Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên tứ giác $ABCD$ có cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó $ABCD$ là hình bình hành (A đúng). Suy ra $DA=BC$ (B đúng) và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (D đúng). Với C: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ còn $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$, nói chung $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$ (hai vecto này không cùng hướng). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M$ nằm giữa $A$ và $B$ trên đường thẳng $AB$, do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng (cùng hướng từ $A$ đến $B$) → chọn A. Kiểm tra các phương án khác: B: $MN$ là đường trung bình của tam giác nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ chứ không phải $\overrightarrow{CB}$ → sai. C: $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng → sai. D: $N$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{CA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AC}$ → sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$.
- $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$: đúng, vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên hai vecto cùng hướng và cùng độ dài.
- $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$: đúng, do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, $AB=DC$ và cùng hướng.
- $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$: SAI, vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$, hai vecto ngược hướng.
- $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$: đúng, do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ (cùng hướng, cùng độ dài).
Vậy đẳng thức sai là $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên $AB=BC=CA=a$.
a) $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ là một số (độ dài vecto) bằng $a$, còn $\overrightarrow{BC}$ là một vecto, nên khẳng định so sánh số với vecto là sai.
b) $\overrightarrow{AC}$ là vecto, không thể bằng số $a$, nên sai. (Đúng phải là $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$.).
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (hai cạnh khác nhau của tam giác đều), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$, khẳng định sai.
d) Vì $AB=a$ nên $\left|\overrightarrow{AB}\right|=a$, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vế trái là độ dài (số) $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$, vế phải là vecto $\overrightarrow{BC}$; số không thể bằng vecto nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}$ là vecto, không thể bằng số $a$; chỉ có $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương, nên hai vecto không bằng nhau, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ nên $AB=a$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=a$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ tâm $I$, đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Tâm $I$ là trung điểm đường chéo nên $BI=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}=2,5$. Vậy $\left|\overrightarrow{BI}\right|=2,5$, trùng với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, cả ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ đều nằm trên các đoạn dây thẳng đứng (dây ròng rọc song song với nhau), nên cả ba vectơ cùng phương thẳng đứng. Các cặp vectơ cùng phương là: $(\vec{a},\vec{b})$, $(\vec{a},\vec{c})$, $(\vec{b},\vec{c})$ — tổng cộng 3 cặp. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 3.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$. Vậy C đúng.
- A sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}$ không thể rút gọn thành $\overrightarrow{BI}$ vì quy tắc ba điểm cần cùng điểm đầu/cuối: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}$, còn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}$ không rút gọn trực tiếp được và không bằng $\overrightarrow{BI}$.
- B sai: theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo từ $A$), không phải $\overrightarrow{BD}$.
- D sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất trọng tâm: nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Do đó khẳng định đúng là B. A sai vì có $\overrightarrow{CG}$ thay vì $\overrightarrow{GC}$; C sai vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG}=\vec{0}$ nên còn lại $\overrightarrow{GC}\ne \vec{0}$; D sai vì vế phải là số $0$ chứ không phải vecto $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$. Vì phép cộng vectơ có tính giao hoán, $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$, nên đáp án B đúng. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ (A sai); $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}$ không rút gọn được thành $\overrightarrow{AB}$ (C, D sai).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ (đáp án D). Xét các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\ne \vec{0}$; B sai vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BC}$ (hai vectơ đối nhau, không bằng nhau); C sai vì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại các vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FA}$. Theo quy tắc đa giác, tổng các vectơ tạo thành một đường gấp khúc khép kín $A\to B\to C\to D\to E\to F\to A$ bằng $\vec{0}$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{DO}=\vec{0}$. Suy ra $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\vec{0}$, tức đáp án A đúng. Các phương án B, C, D sai vì chứa các vectơ như $\overrightarrow{CO}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OA}$ không đối nhau theo cặp nên tổng khác $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm các vectơ: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$; $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$. Khi đó tổng bằng $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $I$ nằm giữa $A$ và $B$ với $IA=IB$, tức hai vectơ $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng và cùng độ dài, nên $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ suy ra $A\equiv B$, mâu thuẫn với $A,B$ phân biệt. B sai vì $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}$ suy ra $A=B$. C đúng. D sai vì $IA=IB$ chỉ cho biết $I$ nằm trên trung trực của $AB$, chưa chắc nằm giữa $A$ và $B$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với quy tắc ba điểm:
- A: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$, không rút gọn được thành $\overrightarrow{CA}$ (sai; đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$).
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (đúng theo quy tắc hiệu: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$).
- C: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là tổng hai vectơ cùng xuất phát từ $A$, không bằng $\overrightarrow{BC}$ (sai).
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên khẳng định đúng là B. Các phương án khác sai: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$; C sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$.