Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và $M,N,P,Q$ là bốn đỉnh hình chữ nhật, $K_0$ là tâm hình chữ nhật: $K_0(45;60;25)$. Camera hạ thẳng đứng nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-6)$, tức $a=0,b=0,c=-6$. Vậy $P=a+b+3c=0+0+3(-6)=-18$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=36+4\cdot 36\cos x+144=180+144\cos x$. Theo đề $|\vec{a}+2\vec{b}|=6\sqrt{3}$ nên $180+144\cos x=108\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=120^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3: 120).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ suy ra $A(2;-3;4)$. Với $B(2;1;4)$, ta có $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(2-2;-3-1;4-4)=(0;-4;0)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1202, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ ta có $A(2;-3;4)$, và $B(2;1;4)$. Khi đó $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(2-2;-3-1;4-4)=(0;-4;0)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K_{0}M=K_{0}N=K_{0}P=K_{0}Q$ và bốn đỉnh cột là hình chữ nhật, $K_0$ nằm trên đường thẳng đứng qua tâm hình chữ nhật, tức hình chiếu của $K_0$ lên mặt phẳng $Oxy$ là tâm $(45;60)$. Cao độ $K_0$ bằng 25 nên $K_0(45;60;25)$. Camera hạ thẳng đứng xuống $K_1$ cao độ 19 nên $K_1(45;60;19)$. Suy ra $\overrightarrow{K_0{K}_1}=(0;0;-6)$, tức $a=0,b=0,c=-6$. Vậy $P=a+b+3c=0+0+3(-6)=-18$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=36+4\cdot 36\cos x+144=180+144\cos x$. Theo đề: $|\vec{a}+2\vec{b}|=6\sqrt{3}$ nên $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=108$. Suy ra $180+144\cos x=108\Rightarrow \cos x=-\frac{72}{144}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ nên $x=120^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (120).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a√2, nên CC' = AA' = a√2 và CC' ⊥ (ABC).
a) Vì CC' ⊥ (ABC) nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2 → Sai.
b) AB'² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3. Tương tự BC'² = BC² + CC'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |BC'| = a√3 → Đúng.
c) B'C' ∥ BC nên góc (AB, B'C') = góc (AB, BC). Tam giác ABC đều nên góc ABC = 60°, góc giữa hai vectơ AB và BC bằng 180° − 60° = 120° → Sai.
d) AB' = AB + BB' = AB + CC' (vì BB' = CC') → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB'|² = a² + (a√2)² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3; tương tự |BC'| = a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'C' ∥ BC, góc (AB, BC) = 120° (vì tam giác ABC đều), không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB' = AB + BB' = AB + CC' vì BB' = CC'.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: O là góc phòng, trục Ox dọc chiều dài 10 m, Oy dọc chiều rộng 7 m, Oz dọc chiều cao 3,3 m. Quạt treo tại chính giữa trần nhà nên điểm treo trên trần có tọa độ (5; 3,5; 3,3). Thanh treo động cơ dài 0,8 m nên động cơ quạt I(5; 3,5; 3,3 − 0,8) = I(5; 3,5; 2,5).
a) Bức tường 7×3,3 là tường nằm trong mặt phẳng x = 10 (hoặc x = 0). Khoảng cách từ I đến tường là |5 − 10| = 5 m → đúng.
b) A(0; 2; 1): AI = √((5−0)² + (3,5−2)² + (2,5−1)²) = √(25 + 2,25 + 2,25) = √29,5 ≈ 5,43 m < 5,5 m → đúng.
c) Tọa độ đúng là a = 5; b = 3,5; c = 2,5, không phải a = 3,5; b = 5 → sai.
d) Khoảng cách từ I đến sàn (mặt phẳng z = 0) là z_I = 2,5 m → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tường 7×3,3 nằm trong mặt phẳng x = 10; khoảng cách từ I(5; 3,5; 2,5) đến tường là 10 − 5 = 5 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
AI = √(25 + 1,5² + 1,5²) = √29,5 ≈ 5,43 < 5,5 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là I(5; 3,5; 2,5), tức a = 5; b = 3,5; c = 2,5.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ I(5; 3,5; 2,5) đến sàn z = 0 là 2,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm A(5;6;4) (5m về phía nam, 6m về phía đông, cao 4m). Vectơ OB có độ dài 10, hợp với Ox góc 135°, Oy góc 120°, Oz góc 60° nên B = (10cos135°; 10cos120°; 10cos60°) = (-5√2; -5; 5). Kiểm tra: cos²135°+cos²120°+cos²60° = 1/2+1/4+1/4 = 1 (hợp lệ). Vậy AB = (-5√2-5; -11; 1), nên AB² = (5√2+5)² + 121 + 1 = 75+50√2+122 = 197+50√2 ≈ 267.7107... tính lại: (5√2+5)² = 50+50√2+25 = 75+50√2 ≈ 145.71; cộng 122 được 267.71? Không: 75+50√2+121+1 = 197+50√2 ≈ 267.71. Suy ra AB = √(197+50√2) ≈ 16.36 m, làm tròn đến hàng phần chục: 16.4 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=0\cdot (-1)+1\cdot 1+1\cdot 0=1$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
A nằm trên tia Ox nên $A(3;0;0)$, C nằm trên tia Oy nên $C(0;4;0)$, O' nằm trên tia Oz nên $O^{\prime }(0;0;5)$. Trong hình hộp chữ nhật, $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=(3;4;5)$, vậy $B^{\prime }(3;4;5)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }\in Ox$ có dạng $M^{\prime }(a;0;0)$. Ta có $M{M}^{\prime }=\sqrt{(a-1{)}^2+2+3}=\sqrt{(a-1{)}^2+5}$, nhỏ nhất khi $a=1$. Vậy $M^{\prime }(1;0;0)$, là hình chiếu vuông góc của $M$ trên Ox.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm H của MN: $x_H=\frac{2+(-2)}{2}=0$, $y_H=\frac{-3+7}{2}=2$, $z_H=\frac{5+11}{2}=8$. Vậy $H(0;2;8)$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, $A$ trùng gốc tọa độ, $B$ nằm trên trục $Ox$, $D$ trên trục $Oy$, $A^{\prime }$ trên trục $Oz$. Với cạnh bằng 1 ta có $A^{\prime }(0;0;1)$, $C^{\prime }(1;1;1)$. Suy ra $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A^{\prime }=(1-0;1-0;1-1)=(1;1;0)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),A^{\prime }(0;0;a),B^{\prime }(a;0;a),C^{\prime }(a;a;a),D^{\prime }(0;a;a)$. a) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=(a;a;-a)$, tổng $=(2a;2a;0)=2\overrightarrow{AC}$ → đúng. b) $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(a;0;-a)$, tích vô hướng $=-a^2$, độ dài mỗi vectơ $=a\sqrt{2}$, $\cos =-\frac{1}{2}$ → góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$ → sai. c) $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(0;0;a)$, tích vô hướng $=a^2\ne \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ → sai. d) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{B{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C^{\prime }D}=(a;a;0)+(-a;0;a)+(a;-a;0)+(-a;0;-a)=(0;0;0)=\vec{0}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã gán, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=(2a;2a;0)=2\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{A^{\prime }B}=-a^2$, $|\overrightarrow{BD}|=|\overrightarrow{A^{\prime }B}|=a\sqrt{2}$ nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{D}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(0;a;a)\cdot (0;0;a)=a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bốn vectơ bằng $(0;0;0)=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OA}=4\vec{i}+6\vec{j}-3\vec{k}$ nên tọa độ điểm $A$ là $(4;6;-3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo từng thành phần: $d_x=1-2+2\cdot 4=7$, $d_y=2-2+2\cdot 0=0$, $d_z=3-(-1)+2\cdot (-4)=3+1-8=-4$. Vậy $\vec{d}=(7;0;-4)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của điểm $M(-2;5;1)$ trên mặt phẳng $(Oxz)$ giữ nguyên hoành độ $x=-2$ và cao độ $z=1$, còn tung độ $y=0$ (vì $M{M}^{\prime }\perp (Oxz)$, tức $M^{\prime }$ nằm trên đường thẳng qua $M$ song song với trục $Oy$). Vậy hình chiếu là $M^{\prime }(-2;0;1)$, trùng với đáp án D. Kết quả này khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(2;3;-1)$, $\vec{b}=(2;3;-7)$. Khi đó $\vec{x}=\vec{a}-\vec{b}=(2-2;3-3;-1-(-7))=(0;0;6)$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $P=\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (\vec{a},\vec{b})=2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=4\cdot \frac{1}{2}=2$. Vậy $P=2$, khớp với đáp án A trong nguồn.