Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét các vecto: $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng, cùng độ dài với $\overrightarrow{AB}$ (vì $D^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AB$ và cùng chiều theo thứ tự đỉnh của hình hộp), nên $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$. Các vecto khác: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ (ngược hướng); $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$); $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$ (ngược hướng). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{A{B}_1}$ và $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}_1}=\overrightarrow{A{D}_1}$. Trong hình hộp tổng quát, $\overrightarrow{A{B}_1}\ne \overrightarrow{A{D}_1}$ (vì $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AD}$), nên đẳng thức này SAI.
- B: Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{C}_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_1}$ — đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}_1}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A{C}_1}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{D_{1}A}=\overrightarrow{A{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}A}=\vec{0}$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ và $\overrightarrow{A{D}_1}+\overrightarrow{D_{1}O}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{A{C}_1}$ (vì $O$ nằm trên đoạn $D_1{C}_1$) — đúng.
Vậy đẳng thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), B'(a,0,a), C'(a,a,a), D'(0,a,a).
a) $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=(a,0,0)=\overrightarrow{AB}$, đúng.
b) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, đúng.
c) $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a,0,a)$, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2\ne 2a^2$, sai.
d) $\vec{x}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(0,0,a)+(a,a,a)=(a,a,a)$ nên $|\vec{x}|=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{2}$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng chiều nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, cộng $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a,0,a)$, tích vô hướng bằng $a^2\ne 2a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{x}=(a,a,a)$ nên $|\vec{x}|=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu a) Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=2\sqrt{6}$ và góc giữa từng cặp vectơ đều bằng $60^{\circ }$, nên mỗi tích vô hướng bằng $2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \cos 60^{\circ }=24\cdot \frac{1}{2}=12$. Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$, do đó $A{C}^{\prime 2}=|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2+|\vec{w}{|}^2+2(\vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{u}\cdot \vec{w}+\vec{v}\cdot \vec{w})=3\cdot 24+2\cdot 3\cdot 12=72+72=144$. Vậy $A{C}^{\prime }=12$.

Câu b) Chọn $A$ làm gốc, $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{d}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $B$ có vectơ $\vec{b}$, $C$ có $\vec{b}+\vec{d}$, $C^{\prime }$ có $\vec{u}+\vec{b}+\vec{d}$. Gọi $N$ trên $BC$: $\overrightarrow{AN}=\vec{b}+t\vec{d}$; $P$ trên $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AP}=\vec{u}+\vec{b}+(1-s)\vec{d}$; $M$ trên $A{A}^{\prime }$: $\overrightarrow{AM}=m\vec{u}$. Từ $\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=2\vec{u}+(2-2s-t)\vec{d}$. Vì $M$ thuộc $A{A}^{\prime }$ nên hệ số của $\vec{d}$ phải bằng 0: $t=2(1-s)$, và $m=2$, tức $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (điểm $M$ nằm ngoài đoạn $A{A}^{\prime }$, phía sau $A^{\prime }$, với $AM=2A{A}^{\prime }$). Trên trục $A{A}^{\prime }$ lấy tọa độ $A=0$, $A^{\prime }=1$, $M=2$: $\overline{MA}=0-2=-2$, $\overline{M{A}^{\prime }}=1-2=-1$, do đó $\frac{\overline{MA}}{\overline{M{A}^{\prime }}}=\frac{-2}{-1}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Gọi cạnh hình lập phương là $a$, khi đó $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{D{C}^{\prime }}|=a\sqrt{2}$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=a^2+0=a^2$ (vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{C{C}^{\prime }}$). Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{D{C}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai vectơ bằng $45^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$, $S(0;0;2a)$.
a) Trong hình chữ nhật $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ ngược hướng → Sai.
b) $\overrightarrow{SC}=(a;2a;-2a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a;0)$; $\cos =\frac{a^2+4a^2}{3a\cdot \sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745$, góc $\approx 41,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai.
c) $M$ trung điểm $SB$: $M\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a^2}{2}$ → Đúng.
d) $N$ trung điểm $SD$: $N(0;a;a)$; $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}=\left(\frac{a}{2};-a;0\right)$, độ dài $=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ ngược hướng, không cùng hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AC})=\frac{5a^2}{3a\cdot \sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745$ nên góc $\approx 41,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB})$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(0+a^2)=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$ với $M\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $N(0;a;a)$, độ dài $=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ và $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{D^{\prime }A}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AD}=-\vec{c}-\vec{b}$, nên $\overrightarrow{AP}=-\vec{b}-\vec{c}$.

Và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{c}$, nên $\overrightarrow{C^{\prime }Q}=\vec{a}+\vec{c}$.

Tính $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }Q}$. Ta có $\overrightarrow{PA}=\vec{b}+\vec{c}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{a}$, do đó:
$$\overrightarrow{PQ}=(\vec{b}+\vec{c})+\vec{a}+\vec{a}+\vec{c}+(\vec{a}+\vec{c})=3\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}.$$

Kiểm tra lại bằng toạ độ: đặt $A$ làm gốc, $P=A-\vec{b}-\vec{c}$, $C^{\prime }=A+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, $Q=C^{\prime }+\vec{a}+\vec{c}=A+2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}-(-\vec{b}-\vec{c})=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$.

Xuất hiện mâu thuẫn giữa hai cách viết, cần tính lại $\overrightarrow{PQ}$ theo định nghĩa: $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}$ với $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }Q}=(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})+(\vec{a}+\vec{c})=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}$ và $\overrightarrow{AP}=-\vec{b}-\vec{c}$. Vậy:
$$\overrightarrow{PQ}=2\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}+\vec{b}+\vec{c}=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}.$$

(Sai sót ở cách phân tích đầu là do viết nhầm $\overrightarrow{PA}$; kết quả đúng là $\overrightarrow{PQ}=2\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$.)

Tính độ dài:
$$|\overrightarrow{PQ}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2+4|\vec{b}{|}^2+9|\vec{c}{|}^2+2\cdot 4(\vec{a}\cdot \vec{b})+2\cdot 6(\vec{a}\cdot \vec{c})+2\cdot 6(\vec{b}\cdot \vec{c})$$
$$=4+4+9+8\cdot \frac{1}{2}+12\cdot \frac{1}{2}+12\cdot \frac{1}{2}=17+4+6+6=33.$$

Vậy $PQ=\sqrt{33}\approx 5,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A^{\prime }(0;0;4)$, suy ra $C^{\prime }(1;4;4)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(1;4;4)$. Vậy $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;4;4)$, nên $|\vec{u}|=\sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{36}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (định nghĩa trọng tâm tứ diện), nên D đúng. Với $P$ tùy ý: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=4\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{PG}$, nên A đúng. Từ đó với $P=A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$, nên B đúng. Còn C: $\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì $G\ne A$, vậy C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;x-5;2)$ và $\overrightarrow{AC}=(6;-3;y+1)$. Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$. Từ hoành độ: $6=4k\Rightarrow k=\frac{3}{2}$. Từ tung độ: $-3=k(x-5)\Rightarrow x-5=-2\Rightarrow x=3$. Từ cao độ: $y+1=2k=3\Rightarrow y=2$. Vậy $x+y=3+2=5$. Kiểm tra lại: $\overrightarrow{AB}=(4;-2;2)$, $\overrightarrow{AC}=(6;-3;3)=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$, đúng. Đáp án C. (Lưu ý: kết quả trung gian trong ghi chú nguồn $x=6,y=3$ là sai do lập tỉ số nhầm chiều; tính toán độc lập ở trên cho $x=3,y=2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ (ý b đúng). Do $G$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GM}$, suy ra $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=-2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MN}$ (vì $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GN}=2\overrightarrow{GN}$), không bằng $2\overrightarrow{MN}$ → ý a sai. Cộng lại: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=\vec{0}$ → ý c đúng. Điểm $G$ thỏa $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ chính là trọng tâm tứ diện $ABCD$ → ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{MN}\ne 2\overrightarrow{MN}$ vì $N$ là trung điểm $BD$ và $G$ là trung điểm $MN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}=-2\overrightarrow{GM}$, tổng bằng $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G$ thỏa $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ nên $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{a}\cdot \vec{c}=1(-2)+(-2)(1)+0(5)=-4\ne 0$ nên $\vec{a}$ không vuông góc $\vec{c}$ → Sai. b) $|\vec{b}|=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2}=\sqrt{6}$ → Đúng. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1-4+0=-5$, $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{6}$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{30}}\ne \frac{3}{\sqrt{20}}$ → Sai. d) $\vec{b}\cdot \vec{c}=(-1)(-2)+2(1)+1(5)=2+2+5=9\ne 8$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{c}=-2-2+0=-4\ne 0$ nên $\vec{a}$ không vuông góc $\vec{c}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{b}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=-5$, $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{6}$ nên $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-5}{\sqrt{30}}\ne \frac{3}{\sqrt{20}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}\cdot \vec{c}=2+2+5=9\ne 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Tại đỉnh B, ta có $\overrightarrow{BA}=(1-(-1);-1-(-1);3-2)=(2;0;1)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3-(-1);-2-(-1);2-2)=(-2;-1;0)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot (-2)+0\cdot (-1)+1\cdot 0=-4$.

Độ dài: $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}$.

Vậy $\cos ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{-4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{-4}{5}=-0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(1;-2;1)$ thì $2\vec{a}=(2\cdot 1;2\cdot (-2);2\cdot 1)=(2;-4;2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ máy bay A là $|\vec{a}|=\sqrt{300^2+200^2+400^2}=\sqrt{290000}\approx 538,516$ km/h. Máy bay B có tốc độ gấp ba lần: $3\cdot \sqrt{290000}\approx 1615,55\approx 1616$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $AB=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-2{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{(-4-2{)}^2+(7+1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$. Gọi $D$ là chân đường phân giác trong góc $B$ thì $D\in AC$ và $\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$. Suy ra $D=\frac{2A+C}{3}=\frac{2(1;2;-1)+(-4;7;5)}{3}=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vec tơ là góc tù khi $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$ (và hai vec tơ đều khác $\vec{0}$). Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=5m+3(-1)+(-2)(m+3)=5m-3-2m-6=3m-9$. Điều kiện $\vec{a}\cdot \vec{b}<0\iff 3m-9<0\iff m<3$. Vì thành phần thứ hai của $\vec{b}$ là $-1\ne 0$ nên $\vec{b}\ne \vec{0}$ với mọi $m$; còn $\vec{a}=(5;3;-2)\ne \vec{0}$. Các số nguyên $m\in [-2025;2025]$ thỏa $m<3$ là $m=-2025,-2024,\dots ,2$, tức $2-(-2025)+1=2028$ giá trị. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hệ ở trạng thái cân bằng nên tổng các lực bằng $\vec{0}$: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{P}=\vec{0}$, với trọng lực $\overrightarrow{P}=(0;0;-2)$ (N), suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=(0;0;2)$.

Theo hình vẽ, ba lực phân bố đối xứng dọc theo phương từ $S$ đến các chân đế. Lực $\overrightarrow{F_1}$ có phương của vectơ $\overrightarrow{SA}=(0;-6;-30)$, nên $\overrightarrow{F_1}=\lambda (0;-6;-30)$ với $\lambda >0$. Ba lực có độ lớn bằng nhau nên thành phần thẳng đứng của mỗi lực đều là $-30\lambda$.

Cân bằng phương thẳng đứng: $3\cdot (-30\lambda )=-2\Rightarrow \lambda =\frac{1}{45}$.

Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(0;-\frac{2}{15};-\frac{2}{3}\right)$, tức $a=0,b=-\frac{2}{15},c=-\frac{2}{3}$.

Tính: $P=3a+5b+8c=0+5\cdot \left(-\frac{2}{15}\right)+8\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{16}{3}=-6$.

Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tập hợp M thuộc (Oxy) với MA+MB=2√34 là elipse tâm O, tiêu điểm A(3;0;0), B(-3;0;0): c=3, 2a=2√34 ⇒ a²=34, b²=a²−c²=25, tức x²/34 + y²/25 = 1.

a) MC² = x²+(y−5)²+1. Tham số hóa x=√34 cos t, y=5 sin t: MC² = 34cos²t + 25(1−sin t)² + 1 = 60 − 9sin²t − 50 sin t. Đặt s=sin t∈[−1;1], hàm f(s)=60−9s²−50s có f'(s)=−18s−50=0 ⇒ s=−25/9 ∉[−1;1], nên min tại s=1: f=60−9−50=1. Vậy MC_min=1 (tại M(0;5;0)), không phải √2 ⇒ a) SAI.

b) AB=6, AC=BC=√(9+25+1)=√35. Chiếu của C lên (Oxy) là (0;5;0), khoảng cách từ điểm này đến trục hoành Ox bằng 5 nên đường cao từ C xuống AB bằng 5. S_ABC = ½·6·5 = 15 ≠ 2√26 ⇒ b) SAI.

c) Mặt phẳng (ABC) chứa trục Ox và C(0;5;1) có VTPT n = AB×AC = (0;1;−5), phương trình y−5z=0. Đường cao từ C vuông góc AB trong mặt phẳng có chỉ phương d = AB×n = (0;5;1): (0; 5+5t; 1+t). Đường cao từ A vuông góc BC=(3;5;1) trong mặt phẳng có chỉ phương n×BC = (26;−15;−3): (3+26s; −15s; −3s). Giải hệ: 3+26s=0 ⇒ s=−3/26; −15s=45/26=5+5t ⇒ t=−17/26; kiểm tra z: 1+t=9/26=−3s ✓. Vậy H(0; 45/26; 9/26), tức a=0, b=45/26, c=9/26. Khi đó a+52(b+c) = 52·54/26 = 108 ⇒ c) ĐÚNG.

d) AB = B−A = (−6;0;0) cùng phương với i=(1;0;0) (ngược hướng nhưng vẫn cùng phương) ⇒ d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Elipse x²/34+y²/25=1; MC²=60−9sin²t−50sin t đạt min bằng 1 tại M(0;5;0), nên MC_min=1≠√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=6, đường cao từ C bằng 5 nên S_ABC=15≠2√26.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trực tâm H(0;45/26;9/26) nên a+52(b+c)=52·54/26=108.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB=(−6;0;0) cùng phương với i=(1;0;0).