Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Xét Trái Đất trong không gian $Oxyz$, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với $6371\text{ km}$ trong thực tế. Biết rằng nếu điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha }^{\circ }\text{ N};{\beta }^{\circ }\text{ E}(0<\alpha <90,0<\beta <180)$ thì điểm $M$ có tọa độ là $M(\cos {\alpha }^{\circ }\cos {\beta }^{\circ };\cos {\alpha }^{\circ }\sin {\beta }^{\circ };\sin {\alpha }^{\circ })$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $17,0045^{\circ }\text{ N};107,0517^{\circ }\text{ E}$ và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $10,777^{\circ }\text{ N};106,695^{\circ }\text{ E}$ (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $(200;70;118)$. Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $(80;105;113)$?

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2\text{ km}$ về phía Đông và $3\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,75\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía Đông và $2\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu ki lô mét? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*

Một khinh khí cầu ở toạ độ $A(-16;-10;10)$ bắt đầu bay với vectơ vận tốc không đổi $\vec{v}(4;3;-1)$ (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu được đặt ở vị trí gốc toạ độ $O$ kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng $12$ km. Trạm kiểm soát không lưu có thể quan sát được sự di chuyển của khinh khí cầu trong khoảng thời gian bao nhiêu phút?

Hình chỏm cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Một rađa có thể phát hiện các mục tiêu trong khu vực của một hình chỏm cầu với chiều rộng trên mặt đất là một hình tròn với bán kính 450 km và chiều cao 30 km. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng), trục $Oz$ hướng lên cao và gốc tọa độ $O$ trùng với vị trí của rađa (tham khảo hình vẽ bên), mỗi đơn vị trên trục là 1 km. Một tên lửa được phóng lên cao, bắt đầu từ vị trí $A(30;-780;60)$, dự định bay thẳng với vận tốc không đổi 7 km/giây hướng thẳng đến vị trí của rađa. Thời gian dự kiến từ khi tên lửa bị rađa phát hiện đến khi nó bắn trúng rađa là bao nhiêu giây? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Hệ thống phòng không “Vòm sắt” là một trong những hệ thống đánh chặn tầm ngắn hiệu quả nhất thế giới. Để “Vòm sắt” hoạt động được chính xác người ta thiết lập một hệ thống radar phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ (mặt đất thuộc mặt phẳng $(Oxy)$, radar đặt tại gốc tọa độ $O(0;0;0)$, đơn vị đo độ dài trên mỗi trục ứng với 1 km). Một tên lửa bay từ một điểm có tọa độ $A(86;347;8)$ được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng đến điểm mục tiêu có tọa độ $B(10;25;0)$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong không gian $Oxyz$, chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy km, ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Khi bay đến điểm $N$, nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là $Q(a;b;c)$. Tính giá trị biểu thức $S=a-b-2c$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;4;2),B(2;-6;0),C(-4;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MB$ vuông góc với $MC$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Một người nông dân đã sửa lại sân trước nhà để phơi lúa vào mùa gặt. Sân có hình tứ giác $ABCD$ với $AB=700,02\text{ cm},AD=1200,02\text{ cm}$ và vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ $5\text{cm}$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ $8\text{cm}$ để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa hoặc khi rửa sân. Biết rằng trước khi sửa, sân có hình thang $AEFG$ vuông tại $A$ và $E$ với $EF=15\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ). Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0)$. Hãy xác định vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu $\text{cm}$? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5. Anh Tuấn sống và làm việc tại trạm hải đăng cách bờ biển $3\text{ km}$. Hàng tuần anh Tuấn đi xuồng máy vào vị trí gần nhất trên bờ biển là bến Bình để nhận hàng hoá do cơ quan cung cấp. Tuần này, do trục trặc về vận chuyển nên toàn bộ số hàng vẫn đang nằm ở chợ Hoành, bên bờ biển cách bến Bình $11,5\text{ km}$ và sẽ được anh Nam vận chuyển trên con đường dọc bờ biển tới bến Bình bằng xe kéo. Anh Tuấn đã gọi điện thống nhất với anh Nam là họ sẽ gặp nhau ở vị trí nào đó trên bờ biển nối giữa bến Bình và chợ Hoành để hai người có mặt tại đó cùng lúc, không mất thời gian chờ nhau. Hỏi vị trí điểm hẹn hai người dự định gặp nhau cách bến Bình bao nhiêu km, biết rằng vận tốc của anh Nam là $15\text{ km/h}$, vận tốc của anh Tuấn là $10\text{ km/h}$. Giả thiết rằng đường bờ biển từ chợ Hoành đến bến Bình là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng nối từ trạm hải đăng đến bến Bình và anh Tuấn cũng luôn lái xuồng theo đường thẳng từ trạm hải đăng đến điểm hẹn.

Câu 4. Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ vào chiếc cầu (như hình vẽ), với $O$ là điểm nằm trên bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục $Oz$ trùng với cột trụ, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước. Giả sử đoạn cầu nối từ điểm $A$ đến trục $Oz$ song song với trục $Oy$, đoạn cầu này có độ dài bằng $343\text{ m}$ và nằm cách mặt nước $75\text{ m}$ (đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét). Dây cáp $AD$ (xem như một đoạn thẳng) nối điểm $D$ thuộc trục $Oz$ với một điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oyz)$. Biết điểm $D$ là đỉnh cột trụ, cách mặt nước $227\text{ m}$.

[Hình 1]

Câu 5. Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $4\text{ m}$, chiều rộng $3\text{ m}$ và chiều cao $3\text{ m}$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với một góc phòng và mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt sàn (xem hình vẽ), đơn vị đo được lấy theo mét. Trên bức tường thuộc mặt phẳng $Oyz$ có một cột dạng hình hộp chữ nhật nhô ra với chiều dài $0,4\text{ m}$, chiều rộng $0,2\text{ m}$. Bác Nam lắp một bóng đèn trên tường tại vị trí điểm $A\left(1;0;\frac{5}{2}\right)$ và công tắc bóng đèn đặt tại điểm $B\left(\frac{1}{2};4;1\right)$. Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện dọc theo các bức tường (không đi qua trần nhà, sàn nhà) và nối đến bóng đèn. Hỏi bác phải dùng đoạn dây điện có độ dài tối thiểu là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

[Hình 1]