Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Khẳng định A đúng (tiên đề cơ bản: qua hai điểm phân biệt có duy nhất một đường thẳng). Khẳng định B đúng (tồn tại bốn điểm không đồng phẳng, ví dụ bốn đỉnh của một hình chóp). Khẳng định C sai vì phải là ba điểm phân biệt không thẳng hàng mới xác định duy nhất một mặt phẳng; nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng. Khẳng định D đúng (hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng duy nhất). Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1246, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các mặt bên là hình bình hành (đúng), các cạnh bên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và bằng nhau (đúng). Tuy nhiên đáy $ABCD$ của hình hộp chỉ là hình bình hành, không nhất thiết là hình chữ nhật. Vậy khẳng định B là sai, khớp với đáp án nguồn (Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $C^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $N\left(0;1;\frac{1}{2}\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ đi qua $A^{\prime }$ với hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$, $\vec{v}=(0;1;-\frac{1}{2})$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\left(\frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$, tức phương trình $3x+y+2z=2$. Điểm $P$ trên đường thẳng $AB$ có dạng $(t;0;0)$, thay vào: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{PA}{AB}=\frac{2}{3}\approx 0,67$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: 0,67).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$: hai mặt $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ và $MNPQ$ có giao tuyến là cạnh $MN$, tức chúng kề nhau chứ không phải hai mặt đối diện, nên khẳng định A là sai. Các khẳng định còn lại đúng: $N{N}^{\prime }$ và $Q{Q}^{\prime }$ là hai cạnh song song không cùng một mặt (đối diện); $Q$ và $N^{\prime }$ là hai đỉnh không chung mặt (đối diện); $M{M}^{\prime }$ và $P{P}^{\prime }$ là hai cạnh đối diện. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: A=(0;0;0), B=(1;0;0), C=(0;1;0), A'=(0;0;1), C'=(0;1;1). Khi đó I=(1/2;1/2;0), J=(0;1;1/2). Vectơ A'I=(1/2;1/2;-1), A'J=(0;1;-1/2), vectơ pháp tuyến của (A'IJ) là A'I × A'J = (3/4;1/4;1/2), chọn n=(3;1;2). Mặt phẳng: 3x+y+2z=2 (qua A'). Đường thẳng AB có điểm (t;0;0), thay vào: 3t=2 ⟹ t=2/3, tức K nằm trên AB với AK/AB=2/3. Suy ra KB/AB = 1 - 2/3 = 1/3 ≈ 0,33. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,33.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: hai mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ nằm ở hai bên đối diện của hình hộp, song song với nhau, nên chúng là hai mặt phẳng đối diện → B đúng. Xét các phương án còn lại: A sai vì $A{A}^{\prime }$ là cạnh bên còn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là cạnh của mặt đáy trên, chúng không phải cặp cạnh đối diện (cạnh đối diện của $A{A}^{\prime }$ là $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $D{D}^{\prime }$). C sai vì hai đỉnh đối diện của hình hộp phải không cùng thuộc một mặt nào, còn $A$ và $C$ cùng thuộc mặt đáy $ABCD$ (đỉnh đối diện của $A$ là $C^{\prime }$). D sai vì $A{A}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ là hai cạnh song song cùng thuộc mặt bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, không phải hai cạnh đối diện (đối diện với $A{A}^{\prime }$ là $D{D}^{\prime }$? không — cạnh đối diện của $A{A}^{\prime }$ là $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$; $D{D}^{\prime }$ chéo trong mặt $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$... thực tế $A{A}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$ là hai cạnh song song của cùng một mặt, không phải cặp cạnh đối diện của hình hộp). Đáp án khớp với mã đề 1101: Câu 5 = B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$. b) Đúng: Trong tam giác $SAB$, $M$ trung điểm $AB$, $P$ trung điểm $SA$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel SB$. c) Đúng: $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, $AB=CD$; vì $M\in AB$, $N\in CD$ với $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$ và $AM\parallel DN$ nên tứ giác $AMND$ là hình bình hành, do đó $MN\parallel AD$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. d) Đúng: $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; hai mặt phẳng này còn chung điểm $S$ nên giao tuyến là $SO$. Kết quả khớp với đáp án chấm máy (Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MP\parallel SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $AMND$ là hình bình hành nên $MN\parallel AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, cùng với $S$, nên giao tuyến là $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$, do đó $AB\parallel (SCD)$. Mặt khác, $(SAB)\cap (SCD)$ là đường thẳng đi qua điểm chung $S$ và theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến này song song với $AB$. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Mà $CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$ (vì $AB\not\subset (SCD)$). Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $AB\parallel d$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)$ và $(SAD)$ có chung điểm $S$; $AB\subset (SAB)$, $AD\subset (SAD)$ với $AB\cap AD=A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. b) Đúng: trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$ và $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//SB$. c) Đúng: $O$ là tâm hình bình hành nên $O\in AC$ và $O\in BD$; do đó $O\in (SAC)\cap (SBD)$, cùng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$. d) Đúng: $M,N$ là trung điểm hai cạnh đối $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN//AD$; vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ (do $M\notin (SAD)$) nên $MN//(SAD)$. Đối chiếu bảng đáp án trang 13, dòng 15.II3: mã đề 1103 cho S Đ Đ Đ, khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ có điểm chung $S$; $AB\cap AD=A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $MP$ nối trung điểm $SA$ và $AB$ nên là đường trung bình, $MP//SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là giao của hai đường chéo $AC,BD$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$; cùng với $S$ chung, giao tuyến là $SO$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN//AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN//(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$; trong đáy hình bình hành $ABCD$, $AC\cap BD=O$ nên giao tuyến là $SO$. b) Đúng: Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//SB$. c) Sai: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ đều chứa $S$ và $A$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. d) Đúng: $MN$ đi qua tâm $O$ của hình bình hành, với $M\in AB,N\in CD$ là trung điểm đối nhau nên $MN//AD//BC$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN//(SAD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ – S – S – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAC)$ và $(SBD)$ có chung điểm $S$; $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MP//SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\cap (SAD)=SA$ vì hai mặt phẳng cùng chứa $S$ và $A$, không phải $SB$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ qua $O$ với $M,N$ trung điểm $AB,CD$ nên $MN//AD$; mà $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN//(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, và $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. Theo tính chất giao tuyến: nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $AB\parallel CD$, nên theo tính chất giao tuyến, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ (điểm chung hiển nhiên của hai mặt phẳng) và song song với $AB$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel SB$. Đúng.
b) $(SAC)$ chứa $S,A,C$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$. Hai mặt phẳng có điểm chung $S$. Trong đáy hình bình hành $ABCD$, $AC\cap BD=O$ nên $O$ chung. Vậy giao tuyến là $SO$. Đúng.
c) $MN$ đi qua trung điểm hai cạnh đối $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN\parallel AD$ (và $MN$ đi qua $O$). Vì $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. Đúng.
d) $(SAB)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm $S,A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $SA$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác, do đó $MP\parallel SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa $S$. Trong đáy, $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và $O$, tức $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, đoạn nối trung điểm $M$ của $AB$ và $N$ của $CD$ song song với $AD$ (và $BC$). Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm $S$ và $A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$.

a) Ta có $N\in SC$ nên $N\in (SAC)$. b) Ta có $BD$ cắt $CD$ tại $D$ nên suy ra $BI$ cắt $CD$ tại $D$. Từ đó suy ra $BI\cap (SCD)=D$. c) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có $(SAC)\cap (SBD)=SI$. d) Ta có $IN\subset (SAC)$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c sai | d sai].
a) Ta có $N\in SC$ nên $N\in (SAC)$.
b) Ta có $BD$ cắt $CD$ tại $D$ nên suy ra $BI$ cắt $CD$ tại $D$. Từ đó suy ra $BI\cap (SCD)=D$.
c) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có $(SAC)\cap (SBD)=SI$.
d) Ta có $IN\subset (SAC)$.

a) Xét hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SBD)$ ta có $S\in (SMN)\cap (SBD)$. Lại có $\{\begin{array}{l}MN\subset (SMN)\\ BD\subset (SBD)\\ MN\parallel BD\end{array}$ nên $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S và $d\parallel BD\parallel MN$). b) Ta có $OM$ là đường trung bình $△BCD$ nên $OM\parallel CD$ mà $CD\subset (SCD)$ nên $OM\parallel (SCD)$. Lại có $OK$ là đường trung bình $△SBD$ nên $OK\parallel SD$ mà $SD\subset (SCD)$ nên $OK\parallel (SCD)$. Từ đó suy ra $(OMK)\parallel (SCD)$. c) Chọn mặt phẳng $(SBD)$ chứa $DK$. Ta có $(SMN)\cap (SBD)=d$ (d qua S, $d\parallel BD$), trong $(SBD)$ kéo dài $DK$ cắt $d$ tại $F$. Khi đó $F=DK\cap (SMN)$ và $K$ là trung điểm $SD$ nên $\frac{KF}{KD}=1$.

Hình vẽ minh họa Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ có $A\in (SAC)\cap (SAD)$ và $C\in (SAC)\cap (SAD)$ nên giao tuyến của $(SAC)\cap (SAD)=SA$. Chọn đáp án (C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề xác định mặt phẳng: hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất. Một điểm và một đường thẳng chỉ xác định mặt phẳng khi điểm không nằm trên đường thẳng; ba điểm phân biệt chỉ xác định mặt phẳng khi ba điểm không thẳng hàng; bốn điểm phân biệt không xác định mặt phẳng duy nhất. Đáp án trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; $S$ thuộc cả hai mặt. Vậy giao tuyến là $SO$. b) Sai: $AB\parallel CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (tức song song với $CD$), không phải song song với $BC$. c) Đúng: Trong tam giác $SAD$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel SD$; trong tam giác $ACD$, $N$ trung điểm $AD$, $O$ trung điểm $AC$ nên $NO\parallel DC$. Vì $MN\cap NO=N$, $MN\subset (SCD)$, $NO\subset (SCD)$ nên $(MNO)\parallel (SCD)$. d) Sai: Chọn hệ vectơ, $\overrightarrow{OM}=\vec{m}-\vec{o}=\frac{\vec{S}+\vec{A}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}=\frac{\vec{S}-\vec{C}}{2}\parallel \overrightarrow{CS}$. Mà $CS\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$, do đó $OM$ không cắt mặt phẳng $(SBC)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O$ là giao điểm đường chéo nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$; giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$), không song song với $BC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel SD$ (đường trung bình tam giác $SAD$) và $NO\parallel DC$ (đường trung bình tam giác $ACD$), hai đường này cắt nhau tại $N$ và cùng nằm trong $(SCD)$ nên $(MNO)\parallel (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\vec{S}-\vec{C})\parallel \overrightarrow{CS}\subset (SBC)$ nên $OM\parallel (SBC)$, không cắt mặt phẳng này.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành), khi đó $O\in (BD)\subset (SBD)$. Xét tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SC$, đường thẳng $AO$ cắt đoạn $SM$... Cách tính bằng tọa độ: đặt $A$ làm gốc, $\vec{B}=\mathbf{b},\vec{D}=\mathbf{d},\vec{C}=\mathbf{b}+\mathbf{d},\vec{S}=\mathbf{s}$. Khi đó $\vec{M}=\frac{\mathbf{s}+\mathbf{b}+\mathbf{d}}{2}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $AM$ có dạng $\vec{I}=t\vec{M}$. Vì $I\in (SBD)$ nên $\vec{I}=\alpha \mathbf{s}+\beta \mathbf{b}+\gamma \mathbf{d}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số: $\frac{t}{2}=\alpha =\beta =\gamma$, suy ra $\frac{3t}{2}=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$, do đó $\frac{IA}{IM}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: $2$).