Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x$ có đạo hàm $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }=1$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4x^2$ có đạo hàm $y^{\prime }=4\cdot 2x=8x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt{x}$, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ với $x>0$. Suy ra $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }=1+0=1$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^3}{3}+x^2-3x-\frac{8}{3}$.
a) Đúng: theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
b) Sai: $f^{\prime }(x)=x^2+2x-3$, không phải $x^2+2$.
c) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$, hai nghiệm phân biệt.
d) Đúng: $f(2)=\frac{8}{3}+4-6-\frac{8}{3}=-2$; $f^{\prime }(2)=4+4-3=5$. Tiếp tuyến: $y=5(x-2)-2=5x-12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của $f$ tại $x_0$: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=x^2+2x-3\ne x^2+2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+2x-3=0\iff (x-1)(x+3)=0$, có 2 nghiệm phân biệt $x=1,x=-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=-2$, $f^{\prime }(2)=5$, tiếp tuyến $y=5(x-2)-2=5x-12$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: $f(x)=2x^3$.
a) Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
b) $f^{\prime }(x)=6x^2$, đúng.
c) $f^{\prime }(1)=6\cdot 1^2=6\ne 2$, sai.
d) Tại $x_0=3$: $f(3)=54$, $f^{\prime }(3)=54$, tiếp tuyến $y=54(x-3)+54=54x-108$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm của $f$ tại $x_0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2(x+h{)}^3-2x^3}{h}=6x^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(1)=6\cdot 1^2=6$, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=54$, $f^{\prime }(3)=54$ nên $y=54(x-3)+54=54x-108$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ bằng $f^{\prime }(x_0)$. Ta có $f(x)=x^2+2x$ nên $f^{\prime }(x)=2x+2$. Tại $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=2\cdot 2+2=6$. Vậy hệ số góc cần tìm bằng $6$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=1$ là $f^{\prime }(1)$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$, suy ra $f^{\prime }(1)=3-6=-3$. Vậy hệ số góc cần tìm bằng $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm từng hàm số theo quy tắc $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$:

a) $y=x^3-3x^2+2x+1\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-6x+2$.

b) $y=x^2-\sqrt{x}=x^2-x^{1/2}$, với $x>0$: $y^{\prime }=2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

c) $y=x^3+4x^2-1\Rightarrow y^{\prime }=3x^2+8x$.

d) $y=x^3+2x+1\Rightarrow y^{\prime }=3x^2+2$.

e) $y=x^2-\frac{1}{2}x\Rightarrow y^{\prime }=2x-\frac{1}{2}$.

f) $y=-3x^3+x^2-1\Rightarrow y^{\prime }=-9x^2+2x$.

Kiểm tra lại: mỗi đạo hàm đều suy ra đúng từ quy tắc lũy thừa và tính tuyến tính của phép lấy đạo hàm; hàm ở câu b) xác định với $x\ge 0$ và có đạo hàm với $x>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=5x^3-2x^2+3x-7$, nên $f^{\prime }(x)=15x^2-4x+3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x-1)-x^3}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2(2x-3)}{(x-1{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0\iff x^2(2x-3)=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{3}{2}$ (đều thuộc tập xác định). Vậy $S=\left\{0;\frac{3}{2}\right\}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+3)-(2x-1)\cdot 1}{(x+3{)}^2}=\frac{7}{(x+3{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(1)=\frac{7}{16}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{1}{x^2+x}$, ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{(x^2+x{)}^{\prime }}{(x^2+x{)}^2}=-\frac{2x+1}{(x^2+x{)}^2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$.

a) Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$. Đúng.

b) $h(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}{x}^2-x+1+\frac{2025}{x}$ (với $x\ne 0$), nên $h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$. Tại $x=3$: $h^{\prime }(3)=2-1-\frac{2025}{9}=1-225=-224\ne 226$. Sai.

c) $f^{\prime }(x)=x+5\iff (x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$. Hai nghiệm trái dấu. Đúng.

d) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$: hệ số góc $m=(a-1{)}^2\ge 0$, phương trình $y=m(x-a)+f(a)=mx+b$ với $b=f(a)-ma$. Đường thẳng cắt hai trục tạo tam giác vuông cân khi và chỉ khi $|b|=\left|\frac{b}{m}\right|$ (cắt trục tại điểm khác gốc). Vì $b\ne 0$ nên cần $|m|=1$, tức $m=1$ (do $m\ge 0$), suy ra $(a-1{)}^2=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$.
Kiểm tra: với $a=0$, $b=f(0)=2025\ne 0$; với $a=2$, $b=f(2)-2=\frac{8}{3}-4+2+2025-2=2025+\frac{2}{3}-2\ne 0$. Vậy có đúng hai tiếp tuyến (tại $a=0$ và $a=2$) có hệ số góc bằng 1, tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$, nên $h^{\prime }(3)=2-1-225=-224\ne 226$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$: hai nghiệm trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=mx+b$ tạo tam giác vuông cân với hai trục khi $|m|=1$ và $b\ne 0$. Vì $m=(a-1{)}^2\ge 0$ nên $m=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$, cả hai đều cho $b\ne 0$. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định với $x>0$. Ta có $f^{\prime }(x)=16x^2-\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Giải $f^{\prime }(x)=0$: $16x^2=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow 32x^{5/2}=1\Rightarrow x^{5/2}=\frac{1}{32}=2^{-5}\Rightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}$. Vậy $x=\frac{1}{4}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(x{)}^{\prime }{e}^x+x(e^x{)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y=2^x+e^2$ có $y^{\prime }=2^x\ln 2$ (vì $e^2$ là hằng số, đạo hàm bằng 0), không phải $2^x\ln 2+2e$.
b) Đúng: $y^{\prime }=\cos x-\sin x$, $y^{\prime \prime }=-\sin x-\cos x=-y$.
c) Đúng: $y=x{e}^{-x}$ nên $y^{\prime }=e^{-x}+x(-e^{-x})=\frac{1-x}{e^x}$.
d) Sai: $f(x)=x\log x^2$ (xác định với $x\ne 0$), $f^{\prime }(x)=\log x^2+x\cdot \frac{2x}{x^2\ln 10}=\log x^2+\frac{2}{\ln 10}$; $g^{\prime }(x)=2\log e=\frac{2}{\ln 10}$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)\le g^{\prime }(x)\iff \log x^2\le 0\iff 0<x^2\le 1\iff 0<|x|\le 1$, tập nghiệm $[-1;0)\cup (0;1]$ chỉ chứa hai số nguyên là $x=\pm 1$, không chứa ba số nguyên.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=2^x\ln 2$ vì $e^2$ là hằng số nên đạo hàm bằng 0, không phải $2^x\ln 2+2e$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\cos x-\sin x$, $y^{\prime \prime }=-\sin x-\cos x=-y$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x{e}^{-x}$, $y^{\prime }=e^{-x}-x{e}^{-x}=\frac{1-x}{e^x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\log x^2+\frac{2}{\ln 10}$, $g^{\prime }(x)=\frac{2}{\ln 10}$. Bất phương trình trở thành $\log x^2\le 0\iff 0<|x|\le 1$, chỉ có hai số nguyên $x=\pm 1$, không phải ba.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\ln \left(x\sqrt{x^2+5}\right)$, ta có $y=\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+5)$ trên $(0;+\infty )$. Suy ra $y^{\prime }=\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2+5}=\frac{(x^2+5)+x^2}{x(x^2+5)}=\frac{2x^2+5}{x^3+5x}$. Vậy $a=2$, $b=5$, do đó $P=a^5-26b=2^5-26\cdot 5=32-130=-98$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-98$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{10x^3}{3}-\frac{4}{x}+\cot x$ xác định với $x\ne 0$ và $\sin x\ne 0$. Ta tính đạo hàm từng thành phần:
- ${\left(\frac{10x^3}{3}\right)}^{\prime }=10x^2$.
- ${\left(-\frac{4}{x}\right)}^{\prime }=\frac{4}{x^2}$.
- $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.
Vậy $y^{\prime }=10x^2+\frac{4}{x^2}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, với $x\ne k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x^2+1$ nên $f^{\prime }(x)=4x$. Do đó $f^{\prime }(-1)=4\cdot (-1)=-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 5: B).