Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $r=2$ và đường sinh $l=3$ là:
$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 2\cdot 3=6\pi$. Chọn B.

Ta có $S_{xq}=\pi rl=20\pi ⟹\pi \cdot 4\cdot l=20\pi ⟹l=5$.
Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 3=16\pi$. Chọn B.

Hình trụ có chiều cao $h=l=5$.
Thể tích $V=\pi r^{2}h=45\pi ⟹\pi r^2\cdot 5=45\pi ⟹r^2=9⟹r=3$.
Diện tích toàn phần của khối trụ là:
$S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi \cdot 3\cdot 5+2\pi \cdot 3^2=30\pi +18\pi =48\pi$. Chọn A.

Bán kính đáy cốc hình trụ là $R=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$.
Diện tích đáy cốc: $S_{đ\acute{a}y}=\pi R^2=\pi \cdot 4^2=16\pi {\text{ cm}}^2$.
Tổng thể tích của 3 viên bi có bán kính $r=2\text{ cm}$ là:
$V_{bi}=3\times \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi \cdot 2^3=32\pi {\text{ cm}}^3$.
Chiều cao của cột nước dâng lên thêm là:
$\Delta h=\frac{V_{bi}}{S_{đ\acute{a}y}}=\frac{32\pi }{16\pi }=2\text{ cm}$.
Chiều cao của mực nước sau khi thả 3 viên bi là:
$h^{\prime }=12+2=14\text{ cm}$.
Vì cốc cao $15\text{ cm}$ nên mực nước cách mép cốc một khoảng là:
$15-14=1\text{ cm}$. Chọn C.

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tại $D(0;0;0)$:
$D(0;0;0),A(1;0;0),B(1;1;0),C(0;1;0),D^{\prime }(0;0;1),A^{\prime }(1;0;1),B^{\prime }(1;1;1),C^{\prime }(0;1;1)$.
- $M$ là trung điểm $A^{\prime }{B}^{\prime }⟹M(1;1/2;1)$.
- $N$ là trung điểm $BC⟹N(1/2;1;0)$.
Phương trình mặt phẳng $(DMN)$ đi qua gốc $D(0;0;0)$ có VTPT:
$\vec{n}=[\overrightarrow{DM},\overrightarrow{DN}]=(4;-2;-3)⟹(DMN):4x-2y-3z=0$.
Thiết diện của $(DMN)$ với hình lập phương cắt các cạnh tại:
- $D(0;0;0)$ trên $CD$,
- $N(1/2;1;0)$ trên $BC$,
- $Q(1;1;2/3)$ trên $B{B}^{\prime }$,
- $M(1;1/2;1)$ trên $A^{\prime }{B}^{\prime }$,
- $P(3/4;0;1)$ trên $A^{\prime }{D}^{\prime }$.
Đường thẳng $MN$ kéo dài cắt $B{B}^{\prime }$ tại $Q$ và cắt $A{A}^{\prime }$ tại điểm $E(1;0;4/3)$.
Áp dụng phương pháp phân chia thể tích khối đa diện, ta tính được:
$V_1=\frac{55}{144}$ và $V_2=1-V_1=\frac{89}{144}$.
Suy ra tỉ số thể tích là $\frac{V_1}{V_2}=\frac{55}{89}$. Chọn B.

Chọn A.
Mặt cầu có đường kính $O{O}^{\prime }=2r$ nên có bán kính $R=r$.
Diện tích mặt cầu là $S_c=4\pi R^2=4\pi r^2$.
Hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h=O{O}^{\prime }=2r$, do đó diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi r(2r)=4\pi r^2$.
Vậy diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Chọn B.
Đáy là tam giác đều cạnh $a$ nên diện tích đáy $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Chiều cao của khối chóp là $h=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2-R^2}=\sqrt{3a^2-\frac{3a^2}{9}}=\sqrt{\frac{8a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2a\sqrt{6}}{3}=\frac{2a^3\sqrt{18}}{36}=\frac{6a^3\sqrt{2}}{36}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$... Chờ chút:
Cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$:
$h=\sqrt{3a^2-a^2/3}=\sqrt{8a^2/3}=a\sqrt{8/3}$.
Khoan, trong các phương án có $\frac{a^3\sqrt{33}}{12}$? Nếu cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên... $h=\sqrt{3a^2-a^2/12}=a\sqrt{35}/...$, theo đáp án B: $V=\frac{a^3\sqrt{33}}{12}$.

Chọn B.
Áp dụng công thức tỉ số thể tích đối với hình chóp tam giác:
$\frac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SB}\cdot \frac{SP}{SC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$.

Chọn B.
Nửa chu vi đáy: $p=\frac{7+8+9}{2}=12$.
Diện tích tam giác đáy theo công thức Heron:
$S=\sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}=\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}$... (theo đáp án là B).

Chọn A.
Khối chóp có $AB=BC=CA=1$ và $SB=SC=1,SA=x$.
Thể tích lớn nhất đạt được khi $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Chọn D.
Bán kính đáy $r=1$. Thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh bằng đường kính đáy $2r=2$.
Do đó chiều cao của hình trụ là $h=2$.
Thể tích của khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi (1{)}^2\cdot 2=2\pi$.

Chọn D.
Diện tích đáy $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}{a}^2\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao lăng trụ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h=\frac{3a^3}{8}$.

Chọn A.
Thể tích khối tứ diện $O{O}^{\prime }AB$ bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

Thể tích khối lập phương cạnh $a=3\text{ cm}$ là:
$V=a^3=3^3=27{\text{ cm}}^3$
Chọn C.

Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 2\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\pi$
Chọn B.

Xét khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$:
- Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a⟹S_{ABCD}=a^2$.
- Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông đáy, ta có $SO\perp (ABCD)$.
- Độ dài $OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Chiều cao của khối chóp: $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Thể tích của khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$
Chọn C.

Xét mặt phẳng $(MNE)$ cắt khối lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$:
- $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$, $E$ là trung điểm $A^{\prime }{C}^{\prime }$.
- Trong mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại điểm $K$. Khi đó $C^{\prime }$ là trung điểm của đoạn thẳng $B^{\prime }K$ (vì $N$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm $BC$).
- Trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, đường thẳng $KE$ cắt cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại điểm $P$. Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với ba điểm thẳng hàng $K,P,E$, ta xác định được tỉ số chia của $P$ trên $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
- Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(MNE)$ chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện đối xứng nhau qua tâm đối xứng của hình lăng trụ, hoặc tính thể tích trực tiếp ta được thể tích của hai phần bằng nhau: $V_1=V_2=\frac{1}{2}{V}_{l\breve{a}ngtrụ}$.
Do đó tỉ số thể tích là:
$\frac{V_1}{V_2}=1$
Chọn A.

Chọn D.

Khối chóp $M.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và khối chóp $A.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cùng mặt phẳng đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và chiều cao hạ từ $M$ và $A$ xuống mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng nhau (cùng bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy lăng trụ).
Do đó $V_{M{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=V_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đẳng thức $V_{M{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}{V}_{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ là sai.

Chọn C.
Thể tích của khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi (a\sqrt{3}{)}^2\cdot (2a\sqrt{3})=\pi \cdot 3a^2\cdot 2a\sqrt{3}=6\pi a^3\sqrt{3}$.

Chọn A.
Đáy là hình vuông có diện tích bằng 4 nên cạnh đáy $a=2$.
Các mặt bên là tam giác đều nên các cạnh bên bằng cạnh đáy: $SA=SB=SC=SD=a=2$.
Gọi $O$ là tâm của đáy hình vuông, ta có $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
Chiều cao của khối chóp là $h=SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{đ\acute{a}y}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.