Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng không tạo thành tam giác, tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường thẳng và 1 đỉnh trên đường thẳng kia. Trường hợp 1: 2 đỉnh trên $d_1$ và 1 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^2\cdot C_8^1=66\cdot 8=528$. Trường hợp 2: 1 đỉnh trên $d_1$ và 2 đỉnh trên $d_2$: $C_{12}^1\cdot C_8^2=12\cdot 28=336$. Tổng: $528+336=864$ tam giác, khớp với đáp án nguồn (864).

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ 6 chữ số 1, 2, 4, 6, 7, 9 là số chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (120).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 5 bạn và 1 nữ trong 4 bạn. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $5\times 4=20$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (20).

a) Xếp 6 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 6! cách xếp.
Xếp 5 học sinh khối 11 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 5! cách xếp.
Xếp 4 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 4! cách xếp. (0,25 điểm)
Vì khối 12 không đứng ở đầu hàng, nên vị trí đầu hàng chỉ có thể là nhóm khối 10, 11 nên có 2 cách chọn. 2 nhóm còn lại có 2! cách chọn.
Vậy số cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau và khối 12 không đứng ở đầu hàng là:
$2\cdot 2!\cdot 6!\cdot 5!\cdot 4!=8294400$ cách xếp. (0,25 điểm)

b) Số cách chọn 4 học sinh từ 15 học sinh đã cho là $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Gọi biến cố A: "4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối".
$\overline{A}$: "4 học sinh được chọn mỗi khối có ít nhất một em".
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối có ít nhất một em được tính như sau:
+) Khối 10 có 2 học sinh, các khối 11, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^2.C_5^1.C_4^1=300$.
+) Khối 11 có 2 học sinh, các khối 10, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^2.C_4^1=240$.
+) Khối 12 có 2 học sinh, các khối 10, 11 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^1.C_4^2=180$.
Suy ra, số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
$$n(\overline{A})=300+240+180=720.\text{ Neˆn }P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}.$$ (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{48}{91}=\frac{43}{91}$. (0,25 điểm)

(Lưu ý: nguồn gốc ghi nhầm 'Xếp 4 học sinh khối 10' thay vì 'khối 12' ở lời giải phần a; giữ nguyên theo nguồn gốc.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bạn nam làm tổ trưởng: 5 cách. Chọn 1 bạn nữ làm tổ phó: 6 cách. Thư ký chọn từ 9 học sinh còn lại (đã loại tổ trưởng và tổ phó): 9 cách. Theo quy tắc nhân: $5\times 6\times 9=270$ cách. Khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Có 7 người, An luôn ngồi chính giữa (vị trí thứ 4 của hàng ghế). Còn 6 vị trí cho 6 bạn còn lại (Minh, Hoa, Trang, Huy, Hoàng, Bình), sắp xếp bằng hoán vị: $6!=720$ cách. Vậy đáp án là $6!$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 528, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, hai điểm phải khác nhau (để vectơ khác vectơ không). Chọn điểm đầu: 15 cách; chọn điểm cuối khác điểm đầu: 14 cách. Vậy số vectơ là $A_{15}^2=15\cdot 14=210$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 528, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm 3 bạn có cả nam và nữ gồm hai trường hợp:
- 1 nam và 2 nữ: $C_5^1\cdot C_8^2=5\cdot 28=140$ cách.
- 2 nam và 1 nữ: $C_5^2\cdot C_8^1=10\cdot 8=80$ cách.
Tổng: $140+80=220$ cách.
Kiểm tra bằng phần bù: tổng cách chọn 3 bạn từ 13 bạn là $C_{13}^3=286$; trừ nhóm toàn nam $C_5^3=10$ và nhóm toàn nữ $C_8^3=56$, ta được $286-10-56=220$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 528, Phần III Câu 1 = 220).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng tin gồm 4 ô xếp liền nhau theo hàng ngang (ô 1, 2, 3, 4), hai ô liền kề phải khác màu, có 6 màu sơn.
- Ô 1: có 6 cách chọn màu.
- Ô 2: phải khác màu ô 1, nên có 5 cách.
- Ô 3: phải khác màu ô 2, nên có 5 cách.
- Ô 4: phải khác màu ô 3, nên có 5 cách.
Vậy tổng số cách sơn là $6\cdot 5\cdot 5\cdot 5=750$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 528, câu 3: 750).

a) Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ $(a_1\ne 0)$. Chọn $a_4$: 1 cách $(a_4=0)$. Chọn $a_1$: 7 cách chọn. Chọn $a_2$: 8 cách chọn. Chọn $a_3$: 8 cách chọn. (0,25 điểm) Vậy có $\mathrm{1.7.8.8}=448$ (số) tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5. (0,25 điểm)

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bị trong 17 bi: $C_{17}^3$. Suy ra $n(\Omega )=C_{17}^3$. (0,25 điểm) Gọi $A$ là biến cố “3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu”. Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “3 viên bi được chọn có đủ cả ba màu”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$: $n(\overline{A})=\mathrm{4.6.7}=168$. (0,25 điểm) Xác suất của $\overline{A}$: $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{168}{C_{17}^3}=\frac{21}{85}$. Xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{21}{85}=\frac{64}{85}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn nhóm 3 bạn từ 11 người có cả nam và nữ. Tổng số cách chọn 3 từ 11 người là $C_{11}^3=165$. Số cách chọn cả 3 nam: $C_6^3=20$; số cách chọn cả 3 nữ: $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn nhóm có cả nam và nữ là $165-20-10=135$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (135).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng tin gồm 4 ô xếp liên tiếp theo hàng ngang (ô 1, 2, 3, 4), mỗi ô liền kề phải khác màu, có 5 màu.
- Ô 1: 5 cách chọn màu.
- Ô 2: phải khác ô 1 nên có 4 cách.
- Ô 3: phải khác ô 2 nên có 4 cách.
- Ô 4: phải khác ô 3 nên có 4 cách.
Vậy tổng số cách sơn là $5\cdot 4\cdot 4\cdot 4=320$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 391, câu 18: 320).

a) Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}$ ($a_1\ne 0$). Chọn $a_4$: 1 cách ($a_4=0$). Chọn $a_1$: 6 cách chọn. Chọn $a_2$: 7 cách chọn. Chọn $a_3$: 7 cách chọn. Vậy có $\mathrm{1.6.7.7}=294$ (số) tự nhiên có bốn chữ số mà số đó chia hết cho 5. (0,25 + 0,25 điểm)

b) Chọn ngẫu nhiên 3 bị trong 20 bi: $C_{20}^3$. Suy ra $n(\Omega )=C_{20}^3$. (0,25 điểm) Gọi $A$ là biến cố “3 viên bi được chọn không có đủ cả ba màu”. Biến cố đối của $A$ là $\overline{A}$: “3 viên bị được chọn có đủ cả ba màu”. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline{A}$: $n(\overline{A})=\mathrm{5.7.8}=280$. (0,25 điểm) Xác suất của $\overline{A}$: $P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{280}{C_{20}^3}=\frac{14}{57}$. Xác suất cần tìm: $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{14}{57}=\frac{43}{57}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 12 điểm đã cho. Chọn điểm đầu có 12 cách, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu có 11 cách. Vậy số vectơ là $12\cdot 11=132$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 391, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hoàng luôn ngồi chính giữa (vị trí cố định), nên chỉ cần hoán vị 4 bạn còn lại (Minh, Hoa, Trang, Huy) vào 4 ghế còn lại. Số cách là $4!=24$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 391, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Các chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9 (5 chữ số). Số tự nhiên hai chữ số khác nhau, đều lẻ: chọn và sắp xếp 2 trong 5 chữ số theo thứ tự, tức là $A_5^2=5\cdot 4=20$ số. Điều này khớp với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt trong 26 điểm đã cho, và thứ tự có ý nghĩa (điểm đầu khác điểm cuối). Do đó số vectơ là số chỉnh hợp $A_{26}^2=26\cdot 25=650$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (TLN câu 2, mã đề 0003: 650).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^4=715$. Số cách chọn xấu (4 học sinh thuộc cả 3 lớp, tức mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh) với $a+b+c=4$, $a,b,c\ge 1$:
- $(2,1,1)$: $C_6^2\cdot C_4^1\cdot C_3^1=15\cdot 4\cdot 3=180$
- $(1,2,1)$: $C_6^1\cdot C_4^2\cdot C_3^1=6\cdot 6\cdot 3=108$
- $(1,1,2)$: $C_6^1\cdot C_4^1\cdot C_3^2=6\cdot 4\cdot 3=72$
Tổng cách xấu: $180+108+72=360$. Vậy số cách chọn thỏa mãn (thuộc không quá hai lớp) là $715-360=355$, trùng với đáp án nguồn ở trang 8 (bảng ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM, mã đề 0003, TLN câu 3 = 355).

(AI giải đề cho tôi)
Các chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9 (5 chữ số). Cần lập số tự nhiên hai chữ số khác nhau, thứ tự quan trọng nên số cách là $A_5^2=5\cdot 4=20$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 0001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi một cặp điểm (điểm đầu, điểm cuối) phân biệt, với điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 18 điểm đã cho. Số cách chọn điểm đầu là 18 cách, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 17 cách. Vậy tổng số vectơ là $18\times 17=306$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (306).