Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $AM=BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB=1,AC=2$ nên $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2,236$. Làm tròn đến hàng phần mười: $|\overrightarrow{AM}|\approx 2,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cường độ lực tổng hợp là độ dài vectơ tổng hợp $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Theo quy tắc bình phương tổng: $$|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^{\circ }$$ Thay số: $$|\vec{F}{|}^2=60^2+90^2+2\cdot 60\cdot 90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3600+8100+5400\sqrt{2}=11700+5400\sqrt{2}\approx 19336,75$$ Suy ra $|\vec{F}|\approx \sqrt{19336,75}\approx 139,06N$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $|\vec{F}|\approx 139N$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I$ là trung điểm $AC$ nên $\vec{I}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}$; $J$ là trung điểm $BD$ nên $\vec{J}=\frac{\vec{B}+\vec{D}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\vec{J}-\vec{I}=\frac{(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$, tức $k=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Tương tự với $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ (đổi dấu) $+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})$ (đổi dấu) $+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy $k=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại B, góc A = 30°, AB = 1 nên AC = AB / cos30° = 1/(√3/2) = 2/√3, BC = AB·tan30° = 1/√3. Ta có |AB + AC|² = AB² + AC² + 2·AB·AC·cos A = 1 + 4/3 + 2·1·(2/√3)·(√3/2) = 1 + 4/3 + 2 = 13/3. Vậy |AB + AC| = √(13/3) ≈ 2,0817 ≈ 2,1. (Chú ý: I là trung điểm AC chỉ là dữ kiện phụ, không cần dùng vì AB + AC = 2·AI nên |AB + AC| = 2AI, cho cùng kết quả.)

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông $ABCD$ có $AB\parallel CD$, các góc vuông tại $A$ và $D$. Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $D(0;6)$, $C(4;6)$. Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3)$.

Ta có:
$$\overrightarrow{IA}=(0;-3),\overrightarrow{IB}=(8;-3),\overrightarrow{ID}=(0;3).$$

Suy ra:
$$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8;-6).$$

Do đó:
$$\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\cdot \overrightarrow{ID}=8\cdot 0+(-6)\cdot 3=-18.$$

Vậy kết quả là $-18$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)$. Ta có $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}=-|AB{|}^2=-1$ và vì tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vậy $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(-1+0)=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực là tích vô hướng của lực và vecto dịch chuyển: $W=\vec{F}\cdot \vec{s}=|\vec{F}|\cdot |\vec{s}|\cdot \cos 60^{\circ }=90\cdot 100\cdot \frac{1}{2}=4500$ (Jun).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=7cm$, $BC=14cm$ nên $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{196-49}=7\sqrt{3}cm$. Ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Vì tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{AC}}^2=0-49=-49$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{-49}{7\cdot 14}=-\frac{1}{2}$. (Góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$, lớn hơn góc $\widehat{ACB}=60^{\circ }$ vì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu $\overrightarrow{AC}$ tại $A$ chứ không cùng xuất phát từ $C$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=2^2+(\sqrt{3}{)}^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 120^{\circ }=4+3+4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=7-4\sqrt{3}\approx 0,0718$. Suy ra $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{7-4\sqrt{3}}\approx 0,2679\approx 0,3$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Trong hình hộp chữ nhật: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=3^2+4^2=25$, và $B{D}^{\prime }\perp$ mặt đáy nên $B{D}^{\prime 2}=B{D}^2+D{D}^{\prime 2}=25+12^2=169$. Vậy $|\vec{u}|=|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=13$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Để điểm $O$ cân bằng tĩnh thì tổng các lực bằng vectơ không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|$. Vì $\overrightarrow{F_1}\perp \overrightarrow{F_2}$ nên theo định lý Pythagoras: $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{N}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|-2\vec{u}-\vec{v}{|}^2=4|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2+4\vec{u}\cdot \vec{v}=4(1{)}^2+2^2+4\cdot 1\cdot 2\cos (\vec{u},\vec{v})=8+8\cos (\vec{u},\vec{v})$. Theo giả thiết $|-2\vec{u}-\vec{v}{|}^2=6$, suy ra $8+8\cos (\vec{u},\vec{v})=6\Rightarrow \cos (\vec{u},\vec{v})=-\frac{2}{8}=-0,25$. Làm tròn đến hàng phần mười ta được $-0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|4\vec{a}-\vec{b}{|}^2=16|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-8(\vec{a}\cdot \vec{b})=16\cdot 4+4-8\cdot 4=64+4-32=36$. Vậy $|4\vec{a}-\vec{b}|=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong tứ diện $ABCD$:
- A: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$; mặt khác $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$. Vậy hai vế bằng nhau, khẳng định đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$, sai.
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, sai.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$, sai.
Vậy đáp án đúng là $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $B^{\prime }(1;0;1)$. Khi đó $\overrightarrow{AD}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;0;-1)$. Tổng $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1;1;-1)$ nên độ dài bằng $\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tầng 11 lên tầng 20: đi qua $20-11=9$ tầng, nên $\vec{x}=9\vec{a}$ (với $\vec{a}$ là vectơ đi lên một tầng). Tầng 20 lên tầng 47: đi qua $47-20=27$ tầng, nên $\vec{y}=27\vec{a}=3\cdot 9\vec{a}=3\vec{x}$. Vậy $\vec{y}=3\vec{x}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề bằng phép tính vecto:
- A: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}$. Vì $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ nên A sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ nên B sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$. Hai vế bằng nhau nên C đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$ nên D sai.
Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\vec{b}-\vec{a}=\vec{c}-\vec{d}$, suy ra $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}=\vec{d}+\vec{b}$. Vậy khẳng định đúng là D. (Cách khác: giao điểm $O$ của hai đường chéo là trung điểm chung của $AC$ và $BD$, nên $\overrightarrow{SO}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$.)