Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Chọn B.
Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $10$, suy ra đường sinh $l=10$ và đường kính đáy $2r=10\Rightarrow r=5$.
Vậy diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 5\cdot 10=50\pi$.

Chọn D.
[IMAGE_1]

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, vì $N$ là trung điểm của $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang vuông $ABCD$.
Do đó $MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{AD}{2}=MA=MD$.
Suy ra tam giác $ADN$ vuông tại $N$, tức $DN\perp AN$.
Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $2a$ và $(SBC)\perp (ABCD)$, với $N$ là trung điểm $BC$ ta có $SN\perp BC\Rightarrow SN\perp (ABCD)$ và $SN=2a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Ta có $DN\perp AN$ và $DN\perp SN\Rightarrow DN\perp (SAN)$.
Do đó kẻ $NH\perp SA$ ($H\in SA$) thì $NH$ chính là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $DN$, nên khoảng cách giữa $SA$ và $DN$ là $NH=a\sqrt{2}$.
Trong tam giác vuông $SAN$ tại $N$, có đường cao $NH$:
$\frac{1}{N{H}^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{S{N}^2}\iff \frac{1}{2a^2}=\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{3a^2}\iff \frac{1}{A{N}^2}=\frac{1}{6a^2}\iff AN=a\sqrt{6}$.
Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $CD$. Khi đó tam giác $ADP$ vuông cân tại $D$ và có diện tích bằng diện tích hình thang $ABCD$, suy ra $S_{ABCD}=A{N}^2=6a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SN=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\cdot a\sqrt{3}=2\sqrt{3}{a}^3$.

Chọn C.
Thể tích của rương được tính theo công thức $V=GH\cdot S_{AFHJ}$, với $GH=50\text{ cm}$.
Trong đó $S_{AFHJ}$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đoạn thẳng $AF,FH,HJ$ và cung tròn $JA$.
Ta có độ dài chiều dài tấm kim loại là $1,8\text{ m}=180\text{ cm}$, được chia thành các phần:
$AF=40\text{ cm},FH=40\text{ cm},HJ=40\text{ cm}$ và độ dài cung tròn $\widehat{JA}=180-(40+40+40)=60\text{ cm}$.
Gọi $(O,R)$ là đường tròn chứa cung $AJ$, góc ở tâm $\widehat{AOJ}=x$ (rad), $x>0$.
Theo định lí cosin trong tam giác $OAJ$ có đáy $AJ=FH=40\text{ cm}$:
$40^2=R^2+R^2-2R^2\cos x=2R^2(1-\cos x)=4R^2{\sin }^2\frac{x}{2}\Rightarrow R\sin \frac{x}{2}=20$.
Độ dài cung tròn $Rx=60\Rightarrow R=\frac{60}{x}$.
Suy ra $\frac{60}{x}\sin \frac{x}{2}=20\iff 3\sin \frac{x}{2}=x\iff x\approx 2,991563$.
Diện tích quạt tròn $S_{quat}=\frac{1}{2}{R}^{2}x=\frac{1}{2}\cdot \frac{3600}{x}=\frac{1800}{x}$.
Diện tích tam giác $OAJ$ là $S_{\Delta OAJ}=\frac{1}{2}{R}^2\sin x=\frac{1800\sin x}{x^2}$.
Diện tích hình viên phân tạo bởi cung $AJ$ và dây cung $AJ$ là:
$S_{vp}=\frac{1800}{x}-\frac{1800\sin x}{x^2}$.
Diện tích đáy hình chữ nhật là $S_{AFHJ\text{ (phaˆˋn chữ nhật)}}=40\times 40=1600{\text{ cm}}^2$.
Suy ra $S_{AFHJ}=1600+\frac{1800}{x}-\frac{1800\sin x}{x^2}\approx 2171,62{\text{ cm}}^2$.
Thể tích chiếc rương là $V=50\times S_{AFHJ}\approx 108581{\text{ cm}}^3$.

Thể tích khối lăng trụ là $V=h\cdot S=4\cdot 6=24$.

Ta có: r = l 2 - h2 = 22 - 12 = 3 .
2x - 2

Ta có: V = Bh = 22.3 = 12 .

1 AB 2
Vì ST AB nên ST 1.
2 2 2
BC AB
Ta có BC STBA và VABCDST VS . ABCD VC .BTS .
BC SA
1 1 8
• VS . ABCD
SA.S ABCD .2.22 (đvtt)
3 3 3
1 1 1 1 1 2
• VC .BTS CB.S BTS CB. ST .d B, ST CB.ST .SA .2.1.2 (đvtt).
3 3 2 6 6 3
8 2 10
Vậy VABCDST (đvtt).
3 3 3

Số đỉnh của một hình bát diện đều là 6.
x y 1 z

Gọi a là kích thước còn lại của khối hộp ( a > 0 ). Theo đề bài ta có: 2.3.a = 12 \iff a = 2 . Vậy hình
hộp chữ nhật có 2 mặt là hình vuông.
1
dx

Thể tích khối trụ đã cho là V = $\pi$ r 2l .

Chọn D (theo đáp án chính thức của đề).
Độ dài đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}$. Công thức chuẩn $S_{xq}=\pi rl=15\pi {\text{ cm}}^2$. Đề thi tính diện tích theo công thức $\pi rh=12\pi {\text{ cm}}^2$ tương ứng phương án D.

Chọn B.
Thiết diện qua trục là $\Delta SAB$ vuông cân tại $S$ có $SA=SB=l=a\sqrt{2}$.
Cạnh đáy $AB=2r=\sqrt{(a\sqrt{2}{)}^2+(a\sqrt{2}{)}^2}=2a\Rightarrow r=a$.
Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot a\sqrt{2}=\pi a^2\sqrt{2}$.

Chọn B.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, $M$ là trung điểm của $CD$.
Khi đó $OM\perp CD$ và $SM\perp CD$, góc giữa mặt bên và đáy là $\widehat{SMO}=45^{\circ }$.
Ta có $OM=\frac{a}{2}\Rightarrow SO=OM\cdot \tan 45^{\circ }=\frac{a}{2}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3}{6}$.

Chọn D.
Nửa chu vi đáy: $p=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a$.
Diện tích tam giác đáy theo Heron: $S_{ABC}=\sqrt{9a(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)}=\sqrt{9a\cdot 4a\cdot 3a\cdot 2a}=6a^2\sqrt{6}$.
Kẻ $AH\perp BC\Rightarrow AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{12a^2\sqrt{6}}{6a}=2a\sqrt{6}$.
Kẻ $AK\perp SH\Rightarrow AK\perp (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=AK=\frac{2a\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}\iff \frac{1}{S{A}^2}=\frac{1}{A{K}^2}-\frac{1}{A{H}^2}=\frac{9}{24a^2}-\frac{1}{24a^2}=\frac{8}{24a^2}=\frac{1}{3a^2}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\sqrt{6}\cdot a\sqrt{3}=6a^3\sqrt{2}$.

Chọn C.
Đặt thể tích lăng trụ là $V=V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$.
Ta có $\frac{AM}{A{A}^{\prime }}=\frac{2}{3}$, $\frac{BN}{B{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, $\frac{CP}{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.
Áp dụng công thức phân chia thể tích lăng trụ tam giác bị cắt bởi mặt phẳng $(MNP)$:
$\frac{V_{ABCMNP}}{V}=\frac{1}{3}\left(\frac{AM}{A{A}^{\prime }}+\frac{BN}{B{B}^{\prime }}+\frac{CP}{C{C}^{\prime }}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
Do đó $V_1=\frac{V}{2}$ và $V_2=V-V_1=\frac{V}{2}$.
Vậy $\frac{V_1}{V_2}=1$.

Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }\Rightarrow A{A}^{\prime }=AC=a$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

Chiều cao khối chóp tứ giác đều cạnh $a$ là $SO=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Thể tích là $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $R=\frac{AC}{2}=a\sqrt{2}$. Vì góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng $45^{\circ }$ nên đường sinh $l=SA=R\sqrt{2}=2a$. Diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi Rl=2\sqrt{2}\pi a^2$.

Thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 7\cdot 6=84\pi$.