Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) |a|=√(4+1+1)=√6, đúng. b) -2a+3b = (4;-2;-2)+(6;-3;3) = (10;-5;1) ≠ (10;-5;4), sai. c) c cùng phương b: (x;1;y)=k(2;-1;1) ⇒ 1=-k ⇒ k=-1 ⇒ x=-2, y=-1 ⇒ x+y=-3≠3, sai. d) a·b=-4-1+1=-4, |a||b|=√6·√6=6 ⇒ cosφ=-4/6=-2/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
|a|=√((-2)²+1²+1²)=√6.
b) (AI giải đề cho tôi)
-2a+3b=(4;-2;-2)+(6;-3;3)=(10;-5;1), khác (10;-5;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
(x;1;y)=k(2;-1;1) ⇒ k=-1 ⇒ x=-2, y=-1 ⇒ x+y=-3≠3.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosφ=(a·b)/(|a||b|)=(-4)/6=-2/3.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;3;-1)\ne (2;-3;1)$ → sai. b) $\overrightarrow{BC}=(1;-9;2)$, $BC=\sqrt{1+81+4}=\sqrt{86}$ → đúng. c) $G=\left(\frac{3+1+2}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-1-2+0}{3}\right)=(2;-1;-1)$ → đúng. d) $M(a;0;0)$ trên trục hoành, $M{A}^2=M{B}^2$: $(a-3{)}^2+0+1=(a-1{)}^2+9+4\Rightarrow a^2-6a+10=a^2-2a+14\Rightarrow a=-1$. Vậy $a+b+c=-1+0+0=-1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;3;-1)$, khác $(2;-3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(1;-9;2)$ nên $BC=\sqrt{1+81+4}=\sqrt{86}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{6}{3};\frac{-3}{3};\frac{-3}{3}\right)=(2;-1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(a;0;0)$, giải $M{A}^2=M{B}^2$ được $a=-1$, nên $a+b+c=-1$.

Lời giải. Đáp số: 22.
Ta có $B(10;0;0)$, $D(0;16;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$. Tìm được trọng tâm $G\left(\frac{10}{3};\frac{16}{3};\frac{8}{3}\right)$.
Vậy $T=x+2y+3z=\frac{10}{3}+2.\frac{16}{3}+3.\frac{8}{3}=22$.

Lời giải. Đáp số: 7,9.
$H\left(516;513;502\right),K\left(\frac{1027}{2};\frac{1041}{2};502\right)$, $HK=\frac{5\sqrt{10}}{2}\approx 7,9$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{OM}=(2;3;-1)=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$, mệnh đề ghi $2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$ nên SAI. b) $\overrightarrow{MN}=(-3;-2;2)$, $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}$ → ĐÚNG. c) $\overrightarrow{ON}=(-1;1;1)$, $\vec{v}=(2-1;3+1;-1+1)=(1;4;0)$ → ĐÚNG. d) $\overrightarrow{NM}=(3;2;-2)$, $\overrightarrow{NP}=(2;m-2;2)$. Vuông tại $N$: $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6+2(m-2)-4=2m-2=0\iff m=1$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM}=(2;3;-1)=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$, khác với mệnh đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(-3;-2;2)$ nên $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{v}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=(2-1;3+1;-1+1)=(1;4;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6+2(m-2)-4=2m-2=0\iff m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, cạnh bằng 2.
a) $B(2;0;0)$ nên $\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}$. Đúng.
b) $C$ là điểm trong mặt phẳng $Oxy$ với $x=2$, $y=2$, $z=0$ nên $C(2;2;0)$, không phải $C(0;2;2)$. Sai.
c) $N$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$: $N\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(0;0;1)$. Đúng.
d) $C^{\prime }=(2;2;2)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$, $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}\ne 3\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B(2;0;0)$ nên $\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(2;2;0)$ vì $C$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ với $x=2$, $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N$ trung điểm $A{A}^{\prime }$ với $A(0;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$ nên $N(0;0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(2;2;2)$ nên $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\ne 3\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1;5-3;-1-(-3))=(2;2;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $2\vec{a}-3\vec{b}$ với $\vec{a}=(-2;1;-1)$, $\vec{b}=(1;2;-3)$: $2\vec{a}=(-4;2;-2)$, $3\vec{b}=(3;6;-9)$, nên $2\vec{a}-3\vec{b}=(-4-3;2-6;-2+9)=(-7;-4;7)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Suy ra $a=1$, $b=1$, $c=-1$, do đó $a+b-c=1+1-(-1)=3$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành theo thứ tự đỉnh A, B, C, D nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Tính: $x_D=1+(-1)-3=-3$; $y_D=-1+(-2)-3=-6$; $z_D=2+2-3=1$. Vậy $D(-3;-6;1)$, khớp phương án D. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(2;4;1)$, $\overrightarrow{DC}=C-D=(2;4;1)$ — đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\vec{u}=2\vec{i}-5\vec{k}$ có thành phần theo $\vec{i}$ (trục $Ox$) bằng 2, theo $\vec{j}$ (trục $Oy$) bằng 0, theo $\vec{k}$ (trục $Oz$) bằng $-5$. Vậy $\vec{u}=(2;0;-5)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Ta có $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(3-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{(8-5{)}^2+(-3-3{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{49}=7$. Vậy $D$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $BD:DC=\sqrt{26}:7$, tức $\vec{D}=\frac{7\vec{B}+\sqrt{26}\vec{C}}{7+\sqrt{26}}$. Suy ra $a=\frac{7+8\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$, $b=\frac{14-3\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$, $c=\frac{7+2\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}$. Khi đó $a+2b+3c=\frac{(7+8\sqrt{26})+2(14-3\sqrt{26})+3(7+2\sqrt{26})}{7+\sqrt{26}}=\frac{56+8\sqrt{26}}{7+\sqrt{26}}=\frac{8(7+\sqrt{26})}{7+\sqrt{26}}=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm đối xứng qua trục $Oz$ giữ nguyên $z$, đổi dấu $x$ và $y$: $M(0;2;-3)\to (0;-2;-3)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-6;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\cdot 4+(-3)(-6)+(-1)(0)=18$. Suy ra $2m=18\Rightarrow m=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(4;0;0),C(4;4;0),D(0;4;0)$, tâm $O(2;2;0)$, $S(2;2;h)$. Vì $△SBD$ vuông cân tại $S$ nên $S{B}^2+S{D}^2=B{D}^2=32\Rightarrow SB=4$, suy ra $8+h^2=16\Rightarrow h=2\sqrt{2}$, tức $S(2;2;2\sqrt{2})$.

$SO=2\sqrt{2}$, $SI=2IO$ nên $I$ chia $SO$ theo tỉ số $\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}$ từ $S$: $I=\left(2;2;\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua $A$, có pháp tuyến $\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AS}=(8\sqrt{2};0;-8)$, nên phương trình: $\sqrt{2}x-z=0$.

Đường thẳng $IB$: $P=B+t(\overrightarrow{BI})=(4-2t;2t;\frac{4\sqrt{2}}{3}t)$. Thay vào mặt phẳng: $\sqrt{2}(4-2t)=\frac{4\sqrt{2}}{3}t\Rightarrow 4-2t=\frac{4t}{3}\Rightarrow t=\frac{6}{5}$.

Vậy $M=\left(\frac{8}{5};\frac{12}{5};\frac{8\sqrt{2}}{5}\right)$.

$M{D}^2={\left(\frac{8}{5}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}-4\right)}^2+{\left(\frac{8\sqrt{2}}{5}\right)}^2=\frac{64+64+128}{25}=\frac{256}{25}$

Suy ra $MD=\frac{16}{5}=3,2$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\vec{0}$ (C đúng). Với $G$ trọng tâm tam giác $ABC$ và $D$ tùy ý: $\overline{DA}+\overline{DB}+\overline{DC}=3\overline{DG}$ (A đúng). Ta có $\overline{GD}-\overline{GA}=\overline{AD}$ đúng theo hiệu hai vectơ (B đúng). Còn $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}+\overline{GD}=\vec{0}+\overline{GD}=\overline{GD}\ne \vec{0}$ vì $G\ne D$. Vậy phát biểu D là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^{\circ }=3\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{15}{2}$. Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=9+25+15=49$, nên $|\vec{a}-\vec{b}|=7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=OB=OC=a$. Chọn hệ trục $O$ gốc với $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;a)$. Khi đó $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$, suy ra $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{BC}=0-\frac{a^2}{2}+0=-\frac{a^2}{2}$. Độ dài: $|\overrightarrow{OM}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\overrightarrow{BC}|=a\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC})=\frac{-a^2/2}{a^2}=-\frac{1}{2}$, nên góc tạo bởi hai vectơ bằng $120^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;-2;1)$. Vì $AD$ là đáy nên $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{BC}$, suy ra $D=A+t\overrightarrow{BC}=(-2-5t;3-2t;1+t)$.

Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chiều cao giữa hai đáy $AD$ và $BC$ là khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng qua $A$ song song $BC$, bằng $h=\frac{2S}{|BC|}$.

Diện tích hình thang: $\frac{1}{2}(|AD|+|BC|)h=\frac{1}{2}(|t|+1)|BC|\cdot \frac{2S}{|BC|}=(|t|+1)S=3S$, suy ra $|t|=2$, tức $t=\pm 2$.

Với $t=2$: $D=(-12;-1;3)$, $m+n+p=-10$. Với $t=-2$: $D=(8;7;-1)$, $m+n+p=14$ (không có trong đáp án).

Vậy chọn đáp án D.