Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

Một chiếc cúp vàng cao 40 cm được trưng bày trong một chiếc lồng kính hình lập phương cạnh 60 cm. Chiếc cúp có trục đối xứng là đoạn thẳng $IK$, trong đó $K$ là đỉnh của chiếc cúp, điểm $I$ được đặt trùng với tâm của hình vuông $MNPQ$ và $IK$ vuông góc với mặt đáy. Một chiếc camera theo dõi được lắp ở vị trí điểm $E$ trên cạnh $AD$ (tham khảo hình minh họa). Khoảng cách nhỏ nhất tính từ đỉnh chiếc cúp tới vị trí lắp camera bằng bao nhiêu cm (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại vị trí của radar và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$. Radar phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;10)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ $A(25;-10;1)$ và bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(-3;-4;0)$ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ $B(30;-25;1,1)$ và bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(-4;3;0)$ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động là 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía Nam, tia $Oy$ hướng về phía Đông và tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách $O$ 25 km về phía Nam và 15 km về phía Tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B(-20;15;0)$.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét) trong một căn phòng hình hộp chữ nhật cao 4m như hình sau. Có một bóng đèn treo đang ở vị trí B. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt sàn $(Oxy)$. Biết độ dài dây treo $AB=1m$, $\left(\vec{j},\overrightarrow{OH}\right)=30^{\circ }$, khoảng cách HK từ H đến trục Oy là 5m. Khi đó tọa độ của bóng đèn B là $B(a,b,c)$. Tính giá trị biểu thức $S=a+b^2+c$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 3 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,3 km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Giả sử mặt đất là một mặt phẳng, hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất ấy bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một người điều khiển flycam để phục vụ một chương trình truyền hình. Người ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$ có hướng trùng với hướng đông, trục $Oz$ vuông góc với mặt đất và hướng lên bầu trời, mỗi đơn vị trên mỗi trục tương ứng với $1(m)$. Đầu tiên flycam ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $100(m)$ về phía nam và $150(m)$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $30(m)$. Để thực hiện nhiệm vụ tiếp theo, người ta điều khiển flycam đến vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $80(m)$ về phía bắc và $120(m)$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $50(m)$. Flycam bay từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ theo một đường thẳng với tốc độ trung bình là $a(m/s)$ trong thời gian 45 giây. Giá trị của $a$ (làm tròn đến hàng phần mười) là bao nhiêu?

Trong đợt mua lũ lịch sử tại miền Trung, hai ngôi làng nằm sâu trong vùng ngập lụt đang bị cô lập hoàn toàn. Đội cứu hộ sử dụng hai chiếc Flycam (máy bay không người lái) để thả nhu yếu phẩm và quan sát mực nước.

- Flycam A đang hoạt động tại vị trí có tọa độ E(0;2;4).
- Flycam B đang hoạt động tại vị trí có tọa độ F(0;11;8).



(Đơn vị đo khoảng cách là km, cao độ so với mực nước biển).

Trục Oy mô phỏng tuyến Quốc lộ 1A – con đường huyết mạch duy nhất lúc này chưa bị ngập sâu và xe chuyên dụng có thể di chuyển được.

Ban chỉ huy cần đặt một Xe Trạm thu phát tín hiệu lưu động $M$ nằm trên Quốc lộ 1A (trục Oy) để điều khiển cả hai Flycam. Gọi $M(0;y;0)$ là điểm sao cho tổng khoảng cách từ xe đến hai Flycam $ME+MF$ là ngắn nhất. Tìm $y$.

Một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng với quãng đường bay thẳng là 605 km. Tuy nhiên vì lí do thời tiết, phi công điều khiển chuyến bay đã chọn hướng bay lệch so với hướng bay thẳng là $10^0$ (tham khảo hình vẽ minh họa ở dưới). Nếu máy bay duy trì tốc độ trung bình là 820 km/h và sau 15 phút, khi thời tiết ổn định thì phi công nên điều khiển máy bay bay thẳng chéo lên một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ để đến được Đà Nẵng như đã dự tính. (Độ dài các quãng đường làm tròn đến hàng phần chục, các góc làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 8 m, rộng 6 m và cao 4 m có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt thứ nhất treo tại vị trí điểm $A$ ở chính giữa bức tường 8 m và cách trần 1 m; chiếc quạt thứ hai treo tại vị trí điểm $B$ ở chính giữa bức tường 6 m và cách trần 1,2 m (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai vị trí treo quạt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trong không gian với một hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị độ lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển từ điểm $A(400;300;6)$ theo hướng $\overline{u}=(120;110;1)$ và vận tốc không đổi $v=900km/h$. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 20 phút là $B(a;b;c)$. Khi đó $a+b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Lúc $7h00^{\prime }$ sáng ngày 11/12/2025, có hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một vị trí trên mặt đất. Đến $8h00^{\prime }$ sáng hôm đó, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách vị trí xuất phát $1km$ về phía Đông và $2km$ về phía Bắc, đồng thời cách mặt đất $0,5km$; chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách vị trí xuất phát $1,5km$ về phía Tây và $1km$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,7km$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại vị trí xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (tham khảo hình vẽ). Lấy đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $km$.
Từ $8h00^{\prime }$ sáng đến $8h20^{\prime }$ sáng hôm đó, khinh khí cầu thứ nhất đi thẳng đều theo hướng Đông với tốc độ $30km/h$ và độ cao không đổi để đến điểm $M$; khinh khí cầu thứ hai chuyển động thẳng đều đến điểm $N$ với tốc độ $45km/h$, biết vectơ $\overrightarrow{BN}$ cùng hướng với vectơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Bỏ qua lực cản của gió, khoảng cách $MN$ bằng bao nhiêu ki-lô-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một phòng học được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật, với chiều dài $8m$, chiều rộng $6m$ và chiều cao $3m$. Hai bạn An và Bình làm nhiệm vụ trực nhật, mang nhện cần quét ở góc ngoài cùng trên trần nhà, An bảo không nên đứng ngay vị trí đó ở nền nhà quét vì sẽ bụi rơi xuống người mình, An lại dỗ bạn Bình 'nếu mình đứng ở giữa nhà quét thì mình phải kéo chổi quét nhà dài ra mấy mét để quét được vị trí mang nhện, biết An cao $1,5m$'. Bình trả lời đúng vị trí đó chổi dài $5m$ cũng không tới. Hỏi Bình đã tính được bao nhiêu? (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Rada của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi $600km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Giả sử có máy bay đang bay tới vị trí $A$ có tọa độ $(185;-275;z)$. Độ cao lớn nhất máy bay có thể đạt mà rada trung tâm kiểm soát không lưu vẫn có thể phát hiện được là bao nhiêu $km$? (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Rađa của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi $400km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Giả sử có máy bay đang bay tới vị trí $A$ có tọa độ $(185;290;z)$. Độ cao lớn nhất máy bay có thể đạt mà rađa trung tâm kiểm soát không lưu vẫn có thể phát hiện được là bao nhiêu $km$? (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng máy bay không người lái để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho những người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc máy bay không người lái làm nhiệm vụ cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc $23km$ và về phía tây $18km$, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam $22km$ và về phía đông $27km$, đồng thời cách mặt đất $3km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai máy bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng xác định được vị trí cần cứu trợ trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến vị trí cần cứu trợ là nhỏ nhất, lúc đó vị trí cần cứu trợ cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét ?

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ cho trước, đơn vị đo lấy kilômét, ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu của Nga di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(500;200;8)$ đến điểm $N(800;300;10)$ trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay sau 5 phút tiếp theo thì tọa độ của máy bay lúc này là $(a;b;c)$. Kết quả của phép tính $\frac{a+b+c}{2025}$ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng bao nhiêu?

Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng máy bay không người lái để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho những người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc máy bay không người lái làm nhiệm vụ cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc $23km$ và về phía tây $18km$, đồng thời cách mặt đất $2km$. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía nam $22km$ và về phía đông $27km$, đồng thời cách mặt đất $3km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ hướng về phía bắc, trục $Oy$ hướng về phía tây và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Sau đúng một giờ bay, hai máy bay đó cùng xác định được vị trí cần cứu trợ trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến vị trí cần cứu trợ là nhỏ nhất, lúc đó vị trí cần cứu trợ cách điểm xuất phát của hai máy bay bao nhiêu kilômét?

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều cao $450cm$. Phần mái nhà dạng hình chóp $S.ABCD$ có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Điểm $S$ được gọi là đỉnh của mái nhà. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là xentimet ). Mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Tâm nền nhà là điểm $H(450;600;0)$. Hỏi đỉnh mái nhà cách mặt đất bao nhiêu mét?.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị độ lấy theo $km$), một Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A(850;770;15)$ đến điểm $B(950;890;19)$ trong 10 phút.

Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 15 phút tiếp theo là điểm $C(x;y;z)$. Khi đó $x+y+z$ bằng bao ?