Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -2^{+}$ thì $y\to -\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng; khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng; khi $x\to +\infty$ thì $y\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có 3 đường tiệm cận, khớp đáp án C (Mã đề 1204, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=2x-1+\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to (-2{)}^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to (-2{)}^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có 3 đường tiệm cận, khớp đáp án C (Mã đề 1203, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=\frac{3x+1}{x+4}$ là giao hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-4$ và tiệm cận ngang $y=3$, nên $I(-4;3)$. Độ dài $OI=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã 1203: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=2x-1+\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1+2x}{x-1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên có tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ (tỉ số hệ số cao nhất). Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1+2x}{x-1}=2$. Ngoài ra hàm có tiệm cận đứng $x=1$ (không phải tiệm cận ngang). Vậy đường tiệm cận ngang là $y=2$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+c=0\iff c=-1$. Tiệm cận xiên $y=ax+b$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $2$ (đường nét đứt tại $y=2$) nên $b=2$. Kiểm tra: đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $1$, và $f(0)=b+\frac{1}{c}=2+\frac{1}{-1}=1$ ✓ (khớp với hình). Đường thẳng $y=ax+2$ đi lên từ trái sang phải nên $a>0$; theo hình nó cắt trục hoành bên trái gốc $O$ tại $x=-1$, do đó $-\frac{b}{a}=-1\Rightarrow a=2$. Vậy $a=2,b=2,c=-1$, tổng $a+b+c=2+2-1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x^2-2x}{x^2-x-1}$ có bậc tử và bậc mẫu cùng bằng 2, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=3$. Đồ thị có đúng một tiệm cận ngang $y=3$. Vậy số đường tiệm cận ngang là 1, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $2x^2-3x+3=(x-1)(2x-1)+2$, nên $y=\frac{2x^2-3x+3}{x-1}=2x-1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Xét giới hạn tại vô cực: trên khoảng $(-1;2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ (giá trị tại $x=2$), rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$; trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$. Vậy ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$, không tồn tại tiệm cận ngang. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang khi $x\to -\infty$. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang (không phải hai, và tiệm cận ngang có phương trình $y=2$ chứ không phải $x=2$). Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 104 (câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y = x + 1, đồ thị đi qua (0;2) và có điểm cực tiểu (-2;-2). Suy ra hàm số có dạng y = x + 1 + k/(x+1); thay (0;2): 2 = 1 + k nên k = 1, tức y = x + 1 + 1/(x+1). a) y' = 1 - 1/(x+1)^2; trên (-2;0) có (x+1)^2 < 1 nên y' < 0, hàm nghịch biến trên từng khoảng (-2;-1) và (-1;0) nhưng không liên tục tại x = -1 nên không nghịch biến trên khoảng (-2;0) → Sai. b) Tiệm cận xiên y = x + 1 → Đúng. c) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-1;0), không phải (0;-1) → Sai. d) Tiệm cận đứng x = -1 → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 104: SĐSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại x = -1 nên chỉ nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (-1;0), không nghịch biến trên toàn khoảng (-2;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, y = x + 1 + 1/(x+1) nên lim [y - (x+1)] = 0, tiệm cận xiên y = x + 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận xiên y = x + 1, tức I(-1;0), không phải (0;-1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 (thể hiện rõ trên hình vẽ).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải ($x>1$) nằm trên tiệm cận ngang và đi xuống tiệm cận ngang khi $x\to +\infty$, nhánh trái nằm dưới trục hoành. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; với $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, với $x\to +\infty$ thì $y\to 1^{+}$, với $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-1$; B có $y=-2$ (tiệm cận ngang âm); C có $y=1$ nhưng với $x\to 1^{+}$ thì $y\to 0^{+}$ (nhánh phải dưới tiệm cận ngang), không khớp. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 104, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2$ khi $x\to +\infty$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ (không phải $x=2$ như phương án B). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 103, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ $x=-1$, TCX $y=x+1$, cực đại tại $(-2;-2)$, cực tiểu tại $(0;2)$. Cụ thể $y=x+1+\frac{1}{x+1}$ thỏa mãn mọi dữ kiện đồ thị. a) Đúng: tiệm cận xiên là $y=x+1$. b) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$, hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ nhưng không liên tục tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên $(-2;0)$. c) Sai: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$. d) Đúng: tiệm cận đứng $x=-1$. Kết quả khớp đáp án ĐSDS của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng mà hai nhánh tiến tới khi $x\to \pm \infty$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$; hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$ nhưng không liên tục tại $x=-1$, do đó không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: $I(-1;0)$, không phải $(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hai nhánh tiến tới vô cực khi $x\to -1$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ không tồn tại giới hạn hữu hạn, do đó không có thêm tiệm cận ngang nào. Vậy đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là $y=2$. Phương án B sai vì $x=2$ là đường thẳng đứng, không phải tiệm cận ngang. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhánh trái xuống $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, nhánh phải lên $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{+}$), tiệm cận xiên là $y=x+1$ (đường thẳng đi qua các điểm $(-1;0)$ và $(0;1)$, đồ thị tiệm cận theo nó khi $x\to \pm \infty$). Do đó ý a) đúng, ý c) đúng.

Trên khoảng $(-2;0)$, đồ thị có điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ rồi đi lên, tức hàm số đồng biến trên $(-2;0)$, không nghịch biến → ý b) sai.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc một là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: giải $x=-1$, $y=x+1=0$ nên tâm đối xứng là $(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$ → ý d) sai.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$ (đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$), nhánh đồ thị tiệm cận theo nó khi $x\to \pm \infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(-2;-2)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$: khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to +\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận: $x=-1$ và $y=x+1$ cắt nhau tại $(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy đồ thị có đúng một tiệm cận ngang (là $y=2$), khớp với đáp án C (mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số bậc hai trên bậc hai, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}$ (tỉ số hệ số của $x^2$ trên và dưới).
- $y=\frac{2x^2-x+1}{x^2-3}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, có TCN $y=2$.
- $y=\frac{x^2-x+1}{2x^2+x+3}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}\ne 2$, không thỏa.
- $y=\frac{2x^2}{x^2+3x+2}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, có TCN $y=2$.
Vậy có $2$ hàm số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to -1$ nên có tiệm cận ngang $y=-1$. Khi $x\to 1^{-}$, $y\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$, $y\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (hai bên cùng cho một đường tiệm cận đứng). Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$. Đáp án D.