Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: CLB có 10 nam, 3 nữ, chọn 5 bạn.
a) Chọn 5 bạn nam từ 10 bạn nam: $C_{10}^5=\frac{10!}{5!5!}=252$ cách.
b) Chọn 5 bạn bất kỳ từ 13 bạn: $C_{13}^5=\frac{13!}{5!8!}=1287$ cách.
c) Chọn 3 nam từ 10 và 2 nữ từ 3: $C_{10}^3\cdot C_3^2=120\cdot 3=360$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, từ nhà Bình đến nhà sách có 3 con đường, từ nhà sách đến trường có 2 con đường. Muốn đi từ nhà đến trường mà phải đi qua nhà sách, Bình chọn 1 trong 3 con đường từ nhà đến nhà sách, sau đó chọn 1 trong 2 con đường từ nhà sách đến trường. Theo quy tắc nhân, số cách đi là $3\times 2=6$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số tập con 3 phần tử của B (6 phần tử): $C_6^3=20$ → đúng. b) Số có 3 chữ số phân biệt từ A: $5\cdot 4\cdot 3=60\ne 125$ → sai. c) Số có 2 chữ số từ B: chữ số hàng chục khác 0 nên $5\cdot 6=30$ → đúng. d) Số chẵn 3 chữ số phân biệt từ B: tận cùng 0: $5\cdot 4=20$; tận cùng 2 hoặc 4: $2\cdot 4\cdot 4=32$; tổng $52\ne 15$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập B có 6 phần tử, số tập con 3 phần tử là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số phân biệt lấy từ A (5 phần tử): $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60\ne 125$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số hàng chục có 5 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách, tổng $5\cdot 6=30$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: $5\cdot 4=20$ cách; tận cùng 2 hoặc 4: $2\cdot 4\cdot 4=32$ cách; tổng $52\ne 15$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: a) Sơ đồ hình cây: Từ Lào Cai có 2 nhánh (Xe khách, Tàu hỏa) đến Hà Nội; từ mỗi nhánh lại chia thành 3 nhánh (Xe khách, Tàu hỏa, Máy bay) đến TP Hồ Chí Minh. Các nhánh đầy đủ là: Xe khách - Xe khách; Xe khách - Tàu hỏa; Xe khách - Máy bay; Tàu hỏa - Xe khách; Tàu hỏa - Tàu hỏa; Tàu hỏa - Máy bay. b) Theo quy tắc nhân, số cách chọn phương tiện là $2\times 3=6$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số phân biệt từ $A=\{0,1,2,3,4,5\}$: chữ số hàng trăm không được là 0 nên có 5 cách; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, 0 được phép); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 5 người là $C_5^3=10$. Số cách chọn đội toàn nữ là $C_3^3=1$ (không có đội toàn nam vì chỉ có 2 nam). Vậy số cách chọn đội có cả nam và nữ là $10-1=9$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức chỉnh hợp chập k của n phần tử: $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$, và $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$. Do đó các mệnh đề B, C, D đều đúng. Mệnh đề A viết $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k)$ là sai vì thừa số cuối cùng phải là $(n-k+1)$ (tích gồm k thừa số, bắt đầu từ $n$ kết thúc ở $n-k+1$). Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Mật khẩu gồm 8 kí tự đôi một khác nhau, có thứ tự (là mật khẩu), nên dùng chỉnh hợp. Chọn 3 chữ cái từ 26 chữ cái in thường và sắp xếp: $A_{26}^3$ cách. Chọn 5 chữ số từ 10 chữ số và sắp xếp: $A_{10}^5$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách tạo mật khẩu là $A_{26}^3\cdot A_{10}^5$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 bi xanh, 5 bi đỏ, tổng 13 bi.
a) Chọn 4 bi tùy ý: $C_{13}^4=715$ → đúng.
b) 1 đỏ và 3 xanh: $C_5^1\cdot C_8^3=5\cdot 56=280\ne 290$ → sai.
c) Mỗi màu bằng nhau tức 2 đỏ và 2 xanh: $C_5^2\cdot C_8^2=10\cdot 28=280$ → đúng.
d) Ít nhất 3 bi đỏ: (3 đỏ, 1 xanh) hoặc (4 đỏ): $C_5^3{C}_8^1+C_5^4=80+5=85$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_{13}^4=715$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^1{C}_8^3=5\cdot 56=280$ cách, không phải 290.
c) (AI giải đề cho tôi)
2 đỏ, 2 xanh: $C_5^2{C}_8^2=10\cdot 28=280$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3{C}_8^1+C_5^4=80+5=85$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 viên từ 14 viên là $C_{14}^4=1001$. Số cách chọn 4 viên cùng màu xanh: $C_8^4=70$; cùng màu đỏ: $C_6^4=15$. Vậy số cách chọn 4 viên có đủ 2 màu là $1001-70-15=916$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 người từ 7 người vào 3 chức vụ phân biệt (Bí thư, Phó bí thư, Ủy viên thường vụ) là một chỉnh hợp: thứ tự giữ vai trò quan trọng. Số cách chọn là $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi loại sách là một khối: có $3!=6$ cách xếp thứ tự ba khối (Toán, Văn, Tiếng Anh). Trong khối Toán có $4!=24$ cách xếp 4 quyển, khối Văn có $3!=6$ cách, khối Tiếng Anh có $2!=2$ cách. Tổng số cách: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1728).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4=126$. Loại trường hợp không có bông trắng nào (cả 4 bông hồng): $C_5^4=5$. Vậy số cách chọn bó hoa có ít nhất một bông trắng là $126-5=121$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 121).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 sản phẩm cùng loại nghĩa là hoặc chọn 3 tai nghe, hoặc chọn 3 loa. Số cách chọn 3 tai nghe từ 11 mẫu là $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Số cách chọn 3 loa từ 5 mẫu là $C_5^3=10$. Vì hai trường hợp rời nhau, theo quy tắc cộng tổng số cách là $165+10=175$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau từ $A=\{1;2;3;4;5;6;7\}$: chữ số lẻ có 4 số $(1;3;5;7)$. Chọn chữ số hàng đơn vị: $4$ cách; sau đó chọn 3 chữ số còn lại từ 6 số còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$ cách. Tổng: $4\cdot 120=480$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn $(480)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 sản phẩm cùng loại nghĩa là hoặc chọn 3 tai nghe, hoặc chọn 3 loa. Số cách chọn 3 tai nghe từ 11 mẫu là $C_{11}^3=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{6}=165$. Số cách chọn 3 loa từ 5 mẫu là $C_5^3=10$. Vì hai trường hợp rời nhau, tổng số cách là $165+10=175$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xem mỗi loại sách là một khối: có 3 khối (Toán, Văn, Tiếng Anh) xếp thành hàng ngang nên có $3!=6$ cách. Trong khối Toán, 4 quyển khác nhau xếp được $4!=24$ cách; khối Văn: $3!=6$ cách; khối Tiếng Anh: $2!=2$ cách. Tổng số cách: $3!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!=6\cdot 24\cdot 6\cdot 2=1728$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1728.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bông từ 9 bông: $C_9^4=126$. Bó không có hoa trắng (cả 4 hồng): $C_5^4=5$. Vậy số cách có ít nhất một hoa trắng: $126-5=121$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bát giác đều có 8 đỉnh. a) Số cách chọn 1 đỉnh là 8, không phải 1 → Sai. b) Số đoạn thẳng tạo từ các đỉnh là $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$, không phải 16 → Sai. c) Số vecto khác $\vec{0}$: chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau, có $8\cdot 7=56$ vecto → Đúng. d) Số đường chéo của đa giác $n$ đỉnh là $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bát giác đều có 8 đỉnh nên số cách chọn 1 đỉnh là 8, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi đoạn thẳng ứng với chọn 2 đỉnh trong 8 đỉnh: $C_8^2=28$, không phải 16.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vecto xác định bởi cặp (điểm đầu, điểm cuối) với hai điểm phân biệt: $8\cdot 7=56$ vecto khác $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác lồi $n$ đỉnh: $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{8\cdot 5}{2}=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn đúng 3 học sinh nữ từ 20 bạn và 2 học sinh nam từ 15 bạn. Số cách chọn 3 nữ là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. Số cách chọn 2 nam là $C_{15}^2=\frac{15\cdot 14}{2}=105$. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 5 bạn gồm đúng 3 nữ là $C_{20}^3\cdot C_{15}^2=1140\cdot 105=119700$.