Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: mẫu số bằng 0, tử số $2(-1)+1=-1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=-\infty$. Do đó đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra $y=2$ là tiệm cận ngang, không phải đứng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1^{+}}\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{2x+1}{x+1}=+\infty$, nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Ngoài ra ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang. Đáp án khớp với mã đề 1001, câu 5: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(1;2)$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0107, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x^2+x-3}{x+1}=\frac{(x+1)x-3}{x+1}=x-\frac{3}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0107, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (giới hạn bên phải tại $x=-1$ bằng $-2$ hữu hạn, và tại $x=1$ hai giới hạn đều hữu hạn nên không có tiệm cận đứng khác). Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2$, khớp với đáp án A (khóa đề 0107).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ không xác định và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to -1$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Tại $x=1$, $f(1)=4$ hữu hạn nên không có tiệm cận đứng tại đó. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$, khớp đáp án A (đối chiếu bảng đáp án mã đề 0105, Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $P(1;2)$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-3}{x+1}=\frac{x(x+1)-3}{x+1}=x-\frac{3}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+1}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-x\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-3}{x+1}=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ có dấu $\Vert$ (đạo hàm không xác định) và $f$ gián đoạn từ $4$ xuống $1$ nhưng không tiến đến $\pm \infty$, nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Về xa: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty$ (không có tiệm cận ngang); khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$. Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+1=2$, chọn C. Khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 0103: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-3}{x+1}=\frac{x(x+1)-3}{x+1}=x-\frac{3}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên trong ảnh gốc: trên nhánh $(-\infty ;-1)$, $f(x)$ giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$, nên khi $x\to -1^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$: đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=1$, hàm số gián đoạn nhưng hai giới hạn một bên đều hữu hạn ($4$ và $1$), nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Tại $x=3$, $f(3)=-5$ hữu hạn, không phải tiệm cận. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang; khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$, chọn đáp án D (khớp đáp án nguồn, mã đề 0101 câu 7 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-3}{x+1}=\frac{x(x+1)-3}{x+1}=x-\frac{3}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3}{x+1}\to 0$ nên $y\to x$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$, khớp với đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 9, mã đề 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1\Rightarrow -c=1\Rightarrow c=-1$; tiệm cận ngang $y=2\Rightarrow a=2$. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$: $f(0)=\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=-1$. Vậy $f(x)=\frac{2x-1}{x-1}$ (kiểm tra: $f(x)-2=\frac{1}{x-1}$, nhánh trái nằm dưới $2$ và nghịch biến, cắt trục hoành tại $x=\frac{1}{2}$, khớp đồ thị).

a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-1)-(2x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ → Đúng.

b) Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến → Sai.

c) Tiệm cận đứng là $x=1$ và tiệm cận ngang là $y=2$; phát biểu đảo ngược (gọi $y=1$ là tiệm cận đứng, $x=2$ là tiệm cận ngang) → Sai.

d) $a+b+c=2+(-1)+(-1)=0$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2,b=-1,c=-1$: $f^{\prime }(x)=\frac{ac-b}{(x+c{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)<0$ trên từng khoảng, hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$; phát biểu đã hoán đổi vai trò của hai đường này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a=2,b=-1,c=-1$ nên $a+b+c=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2+3x-4}{x+2}=x+1-\frac{6}{x+2}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, tức $a=1,b=1$. Do đó $a+2b=1+2\cdot 1=3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 3 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{4-x}$ xác định khi $4-x\ne 0\iff x\ne 4$. Tại $x=4$, mẫu số bằng 0 còn tử số $2\cdot 4+3=11\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to 4^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 4^{+}}y=-\infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=4$.

Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+3}{4-x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2+\frac{3}{x}}{\frac{4}{x}-1}=-2$. Vậy tiệm cận ngang là $y=-2$.

Kết hợp: tiệm cận đứng $x=4$ và tiệm cận ngang $y=-2$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 3$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=3$ (chỉ một đường). Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to +\infty$ và $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (không phải $y=2$). Vậy A đúng; B sai (chỉ 1 tiệm cận ngang); C sai (tiệm cận đứng là $x=2$); D sai (tiệm cận ngang phải có dạng $y=\dots$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{1-x}$ xác định khi $1-x\ne 0\iff x\ne 1$. Vì mẫu số triệt tiêu tại $x=1$ và tử số $3(1)+2=5\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$, do đó tiệm cận đứng là $x=1$. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+2}{1-x}=\frac{3}{-1}=-3$, nên tiệm cận ngang là $y=-3$. Vậy đáp án là $x=1;y=-3$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+3x=(x-2)(x+5)+10$, nên $f(x)=x+5+\frac{10}{x-2}$. Tiệm cận xiên là $y=x+5$, tức $a=1$, $b=5$. Vậy $2a-b=2-5=-3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 2: -3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 1$ và khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang là $y=1$ (không phải $y=2$). Tại $x=2$, $f(x)\to +\infty$ khi $x\to 2^{-}$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to 2^{+}$, nên đồ thị có tiệm cận đứng là $x=2$. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+b}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ (khớp đồ thị) và tiệm cận ngang $y=a$. Từ đồ thị, nhánh phải tiến về $y=-1$ khi $x\to +\infty$ nên $a=-1<0$. Tại $x=0$, đồ thị đi qua điểm $(0;-2)$ nên $y(0)=b=-2<0$. Vậy $a<0;b<0$, chọn đáp án B.