Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan \left(x+\frac{5\pi }{3}\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2\left(x+\frac{5\pi }{3}\right)}$. Tại $x=\frac{\pi }{3}$: $x+\frac{5\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}=2\pi$, nên $\cos (2\pi )=1$ và $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{1^2}=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=e^{2024x^2}$, nên $f^{\prime }(x)=e^{2024x^2}\cdot (2024x^2{)}^{\prime }=4048x{e}^{2024x^2}$. Suy ra $f^{\prime }(0)=4048\cdot 0\cdot e^0=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 0$, ta có $y={\log }_{0,5}{x}^2=\frac{\ln x^2}{\ln 0,5}=\frac{2\ln |x|}{\ln 0,5}$. Do đó $y^{\prime }=\frac{2}{\ln 0,5}\cdot \frac{1}{x}=\frac{2}{x\ln 0,5}$ (với $x\ne 0$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{\cos 2x}$ với điều kiện $\cos 2x>0$. Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp: đặt $u=\cos 2x$ thì $y=\sqrt{u}$, $y_u^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{u}}$ và $u^{\prime }=-2\sin 2x$. Do đó $$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}}\cdot (-2\sin 2x)=\frac{-\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}.$$ Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+b$ nên $y^{\prime }(2)=12a+b=1$. Ta có $y^{\prime \prime }=6ax$ nên $y^{\prime \prime }(1)=6a=-12\Rightarrow a=-2$. Suy ra $b=1-12a=1+24=25$. Vậy $P=a.b=(-2)(25)=-50$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=x\ln (x+1)$ xác định khi $x+1>0$, tức tập xác định là $(-1;+\infty )$, nên phát biểu a) 'xác định trên $[0;+\infty )$' là sai (hàm còn xác định cả trên $(-1;0)$).

b) Theo quy tắc tích: $y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}$, không phải $\ln (x+1)$, nên b) sai.

c) $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{x+1}$. Cách khác: $y^{\prime }=\ln (x+1)+1-\frac{1}{x+1}$, suy ra $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Vậy c) đúng.

d) $y^{\prime }+(x+1)y^{\prime \prime }-2=\left(\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}\right)+(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}+1-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}-1=\ln (x+1)$. Vậy d) đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $(-1;+\infty )$ vì cần $x+1>0$; hàm xác định cả trên $(-1;0)$ nên không chỉ trên $[0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}$, thiếu số hạng $\frac{x}{x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}=\ln (x+1)+1-\frac{1}{x+1}$, suy ra $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1{)}^2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }+(x+1)y^{\prime \prime }-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}+1-2=\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}-1=\ln (x+1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x+1}{3x}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3x}$, suy ra $y^{\prime }=-\frac{1}{3x^2}$. Tại $x=-3$: $y^{\prime }(-3)=-\frac{1}{3\cdot 9}=-\frac{1}{27}\approx -0,04$. Vậy hệ số góc tiếp tuyến là $-0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=5x^4+3x^2-2$. Suy ra $f^{\prime }(1)=5+3-2=6$; $f^{\prime }(-1)=5+3-2=6$; $f^{\prime }(0)=-2$. Vậy $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(-1)+4f^{\prime }(0)=6+6+4(-2)=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{x}+x$, ta có $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$. Tại $x_0=4$: $y^{\prime }(4)=\frac{1}{2\cdot 2}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}=1,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)+1}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$. Suy ra $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Tại $x=5$: $y^{\prime }(5)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0,9375\approx 0,94$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)$. Với $s(t)=e^{t^2+3}+2t{e}^{3t+1}$, ta có $s^{\prime }(t)=2t{e}^{t^2+3}+2e^{3t+1}+6t{e}^{3t+1}$. Tại $t=1$: $v(1)=2e^4+2e^4+6e^4=10e^4\approx 545,982$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $546$ (km/s).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1. Tính đạo hàm:

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$ (với $x>0$):
$$y^{\prime }=4x^3-x^2+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$ (với $x\ne 2$):
$$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}.$$

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$ (hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $3x^2-2x+1>0$):
$$y^{\prime }=\frac{(6x-2)}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Tính đạo hàm:

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$, xác định với $x\ge -\frac{3}{2}$. Đặt $u=\sqrt{2x+3}$, $u^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=-\sin \sqrt{2x+3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x+3}}=\frac{-\sin \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+3}}.$$

b) $y={\sin }^{2}5x$. Đặt $u=\sin 5x$, $u^{\prime }=5\cos 5x$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\sin 5x\cdot 5\cos 5x=5\sin 10x$$
(vì $2\sin 5x\cos 5x=\sin 10x$).

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$, xác định với $\frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne \frac{3\pi }{2}+3k\pi$. Đặt $u=\tan \frac{x}{3}$, $u^{\prime }=\frac{1}{3}{\sec }^2\frac{x}{3}=\frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\tan \frac{x}{3}\cdot \frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\tan \frac{x}{3}}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\sin \frac{x}{3}}{3{\cos }^3\frac{x}{3}}.$$

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2=\frac{1}{4}\cdot \frac{\cos x^2}{\sin x^2}$, xác định với $\sin x^2\ne 0$. Đặt $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$; $(\cot u{)}^{\prime }=\frac{-u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \frac{-2x}{{\sin }^2{x}^2}=\frac{-x}{2{\sin }^2{x}^2}.$$

Kiểm tra lại: a) đạo hàm hàm hợp chuẩn; b) có thể viết $y^{\prime }=5\sin 10x$ hoặc $10\sin 5x\cos 5x$ (tương đương); c) đúng theo quy tắc $(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$; d) đúng theo $(\cot u{)}^{\prime }=\frac{-u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3. Tính đạo hàm.

a) $y=(x^2-2x+2)e^x$. Theo quy tắc tích:
$$y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(x^2-1)e^x.$$

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$, với $2x+e^x>0$ với mọi $x$. Theo quy tắc hàm hợp:
$$y^{\prime }=\frac{(2x+e^x{)}^{\prime }}{(2x+e^x)\ln 2}=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)2^{-x}$. Theo quy tắc tích:
$$y^{\prime }=2^{-x}+(x+1)\cdot 2^{-x}\ln 2\cdot (-1)=2^{-x}\left[1-(x+1)\ln 2\right].$$

Vậy:
- a) $y^{\prime }=(x^2-1)e^x$;
- b) $y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}$;
- c) $y^{\prime }=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (trang 20): Tính đạo hàm của $f(x)=-x^2+x$ tại điểm $x=-1$.

Ta có $f^{\prime }(x)=-2x+1$. Do đó $f^{\prime }(-1)=-2(-1)+1=2+1=3$.

Vậy $f^{\prime }(-1)=3$, tương ứng với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 38 (trả lời ngắn): Cho $y=\sqrt{x}+x$, có $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$ với $x>0$. Tại $x_0=4$: $y^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}+1=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4}=1,25$. Vậy đạo hàm tại $x_0=4$ bằng $1,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (trang 24, Phần II. Tự luận). Tính đạo hàm:

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$ (xác định với $x\ge 0$, đạo hàm với $x>0$):
$$y^{\prime }=4x^3-x^2+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$ (với $x\ne 2$), dùng công thức $(u/v{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$:
$$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}.$$

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$. Vì $3x^2-2x+1=3(x-\frac{1}{3}{)}^2+\frac{2}{3}>0$ với mọi $x$, hàm xác định trên $\mathbb{R}$:
$$y^{\prime }=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$$

Kiểm tra lại: kết quả phần b) khớp với đáp án AI đã cung cấp; các phần a), c) đều đúng theo quy tắc đạo hàm cơ bản.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (trang 24): Tính đạo hàm các hàm số hợp.

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$, với $x\ge -\frac{3}{2}$ và $\sqrt{2x+3}\ne 0+k\pi$. Đặt $u=\sqrt{2x+3}$, $u^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }=-\frac{\sin \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+3}}.$$

b) $y={\sin }^{2}5x$. Đặt $u=\sin 5x$, $u^{\prime }=5\cos 5x$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\sin 5x\cdot 5\cos 5x=5\sin 10x$$
(vì $2\sin 5x\cos 5x=\sin 10x$).

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$, với $\frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Đặt $u=\tan \frac{x}{3}$, $u^{\prime }=\frac{1}{3}{\sec }^2\frac{x}{3}=\frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=2\tan \frac{x}{3}\cdot \frac{1}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\tan \frac{x}{3}}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}=\frac{2\sin \frac{x}{3}}{3{\cos }^3\frac{x}{3}}.$$

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$, với $x\ne 0$ và $\sin x^2\ne 0$. Đặt $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$; $(\cot u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. Khi đó:
$$y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}\right)=-\frac{x}{2{\sin }^2{x}^2}=-\frac{x}{2}{\csc }^2{x}^2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3 (trang 24) – Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=(x^2-2x+2)e^x$.
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=[(2x-2)+(x^2-2x+2)]e^x=(x^2-1)e^x$.

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$, với điều kiện $2x+e^x>0$ (hàm $2x+e^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên luôn xác định trên miền có nghĩa của logarit).
Áp dụng công thức $({\log }_{2}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln 2}$ với $u=2x+e^x$, $u^{\prime }=2+e^x$:
$$y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)\cdot 2^{-x}$.
Áp dụng quy tắc tích với $(2^{-x}{)}^{\prime }=-2^{-x}\ln 2$:
$y^{\prime }=1\cdot 2^{-x}+(x+1)\cdot (-2^{-x}\ln 2)=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.

Kiểm tra lại c) bằng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{2^x-(x+1)2^x\ln 2}{2^{2x}}=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$ — trùng kết quả trên.

Vậy:
- a) $y^{\prime }=(x^2-1)e^x$;
- b) $y^{\prime }=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}$;
- c) $y^{\prime }=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}$.