Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ứng dụng tọa độ (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay giữ nguyên tốc độ và hướng, vectơ chuyển động trong 10 phút tiếp theo bằng vectơ chuyển động trong 10 phút đầu: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Suy ra $D=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Khi đó $x-y+z=1080-600+9=489$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: $O$ ở góc trần nhà, trục $Ox$ dọc chiều dài $7m$, trục $Oy$ dọc chiều rộng $5m$, trục $Oz$ hướng xuống sàn (chiều cao $3,2m$). Đèn treo chính giữa trần nên hình chiếu của $M$ là tâm sàn: $a=\frac{7}{2}=3,5$, $b=\frac{5}{2}=2,5$. Đèn dài $0,9m$ thả từ trần xuống nên điểm thấp nhất cách trần $0,9m$, tức $c=3,2-0,9=2,3$. Vậy $a+b+c=3,5+2,5+2,3=8,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng, trong mỗi 10 phút nó đi được một đoạn dịch chuyển như nhau. Vector dịch chuyển trong 10 phút đầu là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Vậy sau 10 phút tiếp theo, máy bay ở điểm $C$ thỏa $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, tức $C=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Do đó $a+b+c=1080+600+9=1689$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: 1689).

Đáp án: Đ S Đ S.
a) Đúng: Vận tốc gió $10m/s=36km/h$; quãng đường máy bay bay được là $750+36=786km$; do đó tọa độ của máy bay là $(150;1086;9)$.
b) Sai: Máy bay ở tọa độ $(150;300;9)$.
c) Đúng: Dựa vào hình vẽ ta thấy máy bay đang ở độ cao $9km$.
d) Sai: Quãng đường máy bay bay được là $800\cdot \frac{1}{2}=400km$; do đó tọa độ máy bay là $(150;686;9)$.
a) Đúng. Vận tốc gió $10m/s=36km/h$. Quãng đường máy bay bay được là: $750+36=786km$. Do đó tọa độ của máy bay là: $(150;1086;9)$.
b) Sai. Máy bay ở tọa độ $(150;300;9)$.
c) Đúng. Dựa vào hình vẽ ta thấy máy bay đang ở độ cao $9km$.
d) Sai. Quãng đường máy bay bay được là: $800\cdot \frac{1}{2}=400km$. Do đó tọa độ máy bay là $(150;686;9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi, trong 10 phút đi được vectơ $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;9-7)=(140;50;2)$. Sau 5 phút tiếp theo (bằng nửa khoảng thời gian 10 phút), máy bay đi thêm nửa vectơ $\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(70;25;1)$. Suy ra $C=(940+70;550+25;9+1)=(1010;575;10)$. Vậy $x+y+z=1010+575+10=1595$.

(AI giải đề cho tôi)
Khinh khí cầu hiện tại có tọa độ $M(2,5;1,7;0,6)$ (km) vì cách xuất phát 2,5 km về nam (trục $Ox$), 1,7 km về đông (trục $Oy$) và 0,6 km trên mặt đất (trục $Oz$). Khoảng cách từ địa điểm xuất phát $O$ đến $M$ là:
$$OM=\sqrt{2,5^2+1,7^2+0,6^2}=\sqrt{6,25+2,89+0,36}=\sqrt{9,5}\approx 3,0822\approx 3,08\text{km}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Véctor MN = (800-500; 300-200; 10-8) = (300; 100; 2) đi trong 20 phút. Vì vận tốc và hướng không đổi, trong 5 phút tiếp theo máy bay đi thêm 1/4 quãng đường: (75; 25; 0,5). Vị trí mới: (x;y;z) = (800+75; 300+25; 10+0,5) = (875; 325; 10,5). Tổng x + y + 2z = 875 + 325 + 21 = 1221, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: $A(100;150;30)$, $B(-80;-120;50)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}=(-180;-270;20)$, nên $AB=\sqrt{180^2+270^2+20^2}=\sqrt{32400+72900+400}=\sqrt{105700}\approx 325,114$ m. Tốc độ trung bình $a=\frac{AB}{45}\approx \frac{325,114}{45}\approx 7,2248\approx 7,2$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trục $x$ hướng Nam với chỉ số $1,5$, trục $y$ hướng Đông với chỉ số $2,5$, trục $z$ có chỉ số $0,9$. Vậy vị trí flycam lúc 9h30 là $A(1,5;2,5;0,9)$.

a) Độ cao là tọa độ $z=0,9$ km → ĐÚNG.

b) Trời lặng gió, bay hướng Đông (chiều dương $y$) với vận tốc 30 km/h. Trong 5 phút đi được $30\cdot \frac{5}{60}=2,5$ km theo hướng Đông, nên $y=2,5+2,5=5$. Tọa độ $B(1,5;5;0,9)$ → ĐÚNG.

c) Theo hình, tọa độ đúng là $A(1,5;2,5;0,9)$ chứ không phải $A(2,5;1,5;0,9)$ → SAI.

d) Từ $B(1,5;5;0,9)$, flycam bay ngược hướng Đông (hướng Tây) với vận tốc 30 km/h, gió thổi hướng Đông 3 km/h nên vận tốc thực theo hướng Tây là $30-3=27$ km/h. Trong 10 phút $=\frac{1}{6}$ giờ đi được $27\cdot \frac{1}{6}=4,5$ km về hướng Tây: $y=5-4,5=0,5$. Tọa độ lúc 9h45 là $(1,5;0,5;0,9)$, không phải $(1,5;0;0,9)$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Độ cao là tọa độ $z=0,9$ km theo hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Lặng gió, bay hướng Đông 30 km/h trong 5 phút đi được $2,5$ km nên $y=2,5+2,5=5$, tọa độ $B(1,5;5;0,9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $A(1,5;2,5;0,9)$ vì $1,5$ trên trục $x$ (Nam) và $2,5$ trên trục $y$ (Đông).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc thực theo hướng Tây là $30-3=27$ km/h; trong 10 phút đi được $4,5$ km nên $y=5-4,5=0,5$, tọa độ là $(1,5;0,5;0,9)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc tại một góc phòng: trục $x$ theo chiều dài 8 m, trục $y$ theo chiều rộng 6 m, trục $z$ theo chiều cao 4 m. Trần nhà là mặt $z=4$.

- Quạt thứ nhất trên bức tường 8 m (mặt $y=0$), chính giữa tường nên $x=4$, cách trần 1 m nên $z=4-1=3$: $A(4;0;3)$.
- Quạt thứ hai trên bức tường 6 m (mặt $x=8$), chính giữa tường nên $y=3$, cách trần 1,2 m nên $z=4-1,2=2,8$: $B(8;3;2,8)$.

Khoảng cách:
$$AB=\sqrt{(8-4{)}^2+(3-0{)}^2+(2,8-3{)}^2}=\sqrt{16+9+0,04}=\sqrt{25,04}\approx 5,004\approx 5.$$

Vậy khoảng cách giữa hai vị trí treo quạt xấp xỉ $5$ m, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 0101/104: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Tàu ở tọa độ $(10;5;-4,359)$ (độ sâu 4359 m = 4,359 km, hướng xuống nên $z<0$). Khoảng cách từ radar $O(0;0;0)$ tới tàu: $d=\sqrt{10^2+5^2+4,359^2}=\sqrt{100+25+18,\mathrm{999...}}=\sqrt{144,\mathrm{0...}}\approx 12$ km. Vậy kết quả là 12.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi, trong mỗi khoảng 10 phút nó đi được một đoạn bằng nhau. Vector chỉ phương: $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 10 phút tiếp theo, tọa độ điểm $D$ là $D=B+\overrightarrow{AB}=(940+140;550+50;8+1)=(1080;600;9)$. Khi đó $x-y+z=1080-600+9=489$. Kết quả trùng với đáp án chính thức của đề (Mã đề 2101, Phần III, Câu 2) là 489.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ra đa đặt trên đỉnh tháp cao 80 m = 0,08 km nên tọa độ ra đa là (0;0;0,08), không phải (0;0;0) → Sai.
b) Trục Ox hướng về phía tây nên phía đông 300 km cho x = -300; trục Oy hướng về phía nam nên phía bắc 200 km cho y = -200; cách mặt đất 10 km nên z = 10. Vậy A(-300;-200;10), không phải (300;200;10) → Sai.
c) Khoảng cách từ máy bay đến ra đa: d = √(300² + 200² + (10 - 0,08)²) = √(90000 + 40000 + 98,4064) = √130098,4064 ≈ 360,69 km → Đúng.
d) Vì 360,69 km < 500 km (phạm vi ra đa) nên ra đa phát hiện được máy bay tại A → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ra đa đặt trên đỉnh tháp cao 80 m = 0,08 km nên có tọa độ (0;0;0,08), không phải (0;0;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Phía đông 300 km → x = -300; phía bắc 200 km → y = -200; cao 10 km → z = 10. Vậy A(-300;-200;10).
c) (AI giải đề cho tôi)
d = √(300² + 200² + 9,92²) = √130098,4064 ≈ 360,69 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì 360,69 km < 500 km nên ra đa phát hiện được máy bay tại A.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc của ong: vector AB = (8;8;4), bay trong 5 giây nên vận tốc mỗi giây là (1,6; 1,6; 0,8). Sau 3 giây tiếp theo từ B(10;12;5): M = (10+4,8; 12+4,8; 5+2,4) = (14,8; 16,8; 7,4). Vậy 5a − b − c = 5·14,8 − 16,8 − 7,4 = 74 − 24,2 = 49,8.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ tại điểm xuất phát, trục $Ox$ hướng về phía Đông, trục $Oy$ hướng về phía Bắc, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị: km).

- Máy bay thứ nhất: về phía Tây $10$ km nên $x=-10$; về phía Bắc $20$ km nên $y=20$; cao $0,7$ km nên $z=0,7$. Vậy $A(-10;20;0,7)$.
- Máy bay thứ hai: về phía Đông $30$ km nên $x=30$; về phía Nam $25$ km nên $y=-25$; cao $1$ km nên $z=1$. Vậy $B(30;-25;1)$.

Khoảng cách giữa hai máy bay:
$$AB=\sqrt{(30-(-10){)}^2+(-25-20{)}^2+(1-0,7{)}^2}=\sqrt{40^2+(-45{)}^2+(0,3{)}^2}$$
$$=\sqrt{1600+2025+0,09}=\sqrt{3625,09}\approx 60,21(km).$$

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là $\sqrt{3625,09}\approx 60,21km$.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô chuyển động thẳng đều từ $O(0;0)$ với vận tốc $\vec{v}=(20;35)$ km/h. Sau 2 giờ, vị trí sự cố là $A(x_0;y_0)$ với $x_0=20\cdot 2=40$, $y_0=35\cdot 2=70$ (tọa độ điểm bằng vận tốc nhân thời gian). Khi đó $P=2x_0+y_0=2\cdot 40+70=150$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 1 Phần III: 150).

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô chuyển động thẳng đều từ $O(0;0)$ với vận tốc $\vec{v}=(20;35)$ km/h. Sau 2 giờ, vị trí sự cố là $A(x_0;y_0)$ với $x_0=20\cdot 2=40$, $y_0=35\cdot 2=70$. Khi đó $P=2x_0+y_0=2\cdot 40+70=150$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (150).

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chuyển động trong 20 phút: $\overrightarrow{MN}=(300;100;2)$. Sau 5 phút tiếp theo (bằng $\frac{1}{4}$ của 20 phút), máy bay đi thêm $\frac{1}{4}\overrightarrow{MN}=(75;25;0,5)$. Vậy tọa độ lúc này là $(a;b;c)=(875;325;10,5)$, nên $a+b+c=1210,5$. Do đó $\frac{a+b+c}{2025}=\frac{1210,5}{2025}\approx 0,5978\approx 0,6$ (làm tròn đến hàng phần chục), khớp với đáp án nguồn.

+ Máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi, thời gian bay từ B đến C gấp 1,5 lần thời gian bay từ A đến B nên có: $\overrightarrow{BC}=1,5\overrightarrow{AB}$ (0,25)
+ $\overrightarrow{BC}=(x-950;y-790;z-17)$ ; $\overrightarrow{AB}=(100;20;2)$ (0,25)
+ $\overrightarrow{BC}=1,5\overrightarrow{AB}\iff \{\begin{array}{l}x-950=1,5.100\\ y-790=1,5.20\\ z-17=1,5.2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1100\\ y=820\\ z=20\end{array}$ (0,25)
+ Khi đó $x+y+z=1100+820+20=1940$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì vận tốc và hướng không đổi, trong mỗi 10 phút máy bay đi được một đoạn bằng vectơ $\overrightarrow{AB}=(400-300;300-100;20-10)=(100;200;10)$. Sau 10 phút tiếp theo, tọa độ máy bay là $C=B+\overrightarrow{AB}=(400+100;300+200;20+10)=(500;500;30)$. Vậy $a+b+c=500+500+30=1030$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1214, Câu 5: 1030).