Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) M trên trục hoành: M(m;0;0). Tam giác MAB vuông tại A ⟺ AM·AB=0. AM=(m−1;0;−1), AB=(1;1;1), tích vô hướng = (m−1)+0−1 = m−2 = 0 ⟹ m=2. Chỉ có 1 điểm M(2;0;0), nên khẳng định 'có 2 điểm' là SAI. b) AC=(0;−1;0) nên |AC|=1, ĐÚNG. c) AB=(2−1;1−0;2−1)=(1;1;1), ĐÚNG. d) Hình bình hành ABCD: AB=DC ⟹ D=B+C−A=(2;1;2)+(1;−1;1)−(1;0;1)=(2;0;2)≠(0;2;0), SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
M(m;0;0), AM·AB=(m−1)+0−1=m−2=0 ⟹ m=2, chỉ có 1 điểm M(2;0;0), không phải 2 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC=(0;−1;0) nên |AC|=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2−1;1−0;2−1)=(1;1;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
D=B+C−A=(2;0;2), không phải (0;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
a) Các vectơ bằng $\overrightarrow{AB}$ với điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lập phương: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, $\overrightarrow{D_1{C}_1}$ — chỉ có 4 vectơ, không phải 5 → Sai.
b) $\overrightarrow{D_1{A}_1}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{B_{1}B}=\overrightarrow{D_{1}D}$; hai vectơ này vuông góc nên $\left|\overrightarrow{D_1{A}_1}+\overrightarrow{B_{1}B}\right|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ → Đúng.
d) Chọn hệ trục với $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{D{C}_1}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}_1}=(0,a,a)$, tích vô hướng $=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có 4 vectơ: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, $\overrightarrow{D_1{C}_1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ thành phần vuông góc, độ lớn tổng bằng $a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$ được $\overrightarrow{A{C}_1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=(a,0,0)\cdot (0,a,a)=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm G của tứ diện ABCD thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (nên D đúng). Với điểm O bất kỳ: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ (C đúng). Chọn O trùng A: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ (B đúng). Vậy mệnh đề A với hệ số $\frac{2}{3}$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}$; $Q$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{QD}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}$. Vì $J$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}$. Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ})$. Vì $G$ là trung điểm của $IJ$ nên $\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\vec{0}$, suy ra tổng bằng $\vec{0}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $M(x;y;0)$. Ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng phương. $\overrightarrow{AB}=(-2;3;1)$, $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;-1)$. Vì $-1=-1\cdot 1$, ta có $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}$, suy ra $x-2=2$, $y+2=-3$, tức $x=4$, $y=-5$. Vậy $M(4;-5;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(5-2;-5+1;7-5)=(3;-4;2)$. Vì $A,B,M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$, tức $M=A+k\overrightarrow{AB}$. Tọa độ $z$: $5+2k=1\Rightarrow k=-2$. Suy ra $x=2+3(-2)=-4$, $y=-1+(-4)(-2)=-1+8=7$. Vậy $M(-4;7;1)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(-1;2;-3)$, $B(1;0;2)$, $C(x;y;-2)$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(2;-2;5)$ và $\overrightarrow{AC}=(x+1;y-2;1)$. Từ thành phần thứ ba: $1=5t\Rightarrow t=\frac{1}{5}$. Suy ra $x+1=\frac{2}{5}\Rightarrow x=-\frac{3}{5}$ và $y-2=-\frac{2}{5}\Rightarrow y=\frac{8}{5}$. Vậy $x+y=-\frac{3}{5}+\frac{8}{5}=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;0;3)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-2;-1)$. a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(0;2;7)\ne \overrightarrow{BC}$ → sai. b) $\overrightarrow{AB}=(1;2;4)$ → đúng. c) $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ suy ra $D=C-\overrightarrow{AB}=(1-1;-1-2;1-4)=(0;-3;-3)\ne (0;3;3)$ → sai. d) $2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=(2;4;8)-(-3;0;9)=(5;4;-1)$, độ dài $\sqrt{25+16+1}=\sqrt{42}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(1;2;4)+(-1;0;3)=(0;2;7)$, còn $\overrightarrow{BC}=(-2;-2;-1)$, khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;1+1;2+2)=(1;2;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ suy ra $D=C-\overrightarrow{AB}=(0;-3;-3)$, không phải $(0;3;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}=(5;4;-1)$ nên độ dài bằng $\sqrt{25+16+1}=\sqrt{42}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tàu $(25;15;0)$ đến gốc $O$ (vị trí ra đa) là $\sqrt{25^2+15^2+0^2}=\sqrt{625+225}=\sqrt{850}\approx 29,1547\approx 29,2$ km. Vì $29,2<30$ nên tàu nằm trong phạm vi theo dõi của ra đa. Đáp số: $29,2$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Vì máy bay bay với vận tốc và hướng không đổi, trong mỗi 10 phút nó đi được một đoạn bằng vectơ $\overrightarrow{AB}=(200-100;100-50;10-5)=(100;50;5)$. Sau 10 phút tiếp theo, vị trí máy bay là $C=B+\overrightarrow{AB}=(200+100;100+50;10+5)=(300;150;15)$. Vậy $x+y+z=300+150+15=465$.

(AI giải đề cho tôi)
Phòng học là hình hộp chữ nhật kích thước $8m\times 6m\times 3m$, với gốc $O$ tại một góc phòng, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng mặt sàn. Đèn treo tại chính giữa trần nhà nên tọa độ của $I$ là trung điểm của trần: $x=8/2=4$, $y=6/2=3$, $z=3$ (độ cao trần). Vậy $I(4;3;3)$ và $x+y+z=4+3+3=10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-1;1)$ nên $AB=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$: đúng.
b) Với $D(3;-1;2)$: $\overrightarrow{AB}=(-2;-1;1)$, $\overrightarrow{DC}=C-D=(-2;-1;1)$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$; do đó $ABCD$ là hình bình hành (hoặc kiểm tra $\overrightarrow{AD}=(2;-2;2)=\overrightarrow{BC}$): đúng.
c) $E\in Oy$ nên $E(0;t;0)$. $\overrightarrow{EB}=(-1;-t;1)$, $\overrightarrow{EC}=(1;-2-t;3)$. Vuông tại $E$: $\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{EC}=-1+t(2+t)+3=t^2+2t+2=0$, vô nghiệm thực (delta $=-4<0$). Với $E(0;-6;0)$: $36-12+2=26\ne 0$. Vậy khẳng định sai.
d) $M$ trên đoạn $AB$ với $MA=2MB$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $M=\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$. $OM=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-1;1)$, $AB=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-1;1)=\overrightarrow{DC}$ với $D(3;-1;2)$, nên $ABCD$ là hình bình hành.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{EC}=t^2+2t+2=0$ vô nghiệm thực; với $E(0;-6;0)$ tích vô hướng bằng $26\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\left(-\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$, $OM=\sqrt{6}/3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),D^{\prime }(0;a;a),C^{\prime }(a;a;a)$.
a) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\vec{C}-{\vec{B}}^{\prime }=(0;a;-a)$. Hai vectơ khác nhau nên khẳng định sai.
b) $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$; $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(-a;0;0)+(0;a;0)+(0;0;a)=(-a;a;a)$. Bằng nhau nên đúng (quy tắc hình hộp).
c) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, tích vô hướng $=-a^2+a^2+0=0$ nên đúng (hai đường chéo của hình vuông ABCD vuông góc, và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có hình chiếu bằng $\overrightarrow{AC}$).
d) Trọng tâm $G$ của tam giác $A{B}^{\prime }C$: $G=\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, nên $\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$, do đó $2\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{2a}{3}\right)\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$. Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=(0;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0;a;-a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(-a;a;a)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=(a;a;a)\cdot (-a;a;0)=-a^2+a^2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{2a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}\right)$ nên $2\overrightarrow{BG}=\left(-\frac{2a}{3};\frac{2a}{3};\frac{2a}{3}\right)\ne \overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-a;a;a)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, hình lập phương $ABCD.EFGH$ có đáy $ABCD$ với $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song bằng nhau, nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Mặt khác $\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}$. Vì ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình lập phương đôi một vuông góc nên $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}=0$ và $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CG}=0$. Do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{CG}=0$, suy ra hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^{\circ }=3\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=\frac{15}{2}$.

Tính $|\vec{a}+\vec{b}|$:
$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9+15+25=49$$
Suy ra $|\vec{a}+\vec{b}|=7$.

Tính $|\vec{a}-\vec{b}|$:
$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=9-15+25=19$$
Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{19}$.

Vậy $|\vec{a}+\vec{b}|=7$ và $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{19}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);-1-0;3-2)=(2;-1;1)$. Gọi $D(x;y;z)$ thì $\overrightarrow{DC}=(1-x;4-y;2-z)=(2;-1;1)$, suy ra $x=-1$, $y=5$, $z=1$, tức $D(-1;5;1)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(0;5;-1)=\overrightarrow{BC}$, đúng là hình bình hành. Vậy $x+y+z=-1+5+1=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay đi từ $A(800;500;7)$ đến $B(940;550;8)$ trong 10 phút với vận tốc và hướng không đổi. Vecto chỉ hướng là $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;8-7)=(140;50;1)$. Sau 5 phút tiếp theo (bằng nửa khoảng thời gian 10 phút), máy bay đi thêm nửa vecto $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(70;25;0,5)$. Vậy tọa độ điểm $C$ là $C=(940+70;550+25;8+0,5)=(1010;575;8,5)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5;0)$, $\overrightarrow{AC}=(2;-2;-3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6+10+0=4$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$. Vậy $\cos A=\frac{4}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{17}}=\frac{4}{\sqrt{578}}=\frac{4}{17\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{17}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-0;2-1)=(1;1;1)$, $\overrightarrow{AD}=(1-1;-1-0;1-1)=(0;-1;0)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(1-1;1-0;-1-1)=(0;1;-2)$. Cộng lại: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1+0+0;1-1+1;1+0-2)=(1;1;-1)$. Vậy chọn đáp án A.