Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^4=495$. Số cách chọn sao cho 4 học sinh thuộc cả 3 lớp (không thỏa mãn) là các phân loại kiểu $(2,1,1)$: chọn 2 từ một lớp và 1 từ mỗi lớp còn lại:
- 2 lớp A, 1 lớp B, 1 lớp C: $C_5^2\cdot C_4^1\cdot C_3^1=10\cdot 4\cdot 3=120$
- 1 lớp A, 2 lớp B, 1 lớp C: $C_5^1\cdot C_4^2\cdot C_3^1=5\cdot 6\cdot 3=90$
- 1 lớp A, 1 lớp B, 2 lớp C: $C_5^1\cdot C_4^1\cdot C_3^2=5\cdot 4\cdot 3=60$

Tổng cách không thỏa mãn: $120+90+60=270$. Vậy số cách thỏa mãn (thuộc không quá 2 lớp) là $495-270=225$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 225.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là một cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử và sắp xếp thứ tự, do đó công thức là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Phương án B, C sai vì đó là công thức tổ hợp (hoặc nghịch đảo của nó); phương án D là công thức tổ hợp $C_n^k$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh từ 15 học sinh, không xét thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp chập 5 của 15: $C_{15}^5=\frac{15!}{5!10!}=3003$ cách. Vậy đáp án B, khớp với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc nhân: chọn 1 áo có 4 cách, chọn 1 quần có 5 cách, chọn 1 cà vạt có 2 cách. Vậy tổng số cách chọn bộ trang phục là $4\times 5\times 2=40$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 2 = 40).

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 4 bạn còn lại thành 5 đối tượng xếp thành hàng: $5!=120$ cách. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau được $2!=2$ cách. Vậy tổng số cách là $5!\cdot 2!=120\cdot 2=240$... Tuy nhiên đáp án của đề (mã đề 102, Phần III Câu 3) là 48. Kiểm tra lại: nếu đề yêu cầu An và Bình đứng cạnh nhau thì kết quả chuẩn là $2\cdot 5!=240$, không phải 48. Số 48 tương ứng $2\cdot 4!=48$, tức chỉ tính 4 bạn còn lại xếp hàng (không tính đúng mô hình 6 người). Vì đáp án nguồn (48) mâu thuẫn với kết quả giải đúng theo lý thuyết tổ hợp (240), nhưng theo quy định không được ghi đè đáp án nguồn, ta ghi nhận đáp án nguồn là 48 và báo cáo mâu thuẫn này.

HD chấm (1,0 điểm): Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$ (0,25 điểm). TH1: $d=0$. Có $\mathrm{1.6.5.4}=120$ số (0,25 điểm). TH2: $d=5$. Có $\mathrm{1.5.5.4}=100$ số (0,25 điểm). Có tất cả $120+100=220$ (số) (0,25 điểm).

HD chấm (1,0 điểm): Chọn 1 thủ môn có: 3 cách (0,25 điểm). Chọn 2 hậu vệ có: $C_7^2$ cách (0,25 điểm). Chọn 4 tiền vệ có: $C_8^4$ cách. Chọn 4 tiền đạo có $C_5^4$ cách (0,25 điểm). Vậy có tất cả: $3.C_7^2.C_8^4.C_5^4=22.050$ cách (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Sơ đồ cây: Quán ăn có 2 nhánh chính là Phở và Bún. Phở có 2 món (Phở bò, Phở gà), Bún có 2 món (Bún riêu, Bún chả cá). Theo quy tắc cộng, số cách chọn một món là $2+2=4$ cách. Khớp với đáp án A của đề (mã đề 102, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 7 người có 7 cách, chọn 1 nữ trong 5 người có 5 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn một nam và một nữ để hát song ca là $7\times 5=35$ cách. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là số cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử và sắp xếp thứ tự, công thức: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Do đó đáp án đúng là A. (Lưu ý: đáp án B chính là công thức tổ hợp $C_n^k$, đáp án D dùng ký hiệu $C_n^k$ nhưng viết công thức tổ hợp, đều không phải chỉnh hợp.) Đáp án này trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 15 học sinh, không kể thứ tự, nên số cách chọn là tổ hợp chập 4 của 15: $C_{15}^4=\frac{15!}{4!11!}=1365$ cách. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc nhân: chọn 1 áo có 4 cách, chọn 1 quần có 3 cách, chọn 1 cà vạt có 2 cách. Vậy tổng số cách chọn một bộ trang phục là $4\cdot 3\cdot 2=24$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Gộp An và Bình thành một khối, cùng 5 bạn còn lại thành 6 đối tượng xếp hàng: $6!=720$. Trong khối, An và Bình đổi chỗ cho nhau: $2!=2$ cách. Tổng: $6!\cdot 2!=720\cdot 2=1440$... Tuy nhiên đáp án nguồn là 240, tương ứng $5!\cdot 2=240$ (xếp 5 bạn còn lại rồi chèn khối vào 6 vị trí: $5!\cdot 2\cdot 6=1440$, không khớp). Kiểm tra lại: cách đúng chuẩn là $6!\cdot 2=1440$, nhưng đáp án nguồn ghi 240. Vì đề yêu cầu không ghi đè đáp án nguồn khi xung đột, trả về solved=false.

HD chấm (1,0 điểm): Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 là $\overline{abcd}$ (0,25 điểm). TH1: $d=0$. Có $\mathrm{1.6.5.4}=120$ số (0,25 điểm). TH2: $d=5$. Có $\mathrm{1.5.5.4}=100$ số (0,25 điểm). Có tất cả $120+100=220$ (số) (0,25 điểm).

HD chấm (1,0 điểm): Chọn 1 thủ môn có: 3 cách (0,25 điểm). Chọn 2 hậu vệ có: $C_8^2$ cách (0,25 điểm). Chọn 4 tiền vệ có: $C_7^4$ cách. Chọn 4 tiền đạo có $C_5^4$ cách (0,25 điểm). Vậy có tất cả: $3.C_8^3.C_7^4.C_5^4=14.700$ cách (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Theo sơ đồ cây, quán ăn có 2 nhánh chính: PHỔ (gồm Phở bò, Phở gà) và BÚN (gồm Bún riêu, Bún chả cá). Số món ăn (đỉnh lá của cây) là: Phở bò, Phở gà, Bún riêu, Bún chả cá — tổng cộng 4 món. Vậy bạn Thùy có 4 cách chọn một món để ăn sáng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 6 nam có 6 cách, chọn 1 nữ trong 5 nữ có 5 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn một nam và một nữ để hát song ca là $6\times 5=30$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đáp án A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình tứ diện có 4 đỉnh, mỗi cặp đỉnh xác định một cạnh nên số cạnh là $C_4^2=6$ cạnh. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Nam chọn một quyển sách theo một trong hai phương án: phương án A có 4 cách chọn một quyển truyện tranh, phương án B có 5 cách chọn một quyển sách Tiếng Anh. Vì hai phương án không thể thực hiện đồng thời, theo quy tắc cộng, số cách chọn là $4+5=9$ cách. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhãn ghế gồm hai phần: phần thứ nhất là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Việt (24 cách chọn), phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 12 (12 cách chọn). Theo quy tắc nhân, số nhãn ghế khác nhau nhiều nhất là $24\times 12=288$. Kết quả trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, Phần III Câu 1: 288).