Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại: y=(2x²+3x−1)/(x+2)=2x−1+1/(x+2) vì (2x−1)(x+2)=2x²+3x−2. a) Đúng: mẫu khác 0 nên D=ℝ\{−2}. b) Sai: tiệm cận đứng là x=−2 (đường thẳng đứng), không phải y=−2. c) Sai: khi x→±∞, y→2x−1, nên tiệm cận xiên là y=2x−1, không phải y=2x. d) Sai: đường y=2x−1 cắt Oy tại (0;−1) và Ox tại (1/2;0), diện tích tam giác OAB = ½·(1/2)·1 = 1/4 ≠ 9/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi x+2≠0, tức D=ℝ\{−2}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng đứng x=−2, không phải y=−2.
c) (AI giải đề cho tôi)
y=2x−1+1/(x+2), nên tiệm cận xiên là y=2x−1, không phải y=2x.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên y=2x−1 cắt Oy tại (0;−1), Ox tại (1/2;0); diện tích tam giác OAB = ½·(1/2)·1 = 1/4 ≠ 9/4.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-x^2-3x+5}{x+3}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Phép chia: $-x^2-3x+5=(x+3)(-x)+5$, nên $y=-x+\frac{5}{x+3}$. a) Tại $x=-3$ mẫu bằng 0, tử $=-9+9+5=5\ne 0$ nên tiệm cận đứng là $x=-3$: Đúng. b) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(-x)\right)=\lim \frac{5}{x+3}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=-x$: Đúng. c) Tính trực tiếp: $y^{\prime }=\frac{(-2x-3)(x+3)-(-x^2-3x+5)}{(x+3{)}^2}=\frac{-2x^2-9x-9+x^2+3x-5}{(x+3{)}^2}=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}\ne \frac{-x^2+6x+4}{(x+3{)}^2}$: Sai. d) $y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$, $\Delta =36-56=-20<0$ nên vô nghiệm: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu triệt tiêu tại $x=-3$, tử tại đó bằng 5 khác 0, nên TCĐ là $x=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x+\frac{5}{x+3}$, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }(y+x)=0$ nên TCX là $y=-x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-x^2-6x-14}{(x+3{)}^2}$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0\iff x^2+6x+14=0$ có $\Delta =-20<0$, vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-7x-24}{x+3}$. Tại $x=-3$: tử số $=9+21-24=6\ne 0$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-3$. Chia đa thức: $x^2-7x-24=(x+3)(x-10)+6$, nên $y=x-10+\frac{6}{x+3}$, suy ra tiệm cận xiên $y=x-10$. Giao điểm hai tiệm cận: $x=-3$, $y=-3-10=-13$, tức $I(-3;-13)$. Vậy $5m+6n=5(-3)+6(-13)=-15-78=-93$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ (hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ khi $x$ đi từ $1$ đến $+\infty$). Vậy ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=a$ khi ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$. Vì ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\pm \infty$ và ${\lim }_{x\to 2}f(x)=\pm \infty$ nên đồ thị có hai tiệm cận đứng là $x=-2$ và $x=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to -1$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to -1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-1$ (một tiệm cận ngang). Tại $x=-2$, $f(x)\to -\infty$ (bên trái) và $f(x)\to +\infty$ (bên phải) nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tổng số tiệm cận: $1$ tiệm cận đứng $x=-2$ cộng $1$ tiệm cận ngang $y=-1$ là $2$... tuy nhiên xét cả hai phía: tiệm cận ngang $y=-1$ chỉ tính một đường thẳng, tiệm cận đứng $x=-2$ một đường thẳng, tổng cộng $2$ tiệm cận. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của $y=2x+1-\frac{5}{x+4}$ khi $x\to \pm \infty$ là $y=2x+1$. Cắt trục hoành: $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$, nên điểm là $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $y=\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x+2}{x-1}$ với điều kiện $x\ne \pm 1$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$. a) Tại $x=1$: mẫu của phân thức rút gọn bằng 0, tử khác 0, nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x+2}{x-1}=\pm \infty$; đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng. Đúng. b) Bậc tử bằng bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$; đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang. Đúng. c) Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+2}{x-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$ (hữu hạn), nên $x=-1$ chỉ là điểm đứt (đồ thị có lỗ), không phải tiệm cận đứng. Vậy đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng ($x=1$) và 1 tiệm cận ngang ($y=1$). Sai. d) Đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận: $x=1$ và $y=1$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi rút gọn $y=\frac{x+2}{x-1}$, tại $x=1$ hàm số tiến ra vô cực nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-1$ hàm số có giới hạn hữu hạn $-\frac{1}{2}$ (điểm đứt), nên chỉ có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 đường tiệm cận: đứng $x=1$ và ngang $y=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{(2m-1)x+3}{x-2024}$ có tiệm cận ngang $y=2m-1$ (tỉ số của hệ số cao nhất của tử và mẫu). Để tiệm cận ngang đi qua điểm $M(1;2)$ thì $2m-1=2$, suy ra $m=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-3x+2}{x+4}=x-7+\frac{30}{x+4}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{30}{x+4}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-7$, tức $a=1$, $b=-7$. Vậy $2a+3b=2(1)+3(-7)=2-21=-19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x^2-1}$ xác định khi $x\ne \pm 1$. Phân tích: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+3)}{(x-1)(x+1)}={\lim }_{x\to 1}\frac{x+3}{x+1}=2$, nên $x=1$ chỉ là điểm khuyết (không phải tiệm cận đứng). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{x+3}{x+1}$ không tồn tại (tiệm cận vô cực), nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng $1$ tiệm cận đứng, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{-x^2-2x}{x+1}=\frac{(-x-1)(x+1)+1}{x+1}=-x-1+\frac{1}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-x-1$, tức $a=-1$, $b=-1$. Do đó $a^2+2b=1+2(-1)=-1$.

Điều kiện xác định: $3x-5\ge 0⟺x\ge \frac{5}{3}$.
Giải phương trình mẫu số: $2x^2-5x-7=0⟺(x+1)(2x-7)=0⟺x=-1$ hoặc $x=\frac{7}{2}$.
So sánh với điều kiện $x\ge \frac{5}{3}$:
- $x=-1<\frac{5}{3}$ (loại, không thuộc tập xác định).
- $x=\frac{7}{2}>\frac{5}{3}$ (thỏa mãn và tử số $\sqrt{3(7/2)-5}=\sqrt{11/2}\ne 0$).
Do đó đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x=\frac{7}{2}$. Chọn D.

Với $b\ne 0$ và $-2a\ne b$, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=\frac{2}{b}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}$. Theo đề bài, tiệm cận đứng là $x=2⟹\frac{2}{b}=2⟺b=1$. Tiệm cận ngang là $y=3⟹\frac{a}{b}=3⟺a=3b=3$. Vậy $a+b=3+1=4$.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1;2\}$. Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận ngang $y=1$. Lại có ${\lim }_{x\to 1}y={\lim }_{x\to 1}\frac{x+1}{x-2}=-2$, còn ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=+\infty ,{\lim }_{x\to 2^{-}}y=-\infty$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận đứng $x=2$. Tổng số đường tiệm cận là $2$. Chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị, đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(-1;-1)$ nên có phương trình là $y=x$.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-3$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$, nên đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang là $y=-3$ và $y=2$.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$, nên đồ thị hàm số có đúng $1$ đường tiệm cận đứng là $x=1$.

Ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2\Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang.
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2+1=3$.