Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam, tổng cộng $5+6=11$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật nên số cách chọn là $C_{11}^1=11$ cách. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 209, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam, tổng cộng $5+6=11$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật có số cách là $C(11,1)=11$ cách. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 132, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 25 nam + 16 nữ = 41 học sinh.
a) Chọn 3 học sinh bất kỳ (không phân biệt vai trò) là tổ hợp: $C_{41}^3$ cách → Đúng.
b) Chọn 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau (lớp trưởng, bí thư, lớp phó văn nghệ) là chỉnh hợp: $A_{41}^3$ cách → Đúng.
c) Xác suất chọn 4 học sinh có đúng 2 nam: $P=\frac{C_{25}^2{C}_{16}^2}{C_{41}^4}=\frac{300\cdot 120}{101270}=\frac{36000}{101270}\approx 0,3556\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
d) Xác suất chọn 3 học sinh có cả nam và nữ $=1-P(\text{3 nam})-P(\text{3 nữ})=1-\frac{C_{25}^3+C_{16}^3}{C_{41}^3}=1-\frac{2300+560}{10660}=\frac{7800}{10660}=\frac{30}{41}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh bất kỳ từ 41 học sinh, không phân biệt thứ tự: $C_{41}^3$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn và phân công 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau: $A_{41}^3$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_{25}^2{C}_{16}^2}{C_{41}^4}=\frac{36000}{101270}\approx 0,3556\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{25}^3+C_{16}^3}{C_{41}^3}=1-\frac{2860}{10660}=\frac{30}{41}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi cách chọn 3 điểm trong 6 điểm cho đúng một tam giác. Số tam giác là $C_6^3=\frac{6!}{3!3!}=20$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 132: C).

(AI giải đề cho tôi)
Minh cần chọn 4 bạn từ 7 người bạn, thứ tự không quan trọng nên số cách là tổ hợp: $C_7^4=\frac{7!}{4!3!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 0102, Câu 12: D).

Đáp án chính thức (bảng đáp án, mã đề 0102, Phần II, Câu 2): Đ S S Đ, tức a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 học sinh từ 3 khối (3 lớp 10, 4 lớp 11, 5 lớp 12) sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. Vì chọn 4 người từ 3 khối nên có đúng một khối đóng góp 2 người, hai khối còn lại mỗi khối 1 người. Các trường hợp:
- 2 khối 10, 1 khối 11, 1 khối 12: $C_3^2\cdot C_4^1\cdot C_5^1=3\cdot 4\cdot 5=60$.
- 1 khối 10, 2 khối 11, 1 khối 12: $C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_5^1=3\cdot 6\cdot 5=90$.
- 1 khối 10, 1 khối 11, 2 khối 12: $C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_5^2=3\cdot 4\cdot 10=120$.
Tổng: $60+90+120=270$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (270).

(AI giải đề cho tôi)
Chia 9 người thành 3 nhóm có nhiệm vụ khác nhau (nhóm 1: 3 người, nhóm 2: 4 người, nhóm 3: 2 người). Số cách phân công là: $$\frac{9!}{3!4!2!}=\frac{362880}{6\cdot 24\cdot 2}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Cách tính khác: chọn 3 người cho nhóm 1: $C_9^3=84$; chọn 4 người cho nhóm 2 từ 6 người còn lại: $C_6^4=15$; 2 người cuối vào nhóm 3. Tổng: $84\cdot 15=1260$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1260).

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 thẻ $1,2,3,4,5,6,7,8$. Xét số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 là $\{3,6\}$ (2 thẻ), nhóm dư 1 là $\{1,4,7\}$ (3 thẻ), nhóm dư 2 là $\{2,5,8\}$ (3 thẻ). Ba chữ số có tổng chia hết cho 3 khi: (1) cả ba cùng dư 1: $C(3,3)=1$ bộ; (2) cả ba cùng dư 2: $C(3,3)=1$ bộ; (3) cả ba cùng dư 0: $C(2,3)=0$ bộ; (4) lấy một thẻ từ mỗi nhóm: $2\cdot 3\cdot 3=18$ bộ. Vậy có 20 bộ ba chữ số, mỗi bộ xếp thành $3!=6$ số ba chữ số khác nhau. Kết quả: $20\cdot 6=120$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 6: 120).

(AI giải đề cho tôi)
Đội đôi nam nữ gồm 1 nam và 1 nữ. Chọn 1 trong 10 tay vợt nam và 1 trong 8 tay vợt nữ, theo quy tắc nhân số cách là $10\times 8=80$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 cuốn truyện ngắn từ 7 cuốn: $C_7^2=21$ cách. Chọn 2 cuốn tiểu thuyết từ 10 cuốn: $C_{10}^2=45$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 cuốn gồm 2 truyện ngắn và 2 tiểu thuyết là $21\times 45=945$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Minh cần chọn 4 bạn trong 7 bạn (không kể thứ tự), vì Minh có 5 vé nên đủ cho 4 bạn và Minh. Số cách là $C_7^4=\frac{7!}{4!3!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Phong cần chọn 2 cuốn truyện ngắn từ 7 cuốn và 2 cuốn tiểu thuyết từ 10 cuốn. Số cách chọn 2 cuốn truyện ngắn là $C_7^2=\frac{7\cdot 6}{2}=21$. Số cách chọn 2 cuốn tiểu thuyết là $C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45$. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 4 cuốn thỏa mãn là $21\cdot 45=945$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sắp xếp tùy ý 8 học sinh: $8!=40320$ cách → Đúng. b) An và Bình cạnh nhau: gộp thành một khối, có $2!$ cách đổi chỗ trong khối và sắp khối với 6 người còn lại: $2\cdot 7!=10080$ cách $\ne 5040$ → Sai. c) Nam nữ xen kẽ: 2 cách chọn kiểu (N-Nam-N... hoặc Nam-N-Nam...), $4!\cdot 4!$ cách xếp, tổng $2\cdot 4!\cdot 4!=1152$ → Đúng. d) Giữa An và Bình đúng một học sinh: chọn vị trí $(i,i+2)$ có 6 cách, 2 cách đổi chỗ An-Bình, 6 người còn lại xếp $6!$ cách: $6\cdot 2\cdot 6!=8640$ cách $\ne 4320$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức Đ S Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$8!=40320$ cách sắp xếp tùy ý.
b) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình cạnh nhau: $2\cdot 7!=10080$ cách, không phải 5040.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ nam nữ: $2\cdot 4!\cdot 4!=1152$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giữa An và Bình đúng một người: $6\cdot 2\cdot 6!=8640$ cách, không phải 4320.

(AI giải đề cho tôi)
Có 8 thẻ mang chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (mỗi chữ số một thẻ, các chữ số đôi một khác nhau). Một số có ba chữ số chia hết cho 3 khi tổng ba chữ số chia hết cho 3. Phân loại theo số dư mod 3: dư 0: $\{3,6\}$ (2 thẻ); dư 1: $\{1,4,7\}$ (3 thẻ); dư 2: $\{2,5,8\}$ (3 thẻ). Ba chữ số có tổng chia hết cho 3 khi bộ dư là: $(0,1,2)$: chọn 1 thẻ từ mỗi nhóm: $2\cdot 3\cdot 3=18$ cách; $(1,1,1)$: $C_3^3=1$ cách; $(2,2,2)$: $C_3^3=1$ cách. Vậy có $18+1+1=20$ cách chọn bộ ba chữ số. Mỗi bộ ba xếp thành $3!=6$ số có ba chữ số khác nhau. Kết quả: $20\cdot 6=120$ số, khớp với đáp án nguồn 120.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 3 HS khối 10, 4 HS khối 11, 5 HS khối 12. Chọn 4 HS sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS, nên phân bố số người theo các trường hợp:
- Trường hợp (2,1,1): chọn 2 HS khối 10, 1 HS khối 11, 1 HS khối 12: $C_3^2\cdot C_4^1\cdot C_5^1=3\cdot 4\cdot 5=60$.
- Trường hợp (1,2,1): $C_3^1\cdot C_4^2\cdot C_5^1=3\cdot 6\cdot 5=90$.
- Trường hợp (1,1,2): $C_3^1\cdot C_4^1\cdot C_5^2=3\cdot 4\cdot 10=120$.
Tổng số cách: $60+90+120=270$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (270).

(AI giải đề cho tôi)
Chia 9 người thành 3 nhóm có nhiệm vụ khác nhau (nhóm 1: 3 người, nhóm 2: 4 người, nhóm 3: 2 người). Vì các nhóm có nhiệm vụ phân biệt nên số cách phân công là: $$\frac{9!}{3!4!2!}=\frac{362880}{6\cdot 24\cdot 2}=\frac{362880}{288}=1260.$$ Cách khác: chọn 3 người cho nhóm 1: $C_9^3=84$; chọn 4 người cho nhóm 2 từ 6 người còn lại: $C_6^4=15$; 2 người còn lại vào nhóm 3. Tổng: $84\cdot 15=1260$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1260.

(AI giải đề cho tôi)
Một đôi nam nữ gồm 1 tay vợt nam và 1 tay vợt nữ. Số cách chọn 1 nam trong 10 nam là 10 cách; với mỗi cách chọn nam, có 8 cách chọn 1 nữ trong 8 nữ. Theo quy tắc nhân, số cách lập đôi là $10\times 8=80$. Kết quả trùng với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 9, mã đề 0101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 bạn (đối tượng khác nhau) vào 6 chỗ ngồi (vị trí khác nhau), mỗi bạn ngồi đúng một chỗ, không có bạn nào ngồi hai chỗ: đây là chỉnh hợp chập 4 của 6, số cách là $A_6^4=\frac{6!}{2!}=360$. Đáp án khớp với mã đề 1008, câu 6 là D.