Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn $f(x)=\frac{4-4x}{-8x-4}=\frac{4(x-1)}{-4(2x+1)}=\frac{x-1}{2x+1}$ (với $x\ne -\frac{1}{2}$).
- TCĐ: mẫu $2x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$, nên phát biểu b) đúng.
- TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\frac{1}{2}$, nên TCN là $y=\frac{1}{2}$, phát biểu d) sai.
- Tâm đối xứng: $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, phát biểu a) đúng.
- Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ và hai trục có cạnh $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{2}$, diện tích $=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}$, phát biểu c) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm bậc nhất trên $\frac{1}{2x+1}$ là giao hai tiệm cận: $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $2x+1=0$ tại $x=-\frac{1}{2}$ và ${\lim }_{x\to -1/2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$, nên TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ và hai trục có diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{8}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-1}{2x+1}=\frac{1}{2}$, nên TCN là $y=\frac{1}{2}$, không phải $y=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-2}\to 0$ nên $f(x)\to 2x-1$. Vậy đồ thị hàm số $f(x)=2x-1+\frac{1}{x-2}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=2x-1$. Kiểm tra: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(2x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-2}=0$. Đáp án A. (Lưu ý $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải xiên.)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$, nên $f(x)=-x-6-\frac{14}{x-3}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$. a) $f(x)=0\iff -x^2-3x+4=0\iff x^2+3x-4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$: hai nghiệm phân biệt khác 3, nên $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → đúng. b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao hai tiệm cận $I(3;-6)$, không phải $(3;-9)$ → sai. c) $x=3$ là tiệm cận đứng vì mẫu số bằng 0 và tử khác 0 tại $x=3$ → đúng. d) Tiệm cận xiên là $y=-x-6$, không phải $y=-x+6$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-x^2-3x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=-4$, hai nghiệm phân biệt, nên $(C)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=-x-6-\frac{14}{x-3}$, tâm đối xứng là giao của $x=3$ và $y=-x-6$, tức $I(3;-6)$, không phải $(3;-9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x-3=0$ tại $x=3$ và tử số $=-14\ne 0$, nên $x=3$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phép chia $-x^2-3x+4=(x-3)(-x-6)-14$ cho tiệm cận xiên $y=-x-6$, không phải $y=-x+6$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-3}$ xác định khi $x\ne 3$. Tại $x=3$, mẫu số bằng 0 và ${\lim }_{x\to 3^{\pm }}\frac{x-1}{x-3}=\pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 7 cho thấy khi $x\to +\infty$, nhánh phải tiến tới đường thẳng $y=1$ (từ dưới), và khi $x\to -\infty$, nhánh trái cũng tiến tới $y=1$ (từ trên). Do đó tiệm cận ngang là $y=1$. Đường $x=-2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$, $\frac{9}{2+x}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }S(x)=200(5-0)=1000$. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1000$, tức $a=1000$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số có giới hạn vô cực (nhánh trái tiến tới $-4$... thực tế bảng cho $y\to -\infty$ khi $x\to 0^{-}$ và $y\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, có đường gấp khúc tại $x=0$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên có tiệm cận ngang $y=2$. Khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ nên đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang; vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ nên đường thẳng $y=-1$ cũng là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang là $y=1$ và $y=-1$ (chú ý tiệm cận ngang là đường thẳng $y=k$, không phải $x=k$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$ (đường màu đỏ trong hình). Đường $y=-1$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, khi $x\to \pm \infty$ thì đồ thị tiến tới đường thẳng $y=1$, nên tiệm cận ngang là $y=1$ (tiệm cận đứng là $x=-2$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên tâm đối xứng của đồ thị là giao của hai tiệm cận: $(-1;2)$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ xác định khi $x\ne 1$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên $x=1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-1}=2$ nên $y=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{1}=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x-2}{x+1}=1$). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x+1+\frac{1}{2-x}$. Khi $x\to \pm \infty$, ta có $\frac{1}{2-x}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(2x+1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{2-x}=0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng $y=2x+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Tại $x=0$, bảng biến thiên có vạch đôi và $y\to -4$ khi $x\to 0^{-}$, $y\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu bằng $-2$ (không phải tiệm cận), và khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có thêm tiệm cận. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. a) Sai: mẫu số bằng 0 khi $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$, không phải $x=3$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$ nên tiệm cận ngang là $y=3$. c) Sai: với trục hoành, $y=0\iff 3x-2=0\iff x=\frac{2}{3}$, giao điểm là $\left(\frac{2}{3};0\right)$, không phải $I(0;2)$. d) Đúng: với trục tung, $x=0\Rightarrow y=\frac{-2}{-1}=2$, giao điểm là $A(0;2)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=1$ (mẫu số bằng 0 tại $x=1$), không phải $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x-2}{x-1}=3$ nên tiệm cận ngang là $y=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao với trục hoành: $3x-2=0\Rightarrow x=\frac{2}{3}$, nên giao điểm là $\left(\frac{2}{3};0\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $y=\frac{-2}{-1}=2$, nên $A(0;2)$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-3x+1}{x+2}=x-5+\frac{11}{x+2}$. (a) Điều kiện $x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$: đúng. (b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu, đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên): sai. (c) Từ phép chia, tiệm cận xiên là $y=x-5$: đúng. (d) Đường $y=x-5$ cắt $Ox$ tại $A(5;0)$ và $Oy$ tại $B(0;-5)$, nên $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=\frac{25}{2}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x+2\ne 0$, tức $x\ne -2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc của tử (2) lớn hơn bậc của mẫu (1), đồ thị không có tiệm cận ngang; nó có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2-3x+1}{x+2}=x-5+\frac{11}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường $y=x-5$ cắt $Ox$ tại $A(5;0)$, cắt $Oy$ tại $B(0;-5)$, nên $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\cdot |5|\cdot |-5|=\frac{25}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{mx-1}{x+m}$ có tiệm cận đứng $x=-m$ (khi $m\ne 0$) và tiệm cận ngang $y=m$. Hai tiệm cận cùng hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật với hai cạnh là $|-m|$ và $|m|$, diện tích $=m^2=4\Rightarrow m=\pm 2$. Với cả $m=2$ và $m=-2$, hàm số đều xác định và có đủ hai tiệm cận (mỗi giá trị cho một cặp tiệm cận khác nhau nên không trùng đồ thị). Vậy $S=\{-2;2\}$ có 2 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{x-4}$ có mẫu bằng 0 tại $x=4$ nên tiệm cận đứng $x=a=4$. Vì bậc tử số bằng bậc mẫu số, tiệm cận ngang là $y=b=\frac{3}{1}=3$. Do đó $C=5a+6b=5\cdot 4+6\cdot 3=20+18=38$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2}{x-3}=x+3+\frac{9}{x-3}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$, tức $a=1$, $b=3$. Do đó $D=a-b^2=1-9=-8$.