Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. a) $y=(x^3-2x^2{)}^{2024}$. Đặt $u=x^3-2x^2$, $u^{\prime }=3x^2-4x$. Khi đó $y^{\prime }=2024u^{2023}\cdot u^{\prime }=2024(3x^2-4x)(x^3-2x^2{)}^{2023}=2024x^2(3x-4)(x^3-2x^2{)}^{2023}$.

b) $y=x\sqrt{x^2-2x}$, xác định với $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=\sqrt{x^2-2x}+x\cdot \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\sqrt{x^2-2x}+\frac{x(x-1)}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{(x^2-2x)+x(x-1)}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{2x^2-3x}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x(2x-3)}{\sqrt{x^2-2x}}$.

c) $y=e^{2x+1}\sin 2x$. Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(e^{2x+1}{)}^{\prime }\sin 2x+e^{2x+1}(\sin 2x{)}^{\prime }=2e^{2x+1}\sin 2x+2e^{2x+1}\cos 2x=2e^{2x+1}(\sin 2x+\cos 2x)$. Có thể viết $2\sqrt{2}{e}^{2x+1}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5 (trang 24): Tính đạo hàm của $y=\sin 2x\cdot \cos 3x$ tại $x=\frac{\pi }{3}$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ với $u=\sin 2x$, $v=\cos 3x$:
$$u^{\prime }=2\cos 2x,v^{\prime }=-3\sin 3x.$$
Suy ra:
$$y^{\prime }=2\cos 2x\cos 3x-3\sin 2x\sin 3x.$$
Thay $x=\frac{\pi }{3}$:
- $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \pi =0$.

Do đó:
$$y^{\prime }{|}_{x=\pi /3}=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-1)-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0=1-0=1.$$

Vậy $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (trang 20): Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=-x^2+x$ tại điểm $x=-1$. Ta có $f^{\prime }(x)=-2x+1$, suy ra $f^{\prime }(-1)=-2(-1)+1=2+1=3$. Vậy $f^{\prime }(-1)=3$, tương ứng với đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (trang 24) yêu cầu tính đạo hàm của ba hàm số. AI đã giải và kết quả được kiểm tra độc lập, tất cả đều đúng.

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$, với $x>0$.
Áp dụng $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ và $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$$y^{\prime }=4x^3-x^2+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$, với $x\ne 2$.
Với $u=x^2+x$, $v=x-2$: $u^{\prime }=2x+1$, $v^{\prime }=1$.
$$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}.$$

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$. Tam thức $3x^2-2x+1$ luôn dương vì $\Delta =4-12=-8<0$ và hệ số $a>0$, nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Với $u=3x^2-2x+1$, $u^{\prime }=6x-2$:
$$y^{\prime }=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$$

Kiểm tra lại: a) đạo hàm từng số hạng chính xác; b) khai triển $(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2$, trừ $x^2+x$ được $x^2-4x-2$, đúng; c) rút gọn tử số 2, đúng. Kết quả khớp với lời giải AI trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (trang 24). a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$, xác định khi $2x+3>0\iff x>-\frac{3}{2}$. Đặt $u=\sqrt{2x+3}$, $u^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}$. Do đó $y^{\prime }=-\sin \sqrt{2x+3}\cdot \frac{1}{\sqrt{2x+3}}=-\frac{\sin \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+3}}$.

b) $y={\sin }^{2}5x$. $y^{\prime }=2\sin 5x\cdot (\sin 5x{)}^{\prime }=2\sin 5x\cdot 5\cos 5x=10\sin 5x\cos 5x=5\sin 10x$.

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$, điều kiện $\cos \frac{x}{3}\ne 0$. $y^{\prime }=2\tan \frac{x}{3}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2\tan \frac{x}{3}}{3{\cos }^2\frac{x}{3}}$.

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$, điều kiện $\sin x^2\ne 0$. Đặt $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$, $(\cot u{)}^{\prime }=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$. Vậy $y^{\prime }=\frac{1}{4}\cdot \left(-\frac{2x}{{\sin }^2{x}^2}\right)=-\frac{x}{2{\sin }^2{x}^2}$.

Kiểm tra lại: các kết quả đều đúng theo quy tắc đạo hàm hàm hợp và đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3 (trang 24). a) $y=(x^2-2x+2)e^x$. Theo quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(x^2-1)e^x$. Kiểm tra tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=-1$, khớp với $(0^2-1)e^0=-1$.

b) $y={\log }_2(2x+e^x)$. Hàm số xác định khi $2x+e^x>0$; vì $e^x>0$ với mọi $x$ và $2x+e^x\to -\infty$ khi $x\to -\infty$, hàm xác định trên khoảng $(x_0,+\infty )$ với $x_0$ là nghiệm duy nhất của $2x+e^x=0$ (hàm $2x+e^x$ đồng biến). Trên tập xác định, với $u=2x+e^x$, $u^{\prime }=2+e^x$: $$y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln 2}=\frac{2+e^x}{(2x+e^x)\ln 2}.$$

c) $y=\frac{x+1}{2^x}=(x+1)2^{-x}$. Vì $(2^{-x}{)}^{\prime }=-2^{-x}\ln 2$: $$y^{\prime }=2^{-x}+(x+1)(-2^{-x}\ln 2)=\frac{1-(x+1)\ln 2}{2^x}.$$ Kiểm tra tại $x=0$: $y^{\prime }(0)=1-\ln 2$, tính trực tiếp từ $y=(x+1)2^{-x}$ cũng cho $1-\ln 2$, nhất quán.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (trang 24) tính đạo hàm ba hàm số.

a) $y={\left(x^3-2x^2\right)}^{2024}$. Đặt $u=x^3-2x^2$, $u^{\prime }=3x^2-4x$. Theo quy tắc hàm hợp ${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$:
$$y^{\prime }=2024{\left(x^3-2x^2\right)}^{2023}\left(3x^2-4x\right).$$

b) $y=x\sqrt{x^2-2x}$, xác định với $x^2-2x\ge 0$ tức $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Theo quy tắc tích với $u=x$, $v=\sqrt{x^2-2x}$, $v^{\prime }=\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$:
$$y^{\prime }=\sqrt{x^2-2x}+x\cdot \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{\left(x^2-2x\right)+\left(x^2-x\right)}{\sqrt{x^2-2x}}=\frac{2x^2-3x}{\sqrt{x^2-2x}}.$$ (Tại $x=0$ và $x=2$ đạo hàm hữu hạn vẫn tồn tại theo nghĩa giới hạn: tại $x=0$, $y^{\prime }\to 0$; tại $x=2$, $y^{\prime }\to 2$.)

c) $y=e^{2x+1}\sin 2x$. Theo quy tắc tích với $u=e^{2x+1}$, $u^{\prime }=2e^{2x+1}$; $v=\sin 2x$, $v^{\prime }=2\cos 2x$:
$$y^{\prime }=2e^{2x+1}\sin 2x+2e^{2x+1}\cos 2x=2e^{2x+1}\left(\sin 2x+\cos 2x\right).$$

Kiểm tra: a) $u^{\prime }=3x^2-4x$ đúng; b) quy đồng mẫu số đúng vì $\sqrt{x^2-2x}\cdot \sqrt{x^2-2x}=x^2-2x$; c) nhân tử chung $2e^{2x+1}$ đúng. Kết quả nhất quán.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin 2x\cos 3x$. Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(\sin 2x{)}^{\prime }\cos 3x+\sin 2x(\cos 3x{)}^{\prime }=2\cos 2x\cos 3x-3\sin 2x\sin 3x$. Tại $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\cos \pi =-1$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \pi =0$. Do đó $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-1)-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0=1+0=1$. Vậy đạo hàm của hàm số tại $x=\frac{\pi }{3}$ bằng $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho $f(x)=-x^2+x$, ta có $f^{\prime }(x)=-2x+1$. Tại $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-2(-1)+1=3$. Vậy đáp án đúng là B. $f^{\prime }(-1)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Hàm số $f(x)=-x^2+x$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=-2x+1$. Tại $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-2(-1)+1=2+1=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: $f(x)=-x^2+x$ nên $f^{\prime }(x)=-2x+1$. Tại $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=-2(-1)+1=3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $h^{\prime }(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$. Chất điểm chuyển động xuống khi $h^{\prime }(t)<0$, tức $1<t<3$. Độ dài khoảng thời gian là $3-1=2$ giây.

Chọn A. Ta có $h^{\prime }\left(x\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right).x-f\left(x\right)}{x^2}$. Theo yêu cầu bài toán phải tìm $h^{\prime }(3)$. Từ đồ thị suy ra $f^{\prime }(3)=-\tan \alpha =-\frac{1}{4}$ và $f(3)=-1$. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến $k=h^{\prime }(3)=\frac{f^{\prime }(3).3-f(3)}{3^2}=\frac{1}{36}$.

a) Đúng: Với mọi số thực $a>0$, ta có $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x-8}>18\ln 3\iff 3^{2x-8}>9\iff x>5$. c) Sai: $y^{\prime }=\sin 2x=0\iff x=k\frac{\pi }{2}$, với $-3\le k\le 2$, $k\in \mathbb{Z}$, có 6 nghiệm. d) Sai: Phương trình tương đương $(\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$; với $x\in \left(0;\frac{\pi }{3}\right)$ thì $\cos 2x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$ nên $S=\left(-\frac{1}{2};1\right)$, suy ra $2a+b=0$.
a) Mệnh đề đúng vì với mọi số thực $a>0$, ta có $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$.
b) Mệnh đề đúng vì ta có $f^{\prime }(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x-8}\Rightarrow f^{\prime }(x)>18\ln 3\iff 2\ln 3\cdot 3^{2x-8}>18\ln 3\iff 3^{2x-8}>9\iff 2x-8>2\iff x>5$.
c) Mệnh đề sai vì ta có $y^{\prime }=2\sin x.\cos x=\sin 2x$. Suy ra: $y^{\prime }=0\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Mà $x\in \left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]$ nên $-\frac{3\pi }{2}\le k\frac{\pi }{2}\le \pi \iff -3\le k\le 2$. Và $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-3;-2;-1;0;1;2\}$. Vậy có 6 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
d) Mệnh đề sai vì ta có $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m{\sin }^{2}x$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\left(1-{\cos }^{2}x\right)$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m(1-\cos x)(1+\cos x)$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x-m+m\cos x)=0$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$ $\iff \{\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \notin \left(0;\frac{\pi }{3}\right)\\ \cos 2x=m\end{array}$. Ta có $x\in \left(0;\frac{\pi }{3}\right)\Rightarrow 2x\in \left(0;\frac{2\pi }{3}\right)\Rightarrow \cos 2x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$. Vậy $S=\left(-\frac{1}{2};1\right)$. Khi đó $2a+b=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$ (đạo hàm của $2\sin x$ là $2\cos x$, không phải $-2\cos x$).
b) Đúng: $f(0)=2\sin 0+0=0$; $f(\pi )=2\sin \pi +\sqrt{3}\pi =\sqrt{3}\pi$.
c) Đúng: $\int (2\sin x+\sqrt{3}x)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$, chọn $C=2026$ vẫn là một nguyên hàm.
d) Đúng: $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}$ trên $[0;\pi ]$. So sánh: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi \approx 5,441$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}\approx 5,535$. Vậy GTLN là $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Kết quả khớp đáp án SĐĐĐ của mã đề 1201.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$, không phải $-2\cos x+\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0$ và $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$ có $F^{\prime }(x)=2\sin x+\sqrt{3}x=f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}\approx 5,535>f(\pi )\approx 5,441>f(0)=0$, nên GTLN bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) h'(t)=80/((2t+1)ln3); h'(7)=80/(15ln3)≈4,855≈4,85 cm/tuần → đúng. b) h(4)=40log_3(9)+12=80+12=92 cm → đúng. c) h'(t)=80/((2t+1)ln3)>0 với mọi t∈[0;18] nên chiều cao liên tục tăng → đúng. d) Sau 4 tuần kể từ khi kết trái: t=13, d(13)=3^(9/5)−3≈7,22−3=4,22 cm < 12 cm → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=80/((2t+1)ln3), h'(7)=80/(15ln3)≈4,855≈4,85 cm/tuần.
b) (AI giải đề cho tôi)
h(4)=40log_3(9)+12=40·2+12=92 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=80/((2t+1)ln3)>0 trên [0;18] nên h(t) liên tục tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=9+4=13: d(13)=3^(9/5)−3≈7,22−3=4,22 cm < 12 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=-\frac{\cos x}{3{\sin }^{3}x}+\frac{4}{3}\cot x=-\frac{1}{3}\cot x\cdot {\csc }^{2}x+\frac{4}{3}\cot x$. Đặt $t=\cot x$, với ${\csc }^{2}x=1+{\cot }^{2}x=1+t^2$, ta có $y=-\frac{1}{3}t(1+t^2)+\frac{4}{3}t=t-\frac{t^3}{3}$. Khi đó $y^{\prime }=(1-t^2)\cdot t^{\prime }=(1-{\cot }^{2}x)\cdot (-{\csc }^{2}x)=-(1-{\cot }^{2}x)(1+{\cot }^{2}x)={\cot }^{4}x-1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) lim_{t→0+} h(t)=70·log2(1)+30=30, đúng. b) t=0,75: (8·0,75+1)/(0,75+1)=7/1,75=4, h=70·2+30=170, đúng. c) h'(t)=70/ln2·[8/(8t+1)−1/(t+1)]=490/[ln2·(8t+1)(t+1)]; tại t=6: 490/(343ln2)=10/(7ln2)≈2,06 ≠ 10/7, sai. d) h tăng dần và lim_{t→+∞} h(t)=70·log2(8)+30=240, nên h(t)<240 với mọi t>0, tức không vượt quá 240, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{t→0+} (8t+1)/(t+1)=1 nên h(0+)=70·0+30=30 cá thể.
b) (AI giải đề cho tôi)
t=9 tháng=0,75 năm: (8·0,75+1)/(1,75)=4, log2 4=2, h=140+30=170.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=490/[ln2·(8t+1)(t+1)]; tại t=6: 490/(49·7·ln2)=10/(7ln2)≈2,06 cá thể/năm, không bằng 10/7.
d) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)>0 nên h tăng; lim_{t→+∞} h(t)=70·3+30=240, do đó h(t)<240 với mọi t, tức không vượt quá 240.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $f(x)=\frac{3-2x}{\sqrt{4x-1}}=(3-2x)(4x-1{)}^{-1/2}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=-2(4x-1{)}^{-1/2}+(3-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4x-1{)}^{-3/2}\cdot 4=-2(4x-1{)}^{-1/2}-2(3-2x)(4x-1{)}^{-3/2}$. Quy đồng: $f^{\prime }(x)=\frac{-2(4x-1)-2(3-2x)}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-8x+2-6+4x}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-4x-4}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$. Vậy $a=-4$, $b=4$, suy ra $\frac{a}{b}=\frac{-4}{4}=-1$. Đáp án B.