Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $f(x)=\frac{3-2x}{\sqrt{4x-1}}=(3-2x)(4x-1{)}^{-1/2}$ với $x>\frac{1}{4}$.
Theo quy tắc tích:
$$f^{\prime }(x)=-2(4x-1{)}^{-1/2}+(3-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4x-1{)}^{-3/2}\cdot 4$$
$$=-\frac{2}{\sqrt{4x-1}}-\frac{2(3-2x)}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-2(4x-1)-2(3-2x)}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$$
$$=\frac{-8x+2-6+4x}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-4x-4}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}.$$
So sánh với $\frac{ax-b}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$ ta được $a=-4$, $b=4$, do đó $\frac{a}{b}=\frac{-4}{4}=-1$.
Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2{)}^{\prime }{e}^x+x^2(e^x{)}^{\prime }=(2x+x^2)e^x=x(x+2)e^x$ nên ý d) đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$ (không phải $x=2$), nên ý a) sai. Trên đoạn $[-1;1]$: $f(-1)=\frac{1}{e}$, $f(0)=0$, $f(1)=e$ nên GTNN bằng $0$, không phải $\frac{1}{e}$, ý b) sai. $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>0$; $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-2;0)$, do đó không đồng biến trên $(-2;+\infty )$, ý c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x(x+2)e^x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$, không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-1)=\frac{1}{e}$, $f(0)=0$, $f(1)=e$ nên GTNN trên $[-1;1]$ bằng $0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến trên toàn $(-2;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc tích: $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=(x^2+2x)e^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\sin }^{2}x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Do đó tổng cần tính là $S={\sum }_{k=2}^{12}\sin \left(\frac{2\pi }{k}\right)$. Tính từng số hạng: $\sin \pi =0$; $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254$; $\sin \frac{\pi }{2}=1$; $\sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }\approx 0,9510565$; $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,8660254$; $\sin \frac{2\pi }{7}\approx 0,7818315$; $\sin \frac{\pi }{4}\approx 0,7071068$; $\sin \frac{2\pi }{9}=\sin 40^{\circ }\approx 0,6427876$; $\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }\approx 0,5877853$; $\sin \frac{2\pi }{11}\approx 0,5406408$; $\sin \frac{\pi }{6}=0,5$. Cộng lại: $S\approx 7,4432593$. Theo yêu cầu đề (lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn), kết quả là $S\approx 7,44325$.

$y=f(x)={\left(\frac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)}^x$

+ $f^{\prime }(x)={\left(\frac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)}^x.\ln \left(\frac{3}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\right)$.

+ $f^{\prime }\left(\sqrt{2026}\right)\approx -0,0056$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5$ (đạo hàm của $\frac{x^3}{3}$ là $x^2$, của $-2x^2$ là $-4x$, của $-5x$ là $-5$). a) Sai vì $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5\ne 3x^2-4x-5$. b) $f^{\prime }(1)=1-4-5=-8$, đúng. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x^2-4x-5=0\iff x=-1$ hoặc $x=5$, nên khẳng định nghiệm $x=1$ và $x=5$ là sai. d) $f^{\prime }(x)<0$ khi $-1<x<5$, các giá trị nguyên là $x\in \{0,1,2,3,4\}$: đúng 5 giá trị. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5$, không phải $3x^2-4x-5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=1^2-4\cdot 1-5=-8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x-5=0\iff (x-5)(x+1)=0\iff x=5$ hoặc $x=-1$, không phải $x=1$ và $x=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0\iff -1<x<5$, các giá trị nguyên $x\in \{0,1,2,3,4\}$ nên có đúng 5 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-2x}{x+1}=2x-4$ (với $x\ne -1$). Suy ra $x^2-2x=(2x-4)(x+1)=2x^2-2x-4$, tức $x^2-4=0$ nên $x=\pm 2$. Điểm $A$ có hoành độ âm nên $x_A=-2$ (khi đó $y_A=2(-2)-4=-8$). Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{(x+1{)}^2}$. Tại $x=-2$: $k=y^{\prime }(-2)=\frac{4-4-2}{(-1{)}^2}=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2+3x$ có đạo hàm $y^{\prime }=2x+3$ theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$. Kết quả trùng với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 102 (câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2+3x$ có đạo hàm $y^{\prime }=2x+3$ theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$. Kết quả khớp với đáp án C và với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5$. a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=5$, không phải $x=1$ và $x=5$ nên Sai. b) $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5\ne 3x^2-4x-5$ nên Sai. c) $f^{\prime }(x)<0\iff -1<x<5$, các giá trị nguyên là $0,1,2,3,4$ (5 giá trị) nên Đúng. d) $f^{\prime }(1)=1-4-5=-8$ nên Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: S,S,Đ,Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2-4x-5=0\iff x=-1$ hoặc $x=5$, không phải $x=1$ và $x=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=x^2-4x-5$, không phải $3x^2-4x-5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0\iff -1<x<5$, các giá trị nguyên thỏa mãn là $0,1,2,3,4$: đúng 5 giá trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=1^2-4(1)-5=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $T(t)=5\cos \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}\right)+25$:
a) $T^{\prime }(t)=5\cdot \left(-\sin \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}\right)\right)\cdot \frac{\pi }{12}=-\frac{5\pi }{12}\sin \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}\right)$. Đúng.
b) Vì $-1\le \cos \le 1$ nên $20\le T(t)\le 30$; giá trị nhỏ nhất $20^{\circ }$C đạt được khi $\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}=\pi +2k\pi$, tức $t=15$ (thuộc $[0;24]$). Đúng.
c) $T^{\prime }(t)=0\iff \sin \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}=k\pi \iff t=3+12k$. Với $0\le t\le 24$ có $t=3$ và $t=15$: đúng hai nghiệm. Đúng.
d) $T(0)=5\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+25=\frac{5\sqrt{2}}{2}+25\approx 28,54^{\circ }$C $\ne 25^{\circ }$C. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm theo quy tắc chuỗi: $T^{\prime }(t)=-\frac{5\pi }{12}\sin \left(\frac{\pi t}{12}-\frac{\pi }{4}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$T_{\min }=25-5=20^{\circ }$C, đạt tại $t=15$ giờ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$T^{\prime }(t)=0\iff t=3+12k$; trên $[0;24]$ có $t=3$ và $t=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$T(0)=5\cos (-\pi /4)+25=25+\frac{5\sqrt{2}}{2}\approx 28,54^{\circ }$C, không phải $25^{\circ }$C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{1}{4}{x}^4-3x^2-2024x+2025$, nên $y^{\prime }=4\cdot \frac{1}{4}{x}^3-6x-2024=x^3-6x-2024$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đạo hàm của thương: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-v^{\prime }.u}{v^2}$ với $v\ne 0$. Do đó đáp án đúng là D. Kiểm tra: A sai dấu (dấu cộng), B sai mẫu số (thiếu bình phương), C sai dấu tử số.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $V(t)=\frac{1}{16}{t}^2-5t+100$, nên $V^{\prime }(t)=\frac{1}{8}t-5$ (không phải $\frac{1}{16}t-5$), do đó mệnh đề a) sai. $V(0)=100$ nên lúc bắt đầu bể chứa 100 lít nước, mệnh đề b) đúng. Tại $t=10$: $|V^{\prime }(10)|=\left|\frac{10}{8}-5\right|=3,75$ lít/phút, mệnh đề c) đúng. Tốc độ chảy là $|V^{\prime }(t)|=\left|\frac{t}{8}-5\right|$ trên $[0;40]$, đạt giá trị lớn nhất bằng 5 tại hai đầu $t=0$ và $t=40$; tại $t=20$ tốc độ bằng $0$ (nhỏ nhất), nên mệnh đề d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V^{\prime }(t)=2\cdot \frac{1}{16}t-5=\frac{1}{8}t-5$, không phải $\frac{1}{16}t-5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V(0)=\frac{1}{16}\cdot 0-5\cdot 0+100=100$ lít.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|V^{\prime }(10)|=\left|\frac{10}{8}-5\right|=\left|1,25-5\right|=3,75$ lít/phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ $|V^{\prime }(t)|=\left|\frac{t}{8}-5\right|$ lớn nhất bằng 5 lít/phút tại $t=0$ hoặc $t=40$; tại $t=20$ tốc độ bằng 0, nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 PHẦN III: a) y = x^4 - 4x^3 + 1 là hàm đa thức nên y' = 4x^3 - 12x^2. b) y = (1-x)/2^x. Viết y = (1-x)·2^{-x}. Đạo hàm: y' = (-1)·2^{-x} + (1-x)·2^{-x}·ln2·(-1) = -2^{-x} - (1-x)ln2·2^{-x} = 2^{-x}[(x-1)ln2 - 1]. Có thể viết y' = [(x-1)ln2 - 1]/2^x. Kiểm tra bằng công thức thương: u = 1-x, u' = -1; v = 2^x, v' = 2^x ln2; y' = (u'v - uv')/v^2 = (-2^x - (1-x)2^x ln2)/2^{2x} = [-1 - (1-x)ln2]/2^x = [(x-1)ln2 - 1]/2^x. Hai cách cho cùng kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$. Với $y=\tan 7x$, đặt $u=7x$, $u^{\prime }=7$, nên $y^{\prime }=\frac{7}{{\cos }^{2}7x}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=(2x-3)\ln x$ xác định với $x>0$. Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-3{)}^{\prime }\ln x+(2x-3)(\ln x{)}^{\prime }=2\ln x+(2x-3)\cdot \frac{1}{x}=2\ln x+\frac{2x-3}{x}$. Vậy phát biểu đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3x^4$ có đạo hàm $y^{\prime }=3\cdot 4x^3=12x^3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^3-3x^2+2$ nên $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
a) $f^{\prime }(1)=3-6=-3$, khẳng định đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, khẳng định đúng.
c) $f(-2)=-8-12+2=-18$, $f(2)=8-12+2=-2$. Khi $x\to -2$, tử số $f(x)+f(2)\to -18+(-2)=-20\ne 0$ trong khi mẫu $x+2\to 0$, nên giới hạn không tồn tại (tiến đến vô cực), do đó không bằng $f^{\prime }(-2)=-24$. Khẳng định sai.
d) $f(-1)=-1-3+2=-2$, $f^{\prime }(-1)=3+6=9$. Tiếp tuyến tại $x_0=-1$: $y=9(x+1)-2=9x+7\ne 9x+11$. Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ nên $f^{\prime }(1)=3-6=-3$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $x^3-3x^2+2$ là $3x^2-6x$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tử số tiến đến $f(-2)+f(2)=-18+(-2)=-20\ne 0$ nên giới hạn không tồn tại (vô cực), không bằng $f^{\prime }(-2)=-24$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(-1)=-2$, $f^{\prime }(-1)=9$, tiếp tuyến là $y=9(x+1)-2=9x+7\ne 9x+11$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+2026$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Áp dụng quy tắc đạo hàm $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ và đạo hàm của hằng số bằng 0: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }-(2x^2{)}^{\prime }+(2026{)}^{\prime }=3x^2-4x+0=3x^2-4x$. Vậy đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=3x^2-4x$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ với $n=4$: $y^{\prime }=(x^4{)}^{\prime }=4x^3$. Vậy đáp án đúng là C.