Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x+1{)}^{\prime }{e}^x-(x+1)(e^x{)}^{\prime }}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}=\frac{-x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{-x}{e^x}$. Vậy đáp án là C. Bảng đáp án của mã đề 1145 không ghi kết quả câu 7 nên không có mâu thuẫn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=-3t^2+90t+600$. Tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200 khi $-3t^2+90t+600>1200\iff -3t^2+90t-600>0\iff t^2-30t+200<0\iff (t-10)(t-20)<0\iff 10<t<20$. Vì $t\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $t\in \{11,12,\dots ,19\}$, tức có 9 ngày. Kiểm tra: tại $t=15$, $f^{\prime }(15)=-675+1350+600=1275>1200$; tại $t=10$, $f^{\prime }(10)=-300+900+600=1200$ (không lớn hơn 1200); tại $t=20$, $f^{\prime }(20)=-1200+1800+600=1200$ (không lớn hơn 1200). Vậy trong 30 ngày đầu tiên có 9 ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 1200.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x^2-2x-1{)}^{\prime }(x-2)-(x^2-2x-1)(x-2{)}^{\prime }}{(x-2{)}^2}=\frac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x-1)}{(x-2{)}^2}$. Tính tử số: $(2x-2)(x-2)=2x^2-6x+4$; trừ đi $(x^2-2x-1)$ ta được $2x^2-6x+4-x^2+2x+1=x^2-4x+5$. Vậy $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+5}{(x-2{)}^2}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^{2016}$, ta có $y^{\prime }(x)=2016x^{2015}$. Suy ra $y^{\prime }(1)=2016\cdot 1^{2015}=2016$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)-(x-1)\cdot x}{(x^2+1{)}^{3/2}}=\frac{x+1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$. Vậy $a=1,b=1$, do đó $S=2a+b=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\ln (x^2-1)-2\ln x$ với $x>1$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2-1}-\frac{2}{x}=\frac{2x^2-2(x^2-1)}{x(x^2-1)}=\frac{2}{x(x-1)(x+1)}$.

Phân tích: $\frac{2}{n(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n(n+1)}=\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$.

Do đó
$$T=\sum _{n=2}^{2020}{f}^{\prime }(n)=\left(1-\frac{1}{2020}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2021}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020\cdot 2021}.$$

Với $2020\cdot 2021=4082420$:
$$T=\frac{4082420-2}{8164840}=\frac{4082418}{8164840}=\frac{2041209}{4082420}.$$
Kiểm tra nguyên tố cùng nhau: $a=2041209$ lẻ, không chia hết cho $5$; theo modulo $43$ và $47$ (vì $2021=43\cdot 47$) ta có $a\equiv -2(\mathrm{mod}43)$ và $a\equiv -2(\mathrm{mod}47)$, nên $\gcd (a,b)=1$.

Vậy $2a-b=2\cdot 2041209-4082420=4082418-4082420=-2$.

Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=2^{2x}=4^x$, nên $y^{\prime }=4^x\ln 4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$ — đúng. b) $f(0)=1\ne 7$ — sai. c) $f(2)=7$, $f^{\prime }(2)=7$ nên tiếp tuyến $y=7(x-2)+7=7x-7$ — đúng. d) $f^{\prime }(x)=3\iff 3x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$, hai tiếp tuyến — đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-4x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=1\ne 7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=7$, $f^{\prime }(2)=7$, tiếp tuyến $y=7x-7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3\iff 3x^2-4x=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$: có hai tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\ln \frac{x}{x+1}-2025$. a) Hàm số xác định khi $\frac{x}{x+1}>0$, tức $x<-1$ hoặc $x>0$, vậy tập xác định là $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$: đúng. b) $f^{\prime }(x)={\left(\ln x-\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x^2+x}$, mệnh đề đưa ra có dấu âm nên sai. c) $y^{\prime }(3)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}\ne \frac{13}{12}$: sai. d) $f^{\prime }(k)=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nên $T=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x}{x+1}>0\iff x<-1$ hoặc $x>0$, nên tập xác định là $(-\infty ;-1)\cup (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x^2+x}$ (dấu dương), không phải $-\frac{1}{x^2+x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(3)=\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{12}\ne \frac{13}{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, tổng dạng telescoping: $T=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}$. Suy ra $y^{\prime }(-1)=\frac{-4}{(-1-1{)}^2}=\frac{-4}{4}=-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\sqrt{x^2+3}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$. Suy ra $f(1)=\sqrt{4}=2$ và $f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$. Do đó $S=f(1)+4f^{\prime }(1)=2+4\cdot \frac{1}{2}=4$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2x-3}$ xác định tại $x_0=-1$ (vì $2(-1)-3=-5\ne 0$). Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-3)-2(x+1)}{(2x-3{)}^2}=\frac{-5}{(2x-3{)}^2}$. Hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0=-1$ là $y^{\prime }(-1)=\frac{-5}{(-5{)}^2}=-\frac{1}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=e^{2x-3}$ có dạng $e^{u(x)}$ với $u(x)=2x-3$, $u^{\prime }(x)=2$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)e^{u(x)}=2e^{2x-3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (2x+1)$ xác định khi $2x+1>0$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp với $u=2x+1$, $u^{\prime }=2$: $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}=\frac{2}{2x+1}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-2$, tại $x=1$: $k=y^{\prime }(1)=3-2=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=(2x-1)\sqrt{x^2+x}$, áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=2\sqrt{x^2+x}+(2x-1)\cdot \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{4(x^2+x)+(2x-1)(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{4x^2+4x+4x^2-1}{2\sqrt{x^2+x}}=\frac{8x^2+4x-1}{2\sqrt{x^2+x}}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3(x+1)-(3x+2)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$.
a) Vì $(x+1{)}^2>0$ với mọi $x\ne -1$ nên $f^{\prime }(x)>0$, mệnh đề đúng.
b) $f^{\prime }(2)=\frac{1}{9}$, $f^{\prime }(-3)=\frac{1}{4}$, tổng $=\frac{4+9}{36}=\frac{13}{36}\ne \frac{5}{36}$, mệnh đề sai.
c) $f^{\prime }(x)=25\iff \frac{1}{(x+1{)}^2}=25\iff (x+1{)}^2=\frac{1}{25}\iff x=-\frac{4}{5}$ hoặc $x=-\frac{6}{5}$. Tích hai nghiệm $=\frac{24}{25}\ne \frac{26}{25}$, mệnh đề sai.
d) $f(-2)=\frac{-6+2}{-1}=4$ nên $M(-2;4)$ thuộc đồ thị. $f^{\prime }(-2)=1$ nên tiếp tuyến tại $M$: $y=4+1\cdot (x+2)=x+6$. Thay $E(-5;1)$: $-5+6=1$ đúng, nên $E$ thuộc tiếp tuyến, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(2)+f^{\prime }(-3)=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{13}{36}\ne \frac{5}{36}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của $f^{\prime }(x)=25$ là $x=-\frac{4}{5},x=-\frac{6}{5}$; tích $=\frac{24}{25}\ne \frac{26}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(-2;4)$ có phương trình $y=x+6$; với $x=-5$ thì $y=1$, nên đi qua $E(-5;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2025 ứng với $t=2025-2015=10$. Ta có $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, nên $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}$. Vậy tốc độ tăng dân số năm 2025 là $f^{\prime }(10)=\frac{120}{15^2}=\frac{120}{225}=\frac{8}{15}\approx 0,53$ (nghìn người/năm).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn hàm số: $y=\frac{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=-2\cot 2x$. Khi đó $y^{\prime }=4{\csc }^{2}2x=\frac{4}{{\sin }^{2}2x}$. Tại $x=\frac{\pi }{6}$ thì $2x=\frac{\pi }{3}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $y^{\prime }{|}_{x=\pi /6}=\frac{4}{3/4}=\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan x+\cot x=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$. Vậy $f(x)=\sqrt{\frac{2}{\sin 2x}}$. Đặt $g(x)=\frac{2}{\sin 2x}$, khi đó $g^{\prime }(x)=-\frac{4\cos 2x}{{\sin }^{2}2x}$ và $f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Tại $x=\frac{\pi }{4}$: $\sin 2x=\sin \frac{\pi }{2}=1$ nên $g=2$, $\sqrt{g}=\sqrt{2}$; $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{2}=0$ nên $g^{\prime }=0$. Do đó $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{0}{2\sqrt{2}}=0$.