Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ thì hai vecto có cùng điểm đầu $A$ và bằng nhau nên chúng có cùng điểm cuối, tức $B\equiv C$. Khi đó không tồn tại tam giác $ABC$ (ba điểm không phân biệt) nên các phương án A, B, C đều không đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ lục giác đều bán kính 1: $A(1;0),B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),D(-1;0),E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}),O(0;0)$.
- A: $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{ED}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ → đúng.
- B: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AF}|=1$ (cạnh lục giác đều) → đúng.
- C: $\overrightarrow{OD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$ → đúng.
- D: $\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ còn $\overrightarrow{OE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OB}$, hai vecto đối nhau, không bằng nhau → sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ là đường cao: $AM=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $2\left|\overrightarrow{AM}\right|=2AM=2a\sqrt{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (đảo chiều hai vế) → a đúng. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$ → b đúng. Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ → d đúng; còn $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ sai vì hai vecto này ngược hướng (câu c sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, đảo chiều hai vế được $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{OA}\ne \overrightarrow{OC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$, tức $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29:
a) Đúng. Hai vecto \overrightarrow{NA} và \overrightarrow{MA} cùng hướng về A; chúng bằng nhau khi và chỉ khi có cùng điểm đầu, tức N ≡ M.
b) Sai. Nếu \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} thì AB ∥ CD và AB = CD, suy ra tứ giác ABCD (không phải ABDC) là hình bình hành. Với tứ giác ABDC là hình bình hành thì cặp cạnh đối là AB với DC, tức \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}, không cho \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} (trừ trường hợp suy biến). Vậy khẳng định sai.
c) Đúng. \overrightarrow{AB} = $\vec{0}$ khi và chỉ khi A trùng B.
d) Đúng. Hai vecto đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng vecto không (trường hợp suy biến hai vecto không cũng thỏa).
a) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{MA} ⟺ hai vecto cùng điểm cuối A, cùng hướng, cùng độ dài ⟺ N ≡ M.
b) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} ⟺ ABCD là hình bình hành, không phải ABDC. Nếu ABDC là hình bình hành thì \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}.
c) (AI giải đề cho tôi)
\overrightarrow{AB} = $\vec{0}$ ⟺ A ≡ B.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto đối nhau ⟺ \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD} ⟺ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = $\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 30: a) Đúng: $MN$ là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên $AD,BC$ của hình thang nên $MN\parallel AB\parallel CD$ (tính chất hình thang / đường trung bình). b), c), d): Xét các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu, điểm cuối lấy từ các điểm đã cho $A,B,C,D,M,N$ mà giá không trùng đường thẳng $AB$. Các giá song song với $AB$ chỉ là đường thẳng $CD$ (vì $CD\parallel AB$) và đường thẳng $MN$ (vì $MN\parallel AB$). Các vectơ nằm trên hai giá đó (khác $\vec{0}$) là: $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — đúng 4 vectơ. Vậy khẳng định 'có 4 vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ mà giá không trùng đường thẳng $AB$' là đúng (b đúng), khẳng định 'có 5 vectơ' là sai (d sai). Về hướng: trong hình thang $ABCD$ (tên gọi theo thứ tự), $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$). Do đó chỉ có 1 vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ trên các giá không trùng $AB$, không phải 3, nên c sai. Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên $MN\parallel AB\parallel CD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các giá song song với $AB$ (khác đường thẳng $AB$) là $CD$ và $MN$; các vectơ khác $\vec{0}$ trên đó là $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — đúng 4 vectơ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong 4 vectơ trên, chỉ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ ($\overrightarrow{CD}$ ngược hướng), nên chỉ có 1 vectơ cùng hướng, không phải 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có đúng 4 vectơ (như ở ý b), không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a) MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. → Đúng.

b) Các điểm nằm trên đường thẳng AB là A, P, B; ngoài ra MN ∥ AB. Các vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (điểm đầu, điểm cuối lấy từ 6 điểm A, B, C, M, N, P) là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$ — tất cả 8 vectơ (cùng phương bao gồm cả vectơ nằm trên đường thẳng song song với AB). Vậy khẳng định 'có 6 vectơ' là sai. → Sai.

c) Vì P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$, hai vectơ cùng hướng (không ngược hướng). → Sai.

d) Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{PB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (còn $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ngược hướng). Vậy có đúng 3 vectơ. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{BP},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$, không phải 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
P là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$, hai vectơ cùng hướng chứ không ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PB}$ (vì $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$), tức là 3 vectơ.

(AI giải đề cho tôi)
Vườn ngoài ABCD là hình chữ nhật 25 m × 16 m; đường đi rộng 0,5 m mỗi phía nên vườn rau EFGH có kích thước (25 − 1) × (16 − 1) = 24 m × 15 m.
a) Các vectơ cùng phương với AB tạo từ 8 điểm: AB, BA, DC, CD, EF, FE, HG, GH — tổng cộng 8 vectơ, không phải 6 → sai.
b) |AC| = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m → sai.
c) |EF| = 24 m → đúng.
d) Diện tích vườn rau = 24 × 15 = 360 m². Lượng đạm cần: (360/25) × 2 = 28,8 kg. Chi phí: 28,8 × 24 000 = 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vectơ cùng phương với AB: AB, BA, DC, CD, EF, FE, HG, GH, không phải 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AC| = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF là cạnh của vườn rau: 25 − 2·0,5 = 24 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích vườn rau 24 × 15 = 360 m²; cần 28,8 kg đạm; chi phí 28,8 × 24 000 = 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo quy ước, vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $D$.
b) Đúng: $AD$ và $BC$ là hai cạnh đáy của hình thang nên $AD\parallel BC$; hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng nằm trên hai đường thẳng song song và cùng chiều (từ $A$ đến $D$ và từ $B$ đến $C$) nên cùng hướng.
c) Sai: có vô số vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ mà giá không trùng với giá của $\overrightarrow{AD}$ (mọi vectơ nằm trên mọi đường thẳng song song với $AD$, với mọi độ dài và hai chiều), không chỉ có 2 vectơ.
d) Đúng: vì $AD\parallel BC$ nên góc trong cùng phía $\widehat{ABC}=180^{\circ }-\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot BC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}BC=7\sqrt{3}$, suy ra $BC=7$, tức $\left|\overrightarrow{BC}\right|=7$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $D$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AD\parallel BC$ (hai cạnh đáy) và hai vectơ cùng chiều nên $\overrightarrow{AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có vô số vectơ khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AD}$ có giá không trùng với giá của $\overrightarrow{AD}$, không chỉ 2 vectơ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{ABC}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$; $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}BC=7\sqrt{3}\Rightarrow BC=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường tàu đi trong 5 giờ với vận tốc 30 km/h là $AB=30\cdot 5=150$ (km). Vì tàu đi từ $A$ theo hướng $N20^{\circ }W$ nên vecto $\overrightarrow{AB}$ có hướng $N20^{\circ }W$, do đó vecto $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng, tức $A$ nằm về phía $S20^{\circ }E$ so với $B$ và cách $B$ một khoảng 150 km. Vậy đáp số: 150.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 77, vectơ vận tốc thực tế ${\vec{v}}_a$ cùng chiều với vectơ dòng nước $\vec{v}$ (xuôi dòng), còn ${\vec{v}}_b$ ngược chiều $\vec{v}$ (ngược dòng) và có độ lớn lớn hơn. Gọi $u$ là vận tốc riêng của mỗi ca nô (hai ca nô có vận tốc riêng cùng độ lớn). Ca nô chạy ngược dòng có vận tốc thực tế $u-3,2$, ca nô chạy xuôi dòng có vận tốc thực tế $u+3,2$. Theo đề, ca nô có vận tốc thực tế gấp 4 lần vận tốc dòng nước chính là ca nô ngược dòng (ứng với ${\vec{v}}_b$ trên hình), do đó $$\left|{\vec{v}}_b\right|=4\cdot 3,2=12,8\text{ (km/h)}.$$ Suy ra vận tốc riêng $u=12,8+3,2=16$ (km/h), khi đó $\left|{\vec{v}}_a\right|=u+3,2=19,2$ (km/h). Vậy $\left|{\vec{v}}_b\right|=12,8$ (km/h), khớp với đáp số nguồn 12,8.

Đáp số: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$. Xét từng phương án: A. $OA=OB$: chỉ bảo đảm $O$ nằm trên trung trực của $AB$, không đủ vì $O$ không nhất thiết nằm trên đường thẳng $AB$. B. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$: suy ra $A=B$, vô lý. C. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$: suy ra $A=B$, vô lý. D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$: khi đó $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BO}$, tức $O$ nằm giữa $A$ và $B$ với $OA=OB$, nên $O$ là trung điểm $AB$. Đây là điều kiện cần và đủ. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}$. Xét đáp án C: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}$. Đẳng thức $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ tương đương $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$, tức $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}$, luôn đúng với mọi 4 điểm. Các đáp án khác: A tương đương $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$ (sai), B tương đương $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BD}$ (sai), D tương đương $\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{DB}$ (sai). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{IB}$.
- B: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$ (quy tắc ba điểm) — đúng.
- C: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ — đúng.
- A: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$ — sai.
Vậy khẳng định sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$, suy ra $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$. Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Xét đáp án C: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}$, chọn C. (Kiểm tra A: $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$; B, D sai vì $\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo quy tắc trung điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Vì $ABC$ đều cạnh $a$ nên đường cao $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$, quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Theo định lý Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{(4a{)}^2+(3a{)}^2}=\sqrt{25a^2}=5a$. Vậy độ dài $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ bằng $5a$, chọn đáp án D.