Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $5$, giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trùng với gốc tọa độ $O$. Các véc-tơ $\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OS}$ lần lượt cùng hướng với các véc-tơ $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ và $OA=3,OS=2$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SB$.
[IMAGE:img_q06_pyramid]

Tọa độ của véc-tơ $\overrightarrow{OM}$ là:

Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $M(1;1;1),N(2;3;4),P(7;7;5)$. Tìm tọa độ điểm $Q$ để tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều. Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $l\text{ inch}$. Trọng lượng của chiếc đèn là $24\text{ N}$ và bán kính của chiếc đèn là $18\text{ inch}$ (biết $1\text{ inch}=2,54\text{ cm}$). Trọng lực $\vec{P}$ kéo chiếc đèn xuống dưới và làm căng ba sợi dây, tạo ra ba lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ tác dụng lên trần nhà lần lượt hướng dọc theo các véc-tơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$. Khi đèn ở trạng thái cân bằng, ta có ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3+\vec{P}=\vec{0}$.
[IMAGE:img_q15_lamp]

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $AB=6,BC=8$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABC)$ và $SA=2\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Giá trị của $|\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{AM}|+\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;1;0)$ và $\vec{v}=(2;0;-1)$. Tính độ dài $\vec{u}+2\vec{v}$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(5)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$. Tính ${\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;-1)$ và $B(1;1;0)$. Tọa độ của vectơ $\vec{b}$ thỏa mãn biểu thức $\vec{b}=\vec{a}+2\vec{b}-\vec{b}$ (hay $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$)?

Cho hai số phức $z_1=3-i$ và $z_2=-1+i$. Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z_1\overline{z_2}$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ và $\vec{b}(2;3;-7)$. Tìm tọa độ của $\vec{x}=2\vec{a}-3\vec{b}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng $(Oyz)$ và $(Oxz)$ lần lượt là $M_1(0;3;-5)$ và $M_2(-2;0;-5)$. Tọa độ của điểm $M$ là:

Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=3a,AB=a$. Khi đó, côsin của góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;1;-2)$ và $B(2;-3;5)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA=2MB$. Tọa độ điểm $M$ là:

Trong một nhà máy thông minh, hệ tọa độ $Oxyz$ được thiết lập để điều hành các thiết bị tự động, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Mặt sàn nhà máy nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$. Một bộ định tuyến phát sóng Wi-Fi được treo tại vị trí $A(1;2;12)$, một cảm biến đo chấn động được gắn ngầm dưới nền nhà máy tại vị trí $B(10;14;-8)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên mặt sàn. Một robot tự hành $M$ di chuyển trên mặt sàn và luôn giữ khoảng cách đến bộ định tuyến $A$ bằng $15\text{ m}$. Biết rằng robot $M$ có nhiệm vụ đồng bộ dữ liệu với cảm biến $B$ và quá trình này đạt độ ổn định cao nhất khi khoảng cách giữa robot và cảm biến là nhỏ nhất.
[IMAGE:img_q15_robot]

Hình vẽ dưới đây mô tả một căn phòng hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=3\text{ m},B{B}^{\prime }=BC=4\text{ m}$, tại $C$ có một tổ kiến. Kiến 1 xuất phát từ $A^{\prime }$ bò về tổ với vận tốc $0,02\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $A^{\prime }B,BC$. Kiến 2 xuất phát từ $D$ bò về tổ với vận tốc $0,06\text{ m/s}$ trên hai đoạn thẳng liên tiếp $D{C}^{\prime },C^{\prime }C$. Biết rằng, hai con kiến xuất phát cùng một lúc. Hỏi khi kiến 2 còn cách tổ $1\text{ m}$ thì khoảng cách giữa hai con kiến là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
[IMAGE:img_q19_ants]

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;1;-1)$ và $N(2;3;2)$. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ

Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-i)z=2+4i$. Mô đun của số phức $w=z-1-2i$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=2\vec{i}+3\vec{k}-\vec{j}$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}$.

Điểm $A$ trên mặt phẳng phức như hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức nào?