Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ đứng vuông góc với mặt đất với hai điểm $A(2;1;0)$, $B(0;2;0)$ với chiều cao 3 m. Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với 1 m. Một trạm phát sóng với máy phát đặt tại điểm $S$ có tọa độ $(3;3;6)$. Trạm phát sóng phát sóng ra xung quanh tuy nhiên khi gặp bức tường thì bị chặn. Vì vậy sẽ có một vùng sau bức tường nơi mà không bắt được sóng. Một người đi bộ từ vị trí có tọa độ là $(-4;-4;0)$ theo hướng thẳng đến gốc tọa độ với vận tốc 1 m/s. Tính thời gian kể từ lúc bắt đầu di chuyển đến khi người đó bị mất sóng (đơn vị giây, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian $Oxyz$, tỉ lệ dài trên các trục là 10km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục, cho bốn vệ tinh có tọa độ lần lượt là $A(-1;2;-1),B(1;4;0),C(3;0;9),D(7;10;-1)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Các vệ tinh dùng sóng điện từ có tần số 1MHz. Ở một thời điểm cả 4 vệ tinh bắn tín hiệu về $M$ thì sau nhận được tín hiệu trả về ngay sau đó trong những khoảng thời gian là $t_A=0,4ms,t_B=0,2ms,t_c=\frac{2}{3}ms,t_D=0,4ms$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ (Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3.10^{8}m/s$ và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong giờ học môn bóng rổ, một học sinh đang tập ném bóng vào rổ. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho $(Oxy)$ trùng với mặt đất, chân cột bóng rổ là điểm $H$ thuộc tia $Oy$ sao cho $OH=4$ (m). Lúc bắt đầu ném quả bóng thuộc tia $Oz$ ở độ cao 2 (m). Quả bóng được ném bay lên rồi rơi xuống đất tại vị trí $A$ sao cho $AH=3$ (m) và $AH$ vuông góc với $Oy$. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một đường parabol $(P)$ luôn nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất. Sau khi ném được một lúc, khi quả bóng có hoành độ bằng 2 thì cao độ của nó bằng 3,5. Khi quả bóng có độ cao lớn nhất so với mặt đất thì hoành độ của quả bóng bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này. Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này (đơn vị: mét) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Giá trị của $5x+4y$ bằng

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5km về phía nam và 1,5km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3km về phía bắc và 2,5km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40m. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Một cuộc diễn tập phòng không được đặt trong không gian tọa độ $Oxyz$ với 1 đơn vị độ dài trên các hệ trục tính bằng 1 ki-lô-mét trên thực tế. Một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ và tên lửa bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 600 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 1080 km/h và bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(-3;4;0)$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(6;-20;1)$ thì tên lửa khai hỏa, rời bệ phóng và sau đó đã bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người lái bị bắn hạ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục tọa độ Oxyz với gốc tọa độ ở đặt tại một sân bay để xác định tọa độ của sân bay. Biết rằng cao độ của tọa độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 m. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có tọa độ (200;70;118). Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có tọa độ (80;105;113)?

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(20;15;20),B(60;20;15)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O^{\prime }$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I(0;0;9)$ như hình vẽ. Biết điểm $O^{\prime }(0;0;5)$, $A\left(-\sqrt{2};\sqrt{2};5\right)$, điểm $D(a;b;c)$ với $a>0,c>5$ và góc $\widehat{OID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ lần lượt là lực căng của dây $IB,IC,ID,IA$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=50N$ và $\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N$.

Tính khối lượng $m(\text{kg})$ của tấm bảng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (cho gia tốc trọng trường $g=9,8m/s^2$ và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $P=mg$).

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }C{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.
- Flycam E đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;10;20).
- Flycam F đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;19;25).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Trong một cuộc thi thể thao, hai vận động viên Bình và An phải cùng lựa chọn xuất phát từ một vị trí $A$ nào đó trên bờ hồ và đích đến là cùng một vị trí $B$ nào đó trên bờ hồ kia. Bình phải chèo thuyền từ vị trí $A$, chèo qua vị trí cắm cờ cố định $M$, rồi chèo thuyền tiếp về vị trí $B$ $(A,M,B$ thẳng hàng$)$. An phải chạy bộ dọc bờ hồ theo đường gấp khúc $AOB$. Biết rằng, $M$ cách bờ hồ ở vị trí $H$ một khoảng $160(m)$ và cách bờ hồ ở vị trí $K$ một khoảng $40(m)$.

[Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

Hỏi khi quãng đường $Am$ chạy là ngắn nhất, thì Bình phải chèo thuyền một khoảng bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo là kilômét, một rada phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1100;650;14)$ đến điểm $N$ trong 20 phút. Nếu đến $N$ máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là $Q(1500;860;16)$. Biết một khẩu pháo ở tọa độ vị trí điểm $E\left(\frac{1700}{3};370;\frac{34}{3}\right)$ được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 5 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng máy bay tại vị trí $N$. Sau bao nhiêu phút khi máy bay bay từ $M$ thì người điều khiển pháo phải bắn.

Một trạm kiểm soát không lưu X nhận tín hiệu hai máy bay đang di chuyển. Khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ tại trạm kiểm soát, mặt phẳng $(Oxy)$ ứng với mặt đất, trục cao $Oz$ hướng lên trên, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 km, tại một thời điểm, người ta quan sát thấy máy bay thứ nhất đang ở điểm $A(100;150;10)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{u_1}=(3;-4;0)$ với vận tốc không đổi 800 km/h. Cùng thời điểm đó, máy bay thứ hai đang ở điểm $B(-100;100;11)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{u_2}=(4;3;0)$ với vận tốc không đổi 750 km/h. Biết rằng sau $T$ phút kể từ thời điểm quan sát, khoảng cách giữa hai máy bay đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm $T$. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m. Cửa vào lều là hình thang $EFGH$ trong đó $AE=FB$ và $EF=4\text{m}$. Gọi $G,H$ lần lượt là trung điểm của $SE$ và $SF$. Một nguồn sáng đặt cách đỉnh $S$ 1m ở phía dưới. Ánh sáng chiếu ra ngoài qua cửa tạo thành một vùng được chiếu sáng $EF{G}^{\prime }{H}^{\prime }$. Diện tích vùng được chiếu sáng là bao nhiêu ${\text{m}}^2$ (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Câu 2 (5 điểm). Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.

Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đều bằng $6400km$), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình là $x^2+3y^2=17$. Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A\left(2;\frac{16}{\sqrt{3}};8\right)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.