.
c) Sai. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ nên chúng cắt nhau theo một đường thẳng đi qua $S$ (mặc dù $AD//BC$), do đó không song song.
d) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$. Đường thẳng qua $B$ song song với $CD$ chính là đường thẳng $AB$, và $AB$ cắt mặt phẳng $(SAD)$ tại $A$ ($A$ thuộc $(SAD)$). Vậy hình chiếu của $B$ trên $(SAD)$ theo phương chiếu $CD$ là điểm $A$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm của $SD$, $S$ không thuộc $(ABCD)$ nên $M$ không thuộc $(ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$DM$ chính là $SD$, còn $SO$ qua $S$; hai đường thẳng cùng qua $S$ nên cắt nhau tại $S$, không chéo nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa $S$ nên cắt nhau theo đường thẳng qua $S$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB//CD$ nên đường qua $B$ song song $CD$ là $AB$, cắt $(SAD)$ tại $A$; vậy hình chiếu của $B$ theo phương $CD$ là $A$.

a) $(SAD)\cap (SBC)=?$
Ta có S là điểm chung của 2 mp $(SAD)$ và $(SBC)$ (1)
$$+\{\begin{array}{l}(SAD)\supset AD\\ (SBC)\supset BC\\ AD//BC\end{array}(2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $(SAD)\cap (SBC)=d$, với $d$ qua $S$, $d//AD//BC$.
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

b) C/m: $MN//(SBC)$
Ta có $+MN//BC$ (vì cùng song song với $AD$)
$+MN\not\subset (SBC)$, $BC\subset (SBC)$
Suy ra $MN//(SBC)$

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện $ABCD$ có 4 đỉnh, do đó có 4 mặt $(ABC,ABD,ACD,BCD)$. Số cạnh là số đoạn thẳng nối từng cặp đỉnh: $C(4,2)=6$ cạnh $(AB,AC,AD,BC,BD,CD)$. Vậy số mặt và số cạnh theo thứ tự là 4; 6. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SB$ (đáp án đề 101: Đ S S Đ, khớp với kết quả tự giải).

a) Đúng. $M$ là trung điểm $SB$ nên $M$ thuộc đường thẳng $SB$, mà $SB\subset (SBD)$, do đó $M\in (SBD)$.

b) Sai. Đường thẳng $BM$ chính là đường thẳng $SB$ (vì $M\in SB$). $SO$ và $SB$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SBD)$ và cắt nhau tại $S$, nên chúng không thể chéo nhau.

c) Sai. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ đều chứa điểm $S$ chung, nên chúng cắt nhau (không thể song song). Mặc dù $AD\parallel BC$, hai mặt phẳng vẫn có giao tuyến là đường thẳng qua $S$.

d) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Đường thẳng qua $A$ song song với phương chiếu $CD$ chính là đường thẳng $AB$, và $AB$ cắt mặt phẳng $(SBC)$ tại $B$ ($AB\parallel CD\subset (SBC)$ nên $AB$ song song hoặc nằm... thực tế $A\notin (SBC)$, đường $AB$ gặp $(SBC)$ tại $B$). Vậy hình chiếu của $A$ trên $(SBC)$ theo phương chiếu $CD$ là điểm $B$.