Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=N-M=(3-1;8-4;-6-0)=(2;4;-6)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng Nam, Oy hướng Đông, Oz hướng lên. A(2;-3;1,5), B(-3;4;1,2). a) OA=√(4+9+2,25)=√15,25≈3,91 km; OB=√(9+16+1,44)=√26,44≈5,14 km, nên khinh khí cầu thứ nhất GẦN điểm xuất phát hơn, khẳng định a) sai. b) A(2;-3;1,5) đúng. c) Gọi P(x;y;0) trên mặt đất, lấy A'(2;-3;-1,5) đối xứng A qua mặt đất thì PA+PB=PA'+PB ≥ A'B, dấu bằng khi P là giao điểm của A'B với mặt đất. A'B=√(5²+7²+2,7²)=√81,29≈9,02 km, đúng. d) B(-3;4;1,2) chứ không phải (-3;-4;1,2), sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
OA=√15,25≈3,91 km < OB=√26,44≈5,14 km nên khinh khí cầu thứ nhất gần điểm xuất phát hơn, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nam 2 km → x=2; Tây 3 km → y=-3; cao 1,5 km → z=1,5. Vậy A(2;-3;1,5), đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Min PA+PB trên mặt đất bằng A'B với A'(2;-3;-1,5): √(25+49+7,29)=√81,29≈9,02 km, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bắc 3 km → x=-3; Đông 4 km → y=4; cao 1,2 km → z=1,2. Vậy B(-3;4;1,2), không phải (-3;-4;1,2), sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;1;2)$, $B(3;0;4)$, $C(-2;5;3)$: $D(1-2-3;1+5-0;2+3-4)=(-4;6;1)$. Vậy $P=x-y+z=-4-6+1=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $OABC.O^{\prime }MNP$ với $A(2;0;0)$, $C(0;5;0)$, $O^{\prime }(0;0;3)$. Điểm $N$ nằm trên mặt trên của hình hộp, chiếu xuống $B(2;5;0)$ và có cao độ bằng 3 (cùng mặt với $O^{\prime }$). Vậy $N(2;5;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, do $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ (hai đáy bằng nhau, các cạnh tương ứng song song và bằng nhau) nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng). Kiểm tra các đáp án khác: $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}$ không song song với $\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$ (ngược hướng). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 0+0\cdot 1+2\cdot (-1)=-2$. Mặt khác $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ và $|\vec{b}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$. Do đó $\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-2}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$. Suy ra góc giữa hai vectơ là $120^{\circ }$, chọn đáp án C (khớp đáp án nguồn, mã đề 1102, câu 10).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-(-2);-2-2;3-(-1))=(3;-4;4)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+4^2}=\sqrt{9+16+16}=\sqrt{41}$. Vậy đáp án D, trùng với bảng đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),G(1;1;1),H(0;1;1)$; tâm $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, trọng tâm $I$ của tam giác $GBD$: $I=\frac{G+B+D}{3}=(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{1}{3})$.
a) $\overrightarrow{FD}=(-1;1;-1)$ còn $\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FC}=(0;1;0)+(-1;0;0)+(0;1;-1)=(-1;2;-1)\ne \overrightarrow{FD}$ → Sai.
b) $O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ → Đúng.
c) $I$ là trọng tâm tam giác $GBD$ nên $\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ → Đúng.
d) $I=\frac{G+2O}{3}$ nên $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{GI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OG}=-2\overrightarrow{OI}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, $\overrightarrow{FD}=(-1;1;-1)$ nhưng $\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{FC}=(-1;2;-1)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên là trung điểm $AC$, do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất trọng tâm: $I$ là trọng tâm tam giác $GBD$ nên $\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$I=\frac{G+B+D}{3}=\frac{G+2O}{3}$ (vì $O$ trung điểm $BD$), suy ra $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}$ và $\overrightarrow{GI}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{OG}=-2\overrightarrow{OI}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$, $H(0;1;1)$. Tâm $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$. Trọng tâm tam giác $BFD$: $I=\frac{B+F+D}{3}=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{IO}=O-I=\left(-\frac{1}{6};\frac{1}{6};\frac{1}{6}\right)$ và $\overrightarrow{BH}=H-B=(-1;1;1)$. Vậy $\overrightarrow{IO}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BH}$, tức $a=1,b=6$, nên $M=a^2+b^2=1+36=37$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (37).

a) Xác định đúng tọa độ $P(4;0;1,2)$, $Q(0;3;3,7)$ (mỗi điểm tính 0,25) — 0,5 điểm.
b) Tìm được độ dài $PQ=\sqrt{4^2+3^2+2,5^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\approx 5,59$ — 0,5 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BC}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ (hai vectơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Do đó $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 2: D).

Cách 1: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $H$ là điểm thỏa ${\overrightarrow{HI}}^2-2\overrightarrow{HC}+3\overrightarrow{HD}=\vec{0}$.
Tính đúng $I(2;2;1)$, $H\left(-2;7;\frac{3}{2}\right)$ — 0,25 điểm.
Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P=2M{H}^2+H{I}^2-2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ — 0,25 điểm.
Nhận xét: $H{I}^2-2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ không đổi, nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MH$ nhỏ nhất. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên mặt phẳng $(Oxz)$.
Kết luận đúng tọa độ $M\left(-2;0;\frac{3}{2}\right)$ — 0,25 điểm.
Tính được giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-13,5$ — 0,25 điểm.
Cách 2: Gọi $M(x;0;z)$, $\overrightarrow{MA}=(1-x,1,1-z)$, $\overrightarrow{MB}=(3-x,3,1-z)$, $\overrightarrow{MC}=(6-x,0,2-z)$, $\overrightarrow{MD}=(2-x,4,2-z)$ — 0,125 điểm.
$P=(x-1)(x-3)+3+(z-1{)}^2-2\left[(x-6{)}^2+(z-2{)}^2\right]+3\left[(x-2{)}^2+16+(z-2{)}^2\right]$ — 0,25 điểm.
$P=2x^2+2z^2+8x-6z-1$ — 0,25 điểm.
$P=2\left[(x+2{)}^2+{\left(z-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{27}{4}\right]\ge -2.\frac{27}{4}=-\frac{27}{2}=-13,5$ khi $x=-2;z=\frac{3}{2}$ — 0,25 điểm.
Kết luận tọa độ $M\left(-2;0;\frac{3}{2}\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $-13,5$ — 0,125 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-3;-2-2;2-(-1))=(-2;-4;3)$ và $\overrightarrow{BC}=(-2-1;1-(-2);3-2)=(-3;3;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2)(-3)+(-4)(3)+3(1)=6-12+3=-3$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ nên tọa độ điểm $M$ chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, tức $M(2;-1;3)$. Khớp với đáp án nguồn ở trang đáp án (bảng PHẦN I, cột câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}=2\vec{i}+\vec{k}=2\vec{i}+0\vec{j}+1\vec{k}$ nên tọa độ của $\vec{u}$ là $(2;0;1)$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A là gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$ với $\vec{a},\vec{b},\vec{d}$ đôi một vuông góc và cùng độ dài. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$.

a) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{d}+\vec{a}$ vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.

b) $I$ là trung điểm $AC$ nên $\vec{I}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$; $G$ trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }G}=\vec{G}-\vec{a}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{3}$ và $\overrightarrow{GI}=\vec{I}-\vec{G}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{6}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }G}=2\overrightarrow{GI}$. Đúng.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, không phải với bộ điểm $A,B,C$. Thật vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-3\vec{G}+\vec{b}+(\vec{b}+\vec{d})=\vec{b}-\vec{a}\ne \vec{0}$. Sai.

d) $I$ là tâm hình vuông $ABCD$, $D$ và $C$ là hai đỉnh kề nhau nên $\overrightarrow{ID}$ và $\overrightarrow{IC}$ vuông góc, cùng độ dài nhưng khác hướng, do đó không bằng nhau. Sai.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 2): a)Đ - b)Đ - c)S - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$, $\vec{I}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$: $\overrightarrow{B^{\prime }G}=\frac{\vec{b}+\vec{d}-2\vec{a}}{3}=2\overrightarrow{GI}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G$ là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }C$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$; còn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{b}-\vec{a}\ne \vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $I$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $\overrightarrow{ID}$ và $\overrightarrow{IC}$ vuông góc, cùng độ dài nhưng khác hướng, do đó không bằng nhau.

a) Xác định đúng tọa độ $M(2,5;0;1,5)$, $N(0;1,2;2,4)$ (mỗi điểm tính 0,25) — 0,5 điểm.
b) Tìm được độ dài $MN=\sqrt{2,5^2+1,2^2+0,9^2}=\frac{\sqrt{34}}{2}$ — 0,5 điểm.

Cách 1: Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. $H$ là điểm thỏa ${\overrightarrow{HI}}^2+2\overrightarrow{HC}+3\overrightarrow{HD}=\vec{0}$. Tính đúng $I(2;1;2)$, $H\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};3\right)$ — 0,25 điểm.
Biến đổi biểu thức $P$ về dạng $P=6M{H}^2+H{I}^2+2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ — 0,25 điểm.
Nhận xét: $H{I}^2+2H{C}^2+3H{D}^2+\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB}$ không đổi, nên $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MH$ nhỏ nhất. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ — 0,125 điểm.
Kết luận đúng tọa độ $M\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};0\right)$ — 0,125 điểm.
Tính được giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{887}{6}$ — 0,25 điểm.
Cách 2: Gọi $M(x;y;0)$, $\overrightarrow{MA}=(1-x,2-y,3)$, $\overrightarrow{MB}=(3-x,-y,1)$, $\overrightarrow{MC}=(5-x,-1-y,2)$, $\overrightarrow{MD}=(3-x,7-y,4)$ — 0,125 điểm.
$P=(x-1)(x-3)+y(y-2)+3+2\left[(x-5{)}^2+(y+1{)}^2+4\right]+3\left[(x-3{)}^2+(y-7{)}^2+16\right]$ — 0,25 điểm.
$P=6x^2+6y^2-42x-40y+288$ — 0,25 điểm.
$P=6\left[{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{10}{3}\right)}^2+\frac{887}{36}\right]\ge 6.\frac{887}{36}=\frac{887}{6}$ khi $x=\frac{7}{2};y=\frac{10}{3}$ — 0,25 điểm.
Kết luận tọa độ $M\left(\frac{7}{2};\frac{10}{3};0\right)$. Giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{887}{6}$ — 0,125 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng chiều nên $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Kết quả khớp với đáp án D của đề (mã đề 0101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(1-3;-2-2;2-(-1))=(-2;-4;3)$ và $\overrightarrow{AC}=(-2-3;1-2;3-(-1))=(-5;-1;4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)(-5)+(-4)(-1)+3\cdot 4=10+4+12=26$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: D).