Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Công việc Y gồm hai công đoạn A và B thực hiện liên tiếp. Theo quy tắc nhân, số cách hoàn thành công việc Y là $8\times 5=40$ cách. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: A).

Xếp chỗ cho hai bạn Ngọc và Minh ngồi đối diện nhau và không ngồi ở vị trí ghế đầu và ghế cuối của dãy: có $2.3=6$ (cách).
4 cặp ghế còn lại: Chọn vị trí ghế ngồi cho các bạn nam là một trong hai vị trí đối diện, còn lại là nữ, có $2^4=16$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nam vào 4 ghế đã chọn: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ vào 4 ghế còn lại: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Theo quy tắc nhân: $\mathrm{6.16.24.24}=55296$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Công việc X thực hiện theo một trong hai phương án (rời nhau), áp dụng quy tắc cộng: số cách thực hiện là $9+8=17$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Công việc chọn một quyển sách được thực hiện theo một trong hai phương án: phương án A có 9 cách (chọn 1 trong 9 quyển truyện tranh), phương án B có 6 cách (chọn 1 trong 6 quyển sách Tiếng Anh). Vì hai phương án không trùng nhau, theo quy tắc cộng, số cách chọn là $9+6=15$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhãn ghế gồm hai phần: phần thứ nhất có 24 cách chọn chữ cái in hoa, phần thứ hai có 10 cách chọn số nguyên dương từ 1 đến 10. Theo quy tắc nhân, số nhãn ghế khác nhau nhiều nhất là $24\times 10=240$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (240).

Xếp chỗ cho hai bạn An và Vy ngồi đối diện nhau và ngồi ở vị trí ghế đầu hoặc ghế cuối của dãy: có $2.2=4$ (cách).
4 cặp ghế còn lại: Chọn vị trí ghế ngồi cho các bạn nam là một trong hai vị trí đối diện, còn lại là nữ, có $2^4=16$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nam vào 4 ghế đã chọn: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Xếp chỗ ngồi cho 4 bạn nữ vào 4 ghế còn lại: có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ (cách).
Theo quy tắc nhân: $\mathrm{4.16.24.24}=36864$ (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Công việc Y gồm hai công đoạn A và B thực hiện liên tiếp (quy tắc nhân). Công đoạn A có 5 cách; ứng với mỗi cách của A, công đoạn B có 4 cách. Vậy số cách hoàn thành công việc Y là $5\times 4=20$ cách. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Công việc X thực hiện theo một trong hai phương án, hai phương án không có cách thực hiện nào trùng nhau nên theo quy tắc cộng, số cách thực hiện là $6+8=14$ cách. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 9: A).

a) Sai: số có 3 chữ số phải có chữ số hàng trăm khác 0, nên chỉ có $5\cdot 6\cdot 6=180$ số. b) Sai: số có 3 chữ số khác nhau từ $B$ là $5\cdot 5\cdot 4=100$ số. c) Sai: số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 là $20+16=36$ số. d) Đúng: số tự nhiên lẻ có 3 chữ số từ $B$ là $5\cdot 6\cdot 3=90$ số. (Đáp án theo bảng đáp án chính thức, mã đề 1002: SSSD.)
a) Số có 3 chữ số phải có chữ số hàng trăm khác 0, nên có $5\cdot 6\cdot 6=180$ số, không phải 216. Khẳng định Sai.
b) Số có 3 chữ số khác nhau từ $B$: hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách, tức $5\cdot 5\cdot 4=100$ số, không phải 180. Khẳng định Sai.
c) Chữ số cuối là 0: $5\cdot 4=20$ số; chữ số cuối là 5: hàng trăm khác 0 và khác 5 nên có 4 cách, hàng chục có 4 cách, tức 16 số; tổng cộng $20+16=36$ số, không phải 60. Khẳng định Sai.
d) Chữ số lẻ ở hàng đơn vị có 3 cách (1; 3; 5), hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 6 cách, tức $5\cdot 6\cdot 3=90$ số. Khẳng định Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trường hợp 1: đúng 2 bi trắng và 1 bi đen: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=15\cdot 4=60$ cách. Trường hợp 2: đúng 3 bi trắng: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ cách. Tổng: $60+20=80$ cách, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4 = 80).

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối ba chữ số 1, 2, 3 đứng cạnh nhau là một khối. Chọn 2 chữ số còn lại đôi một khác nhau từ {0, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: có $A(7;2)=42$ cách (kể cả thứ tự). Khối 1,2,3 có thể ở các vị trí {1;2;3}, {2;3;4} hoặc {3;4;5} (3 cách) và hoán vị bên trong khối có $3!=6$ cách. Tổng: $42\cdot 3\cdot 6=756$. Trừ các số có chữ số 0 ở đầu: 0 đứng đầu chỉ xảy ra khi khối ở vị trí {2;3;4} hoặc {3;4;5}, khi đó chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số khác 0: $6\cdot 6\cdot 2=72$ số. Vậy kết quả: $756-72=684$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh thành hàng dọc là số hoán vị của 5 phần tử: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ cách. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có $15$ nam $+12$ nữ $=27$ học sinh. Chọn $1$ bạn làm trưởng nhóm: có $27$ cách (quy tắc cộng). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 24 bạn nữ và 20 bạn nam, tổng cộng $24+20=44$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn làm trực nhật nên số cách chọn là $44$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=\{1;2;3;4\}$ có 4 chữ số. a) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4 (2 cách), chữ số hàng chục chọn từ 3 chữ số còn lại → $2\times 3=6$ số, không phải 8 → Sai. b) Số có 2 chữ số (cho phép trùng): $4\times 4=16$ số → Đúng. c) Số lẻ có 2 chữ số: hàng đơn vị là 1 hoặc 3 (2 cách), hàng chục có 4 cách → $2\times 4=8$ số → Đúng. d) Số có 2 chữ số khác nhau: $4\times 3=12$ số, không phải 16 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: hàng đơn vị là 2 hoặc 4 (2 cách), hàng chục chọn từ 3 chữ số còn lại → 2×3=6 số, không phải 8.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số (cho phép trùng): 4×4=16 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 2 chữ số: hàng đơn vị là 1 hoặc 3 (2 cách), hàng chục có 4 cách → 2×4=8 số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số khác nhau: 4×3=12 số, không phải 16.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số quả theo màu: đỏ $n_D=8$, xanh $n_X=3$, vàng $n_V=1$. Lấy 3 quả có đúng hai màu, xét các cặp màu:
- Đỏ và xanh: $C_8^2{C}_3^1+C_8^1{C}_3^2=28\cdot 3+8\cdot 3=84+24=108$.
- Đỏ và vàng: chỉ được $2$ đỏ $+1$ vàng (vì chỉ có 1 quả vàng): $C_8^2{C}_1^1=28$.
- Xanh và vàng: chỉ được $2$ xanh $+1$ vàng: $C_3^2{C}_1^1=3$.
Tổng: $108+28+3=139$ cách.
Kiểm tra bằng cách đối: $C_{12}^3-C_8^3-C_3^3-8\cdot 3\cdot 1=220-56-1-24=139$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 139.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bạn vào 3 chức danh khác nhau (lớp trưởng, lớp phó, bí thư) là một chỉnh hợp chập 3 của 37 phần tử: $A_{37}^3=37\cdot 36\cdot 35=46620$ cách chọn. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi bộ 3 điểm phân biệt tạo đúng một tam giác. Số tam giác là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 36 học sinh (20 nam, 16 nữ). a) Chọn 3 học sinh không kể thứ tự nên số cách là $C_{36}^3=7140$, không phải $A_{36}^3$ → Sai. b) Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau (lớp trưởng, bí thư, văn nghệ) là chọn có kể thứ tự nên số cách là $A_{36}^3=36\cdot 35\cdot 34=42840$, không phải $C_{36}^3$ → Sai. c) Xác suất chọn 4 học sinh có đúng 2 nam: $P=\frac{C_{20}^2\cdot C_{16}^2}{C_{36}^4}=\frac{190\cdot 120}{58905}=\frac{22800}{58905}\approx 0,387\ne \frac{5}{9}$ → Sai. d) Xác suất chọn 3 học sinh có cả nam và nữ $=1-\frac{C_{20}^3+C_{16}^3}{C_{36}^3}=1-\frac{1140+560}{7140}=\frac{5440}{7140}=\frac{272}{357}=\frac{16}{21}$ → Đúng (khớp đáp án SSD của mã đề 209).
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh không kể thứ tự: $C_{36}^3=7140$ cách, không phải $A_{36}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí phân biệt là chọn có thứ tự: $A_{36}^3=42840$ cách, không phải $C_{36}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_{20}^2{C}_{16}^2}{C_{36}^4}=\frac{22800}{58905}\approx 0,387\ne \frac{5}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{20}^3+C_{16}^3}{C_{36}^3}=1-\frac{1700}{7140}=\frac{16}{21}$.

a) Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số 1, 4, 7, 10. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: 6!.4! cách.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10$!

Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là 6!.4! cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau.

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2.2=6$.

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $6.3!.5!$.

Gọi A: "Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền".

Ta có: $n(A)=4!.6!-6.3!.5!=12960$.

$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$.

(Điểm: 0,5 + 0,5)