Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{2};0;0)$, $D(0;2\sqrt{2};0)$, $C(\sqrt{2};2\sqrt{2};0)$, $S(0;0;4)$ vì $AB=\sqrt{2}$, $AD=2\sqrt{2}$, $SA=4$. Ta có $M=B+x\overrightarrow{BD}=(\sqrt{2}(1-x);2\sqrt{2}x;0)$, $N=S+y\overrightarrow{SC}=(\sqrt{2}y;2\sqrt{2}y;4(1-y))$. Suy ra $M{N}^2=2(1-x-y{)}^2+8(x-y{)}^2+16(1-y{)}^2$. Đặt $u=x-y$, $v=1-x-y$ thì $1-y=\frac{1+u+v}{2}$, nên $M{N}^2=2v^2+8u^2+4(1+u+v{)}^2$. Cân bằng: $\frac{\partial }{\partial u}=16u+8(1+u+v)=0\Rightarrow 3u+v=-1$; $\frac{\partial }{\partial v}=4v+8(1+u+v)=0\Rightarrow 2u+3v=-2$. Giải hệ được $u=-\frac{1}{7}$, $v=-\frac{4}{7}$, suy ra $x+y=\frac{11}{7}$, $x-y=-\frac{1}{7}$, tức $x=\frac{5}{7}$, $y=\frac{6}{7}$ (cùng thuộc $[0;1]$ nên hợp lệ). Vậy $5x+4y=\frac{25+24}{7}=7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(1;-3;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;3;-4)$, tích vô hướng $=-2-9+24=13\ne -35$ → Sai.
b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}\Rightarrow \vec{A}+\vec{B}-3\vec{C}+\vec{D}=\vec{0}\Rightarrow D=-A-B+3C=(-6;12;-6)$, nên $a+b+c=0\ne 4$ → Sai.
c) $H=A+t\overrightarrow{AC}$ với $(\overrightarrow{BH})\cdot \overrightarrow{AC}=0$. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=13$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=29$, nên $t=\frac{13}{29}$, $H=\left(\frac{3}{29};\frac{39}{29};\frac{64}{29}\right)$. Khi đó $m+2n+p=\frac{3+78+64}{29}=\frac{145}{29}=5$ → Đúng.
d) Với $M(x;y;0)$: $P=(x-1{)}^2+y^2+16+(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+4-(x+1{)}^2-(y-3{)}^2=x^2+y^2-8x+12y+24=(x-4{)}^2+(y+6{)}^2-28\ge -28$. Giá trị nhỏ nhất là $-28\ne 41$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\cdot (-2)+(-3)\cdot 3+(-6)\cdot (-4)=13\ne -35$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ suy ra $D=-A-B+3C=(-6;12;-6)$, nên $a+b+c=0\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H=A+\frac{13}{29}\overrightarrow{AC}=\left(\frac{3}{29};\frac{39}{29};\frac{64}{29}\right)$, nên $m+2n+p=\frac{145}{29}=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=(x-4{)}^2+(y+6{)}^2-28\ge -28$, min bằng $-28\ne 41$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OA}=(2;0;0)$, $\overrightarrow{OB}=(a;b;0)$, $\overrightarrow{OC}=(0;0;c)$.

1) $AB=\sqrt{10}$: $(a-2{)}^2+b^2=10$.

2) $\widehat{AOB}=45^{\circ }$: $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2a=|OA||OB|\cos 45^{\circ }=2\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $2a^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=b^2\Rightarrow a=b$ (vì $a,b>0$).

Thay vào: $(a-2{)}^2+a^2=10\Rightarrow 2a^2-4a-6=0\Rightarrow a^2-2a-3=0\Rightarrow a=3$ (nhận giá trị dương). Vậy $B(3;3;0)$.

3) Thể tích tứ diện $OABC$: $V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})\right|$. Ta có $\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC}=(3c;-3c;0)$, nên $\overrightarrow{OA}\cdot (\overrightarrow{OB}\times \overrightarrow{OC})=6c$, do đó $V=c=1\Rightarrow c=1$.

4) $BC=\sqrt{(3-0{)}^2+(3-0{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{19}\approx 4.36$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$. Do đó $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|OA||OC|\cos 60^0-|OA||OB|\cos 90^0=1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: A(0;0;0), B(3;0;0), D(0;3;0), A'(0;0;3), suy ra B'(3;0;3), C(3;3;0), D'(0;3;3).
a) Vì ABCD là hình bình hành nên DA + DC = DB; lại DB + DD' = DB' (quy tắc hình hộp), nên DA + DC + DD' = DB'. Đúng.
b) B' có hoành độ 3 (trên cạnh B'B với B(3;0;0)), tung độ 0, cao độ 3 nên B'(3;0;3). Đúng.
c) M trên B'D với B'M = (1/3)B'D: M = B' + (1/3)(D − B') = (3;0;3) + (1/3)(−3;3;−3) = (2;1;2). Hình chiếu của M lên (Oxy) là M'(2;1;0), không phải (1;1;0). Sai.
d) AM = (2;1;2), trong khi (2/3)AB + (1/3)AD + AA' = (2;1;3) ≠ AM. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
DA + DC = DB (hình bình hành ABCD), DB + DD' = DB' (quy tắc hình hộp), nên đẳng thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
A(0;0;0), B(3;0;0), A'(0;0;3) nên B'(3;0;3). Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
M = B' + (1/3)(D − B') = (2;1;2), hình chiếu lên (Oxy) là M'(2;1;0) ≠ (1;1;0).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(2;1;2) nên AM = (2;1;2), còn (2/3)AB + (1/3)AD + AA' = (2;1;3) ≠ AM. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên.
a) Flycam 1: 250 m về nam (x=250), 180 m về đông (y=180), cao 60 m → A(250;180;60). Đúng.
b) Flycam 2: 150 m về bắc (x=-150), 200 m về tây (y=-200), cao 70 m, lên thêm 30 m → B'(-150;-200;100), không phải (150;-200;100). Sai.
c) AB = (400;380;10) (so sánh A với B(-150;-200;70)), AB² = 160000+144400+100 = 304500, AB ≈ 551,8 m. Đúng.
d) D nằm trên trục Ox: D(d;0;0). DA² = DB'²: (d-250)²+180²+60² = (d+150)²+200²+100² ⟹ -500d+98500 = 300d+72500 ⟹ d = 32,5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
250 m về nam → x=250; 180 m về đông → y=180; cao 60 m → z=60. A(250;180;60).
b) (AI giải đề cho tôi)
Bắc → x=-150, tây → y=-200, cao 70+30=100 → B'(-150;-200;100).
c) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 400²+380²+(-10)² = 304500, AB ≈ 551,8 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
D(d;0;0), giải DA²=DB'² được d=32,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn điểm xuất phát $O$ làm gốc, trục $Ox$ hướng đông, $Oy$ hướng bắc, $Oz$ hướng lên. Khi đó $A(1,8;2,3;0,6)$, $B(-2,8;-1,7;0,8)$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime }$ là hình chiếu của $A,B$ lên mặt đất, $M(x;y;0)$. Cần minimize $f=MA+MB=\sqrt{(x-1,8{)}^2+(y-2,3{)}^2+0,36}+\sqrt{(x+2,8{)}^2+(y+1,7{)}^2+0,64}$.

Điều kiện cực trị $\nabla f=0$ cho thấy hai vectơ đơn vị từ $M$ hướng về $A$ và $B$ có thành phần ngang triệt tiêu nhau, tức $M$ nằm trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và các góc nâng bằng nhau: $\frac{0,6}{MA}=\frac{0,8}{MB}\Rightarrow \frac{MB}{MA}=\frac{4}{3}$, tức $MA:MB=3:4$.

Ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{4,6^2+4^2}=\sqrt{37,16}\approx 6,0959$, nên $MA=\frac{3}{7}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\approx 2,6125$, $MB\approx 3,4834$ (kiểm tra: $0,6/2,6125=0,8/3,4834\approx 0,2297$ — thỏa mãn). Toạ độ $M$: $x=1,8-\frac{3}{7}\cdot 4,6\approx -0,1714$, $y=2,3-\frac{3}{7}\cdot 4\approx 0,5857$.

Khoảng cách từ $M$ đến điểm xuất phát: $OM=\sqrt{0,1714^2+0,5857^2}\approx \sqrt{0,3725}\approx 0,61\approx 0,6km$. (Hessian dương xác định nên đây là điểm cực tiểu.) Vậy đáp án cần điền là $0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{c}$ cùng hướng với $\vec{a}=(3;-4;0)$ nên $\vec{c}=k\vec{a}$ với $k>0$. Ta có $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0^2}=5$, nên $k=\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|}=\frac{10}{5}=2$. Vậy $\vec{c}=2(3;-4;0)=(6;-8;0)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{1+0+2}{3};\frac{3+(-1)+4}{3};\frac{2+5+(-1)}{3}\right)=(1;2;2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, ta có $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$, tức $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-2$, nên $I=\frac{A+2B}{3}$. Tính: $x_I=\frac{1+2\cdot 2}{3}=\frac{5}{3}$, $y_I=\frac{2+2\cdot (-1)}{3}=0$, $z_I=\frac{-1+2\cdot 3}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ (a đúng). Với G trọng tâm tam giác ABC: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$; vì $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng vế theo vế được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$ (b đúng). $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$ (c sai). N thuộc (Oxy) có dạng $(x;y;0)$; $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$; thẳng hàng khi $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng lại được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$, $|\overrightarrow{AB}|=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
N thuộc (Oxy): $N(x;y;0)$. $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(9-5;-2-2;3-1)=(4;-4;2)=4\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$ → đúng.
b) Đối xứng qua $(Oxy)$ đổi dấu tung độ z: $A^{\prime }(5;2;-1)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AC}=(-3;-1;0)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12+4+0=-8$, $|AB|=\sqrt{16+16+4}=6$, $|AC|=\sqrt{10}$. Vậy $\cos BAC=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}<0$ → sai (giá trị dương trong đề chỉ đúng với góc bù).
d) Lấy $B^{\prime }$ đối xứng $B$ qua $(Oxy)$: $B^{\prime }(9;-2;-3)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $(x;y;z)=(5+4t;2-4t;1-4t)$. Cho $z=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}\Rightarrow M=(6;1;0)\ne (3;4;0)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)=4\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua $(Oxy)$: $A^{\prime }(5;2;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos BAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB||AC|}=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}$, âm nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(5;2;1)$ và $B^{\prime }(9;-2;-3)$ cắt $z=0$ tại $t=1/4$, tức $M=(6;1;0)\ne (3;4;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;-4;2)$, $B(4;2;-3)$, $C(-3;-1;4)$: $D=(1-3-4;-4-1-2;2+4+3)=(-6;-7;9)$. Vậy $a=-6$, $b=-7$, $c=9$, do đó $a+b+c=-6-7+9=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm hình vuông là trung điểm BD: $I=\left(\frac{3-5}{2};\frac{0-4}{2};\frac{8+0}{2}\right)=(-1;-2;4)$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $I$ cũng là trung điểm $AC$ và hai đường chéo vuông góc: $AC\perp BD$, đồng thời $IA=IB=\frac{BD}{2}$.

$\overrightarrow{BD}=(-8;-4;-8)$ nên $BD=\sqrt{64+16+64}=12\Rightarrow IA=6$.

Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{IA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$... cụ thể $A=2I-C$, do đó $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{IA}\perp \overrightarrow{BD}$.

Gọi $\overrightarrow{IA}=(a+1;b+2;-4)$ (vì $A_z=0$, $I_z=4$). Điều kiện:
- $|\overrightarrow{IA}|=6$: $(a+1{)}^2+(b+2{)}^2+16=36\Rightarrow (a+1{)}^2+(b+2{)}^2=20$.
- $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$: $-8(a+1)-4(b+2)+32=0\Rightarrow 2a+b=4$.

Thay $b=4-2a$: $(a+1{)}^2+(6-2a{)}^2=20\Rightarrow 5a^2-22a+17=0\Rightarrow a=1$ hoặc $a=\frac{17}{5}$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a=1$, suy ra $b=2$.

Kiểm tra: $A(1;2;0)$, $\overrightarrow{IA}=(2;4;-4)$, $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{4+16+16}=6$ ✓, $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=-16-16+32=0$ ✓. Khi đó $C=2I-A=(-3;-6;8)$ và $ABCD$ là hình vuông.

Vậy $a+b=1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0;0)$, $\vec{j}=(0;1;0)$, $\vec{k}=(0;0;1)$ nên $\vec{u}=3\vec{j}+2\vec{i}-\vec{k}=3(0;1;0)+2(1;0;0)-(0;0;1)=(2;3;-1)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $B(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $A(1;\sqrt{3};0)$, $C^{\prime }(2;0;h)$. Khi đó $M(1;0;0)$ nên $\overrightarrow{AM}=(0;-\sqrt{3};0)$ và $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(2;0;h)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{B{C}^{\prime }}=0\cdot 2+(-\sqrt{3})\cdot 0+0\cdot h=0$, nên hai vectơ vuông góc, góc giữa chúng bằng $90^0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: $G=\left(\frac{17}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $G^{\prime }=\left(4;0;\frac{5}{3}\right)$. a) Sai: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{AG}$, không bằng $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$ (vì $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{G^{\prime }}-4\overrightarrow{G}=\overrightarrow{G^{\prime }}-\overrightarrow{A}$ chỉ khi $3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{G}^{\prime }}$, vô lý). b) Đúng: với $G$ trọng tâm tứ diện, $4\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$. c) Sai: $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{G^{\prime }}-\overrightarrow{G}=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, thành phần $y$ là $-\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{1}{2}$. d) Sai: $M\in (Oyz)$, $|MA-MB|=|MA-M{B}^{\prime }|$ với $B^{\prime }$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$: $B^{\prime }(-9;-2;3)$. Giá trị lớn nhất bằng $A{B}^{\prime }$ khi $M$ là giao điểm của $A{B}^{\prime }$ với $(Oyz)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $(5-14t;2-4t;1+2t)$, $x=0\Rightarrow t=\frac{5}{14}$, suy ra $M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)\ne \left(0;7;-\frac{3}{2}\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=4\overrightarrow{AG}$, không bằng $4\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $G$ trọng tâm tứ diện: $4\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\left(-\frac{1}{4};-\frac{1}{2};\frac{1}{6}\right)$, khác đề bài ở thành phần $y$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lấy $B^{\prime }(-9;-2;3)$ đối xứng $B$ qua $(Oyz)$, max đạt tại giao $A{B}^{\prime }$ với $(Oyz)$: $M=\left(0;\frac{4}{7};\frac{12}{7}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng Nam, Oy hướng Đông, Oz hướng lên. a) Flycam thứ nhất: 3 m Nam, 2 m Đông, cao 5 m nên A(3;2;5); flycam thứ hai: 6 m Bắc (x=-6), 6 m Tây (y=-6), cao 5 m nên B(-6;-6;5). Đúng. b) Đối xứng qua (Oxy) đổi dấu z: A'(3;2;-5). Đúng. c) M thuộc (Oxy) nên phải có z=0, nhưng M(-9;-8;10) có z=10, mâu thuẫn. Thực tế đường thẳng A'B có phương trình (x;y;z)=(3;2;-5)+t(-9;-8;10); z=0 khi t=1/2, khi đó M(-3/2;-2;0). Sai. d) Gọi M(x;y;0) trên mặt đất, MA+MB nhỏ nhất khi M là giao của A'B' với (Oxy) với B'(-6;-6;-5) đối xứng của B qua (Oxy); giá trị nhỏ nhất bằng AB' = √(9²+8²+10²)=√245=7√5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(3;2;5) và B(-6;-6;5) theo cách chọn trục đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua (Oxy): A'(3;2;-5).
c) (AI giải đề cho tôi)
M thuộc (Oxy) nên z=0; điểm đúng là M(-3/2;-2;0), không phải M(-9;-8;10).
d) (AI giải đề cho tôi)
MA+MB min = AB' với B'(-6;-6;-5) là đối xứng của B qua (Oxy): √(81+64+100)=7√5.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{v}$, nên $B^{\prime }=B+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $D^{\prime }=D+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{B}+\vec{D}+2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec{B}+\vec{D}=\vec{A}+\vec{C}$, do đó $\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}=\vec{A}+\vec{C}+2(\overrightarrow{A^{\prime }}-\vec{A})=\vec{C}-\vec{A}+2\overrightarrow{A^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }}-\vec{C}+\vec{A}}{2}$. Thay tọa độ: $a=\frac{-2+4-5+(-3)}{2}=-3$, $b=\frac{1+5-2+2}{2}=3$, $c=\frac{1+5-1+1}{2}=3$. Vậy $a^2+b^2+c^2=9+9+9=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, trọng tâm $G$. Chọn tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $D\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},a\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Trọng tâm $G=\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{6},\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$. Xét hai vectơ $\overrightarrow{GA}$ và $\overrightarrow{GB}$: $\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},-\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\cdot \left(\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{6},-\frac{a}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{6}=-\frac{a^2}{6}$. Mặt khác $|\overrightarrow{GA}|=|\overrightarrow{GB}|=a\sqrt{\frac{3}{8}}$ (bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều là $\frac{a\sqrt{6}}{4}$). Vậy $\cos \alpha =\frac{-a^2/6}{a^2\cdot 3/8}=-\frac{4}{9}\cdot \frac{8}{6}$... kiểm tra lại: $\frac{-1/6}{3/8}=-\frac{8}{18}=-\frac{4}{9}$? Tính lại $|\overrightarrow{GA}{|}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{6}=\frac{3a^2+a^2+2a^2}{12}=\frac{6a^2}{12}=\frac{a^2}{2}$. Vậy $\cos \alpha =\frac{-a^2/6}{a^2/2}=-\frac{1}{3}$. Suy ra $\alpha =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109,47^{\circ }\approx 109^{\circ }$. Đáp án: $109$.