Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ: $3x+y\ge 9$, $x\ge y-3$, $2y\ge 8-x$, $y\le 6$.
- $(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<9$ → loại.
- $(1;2)$: $3\cdot 1+2=5<9$ → loại.
- $(2;1)$: $3\cdot 2+1=7<9$ → loại.
- $(8;4)$: $3\cdot 8+4=28\ge 9$ ✓; $8\ge 4-3=1$ ✓; $2\cdot 4=8\ge 8-8=0$ ✓; $4\le 6$ ✓. Điểm $(8;4)$ thỏa mọi bất phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x+y>0\\ 2x+5y<0\end{array}$: A $(1;1)$: $x+y=2>0$ đúng nhưng $2x+5y=7<0$ sai. B $(-1;-1)$: $x+y=-2>0$ sai. C $(1;-\frac{1}{2})$: $x+y=\frac{1}{2}>0$ đúng và $2x+5y=2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}<0$ đúng, nên điểm thuộc $S$. D $(-\frac{1}{2};\frac{2}{5})$: $x+y=-\frac{1}{10}>0$ sai. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ: $3x+y\ge 6$, $x\ge y-3$, $2y\ge 8-x$, $y\le 4$.
- $(2;1)$: $3\cdot 2+1=7\ge 6$ ✓; $2\ge 1-3=-2$ ✓; $2\ge 8-2=6$ ✗. Loại A.
- $(6;4)$: $18+4=22\ge 6$ ✓; $6\ge 4-3=1$ ✓; $8\ge 8-6=2$ ✓; $4\le 4$ ✓. Thỏa tất cả.
- $(0;0)$: $0\ge 6$ ✗. Loại C.
- $(1;2)$: $3+2=5\ge 6$ ✗. Loại D.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $(6;4)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tam giác $ABC$ có $A(0;2)$, $B(2;0)$, $C(0;-5/2)$, và đường thẳng qua $B$ cắt trục hoành tại $5/2$. Đường thẳng qua $A(0;2)$ và $B(2;0)$... xét các đường biên: $4x+5y=10$ đi qua $(0;2)$ và $(5/2;0)$ — khớp cạnh $AB$ và điểm $5/2$ trên trục $x$; $5x-4y=10$ đi qua $(2;0)$ và $(0;-5/2)$ — khớp cạnh $BC$. Miền nghiệm nằm bên phải trục $Oy$ nên $x\ge 0$. Thử điểm trong tam giác, ví dụ $(1;0)$: $x=1\ge 0$; $5\cdot 1-4\cdot 0=5\le 10$; $4\cdot 1+5\cdot 0=4\le 10$ — thỏa cả ba. Vậy hệ là $x\ge 0$, $5x-4y\le 10$, $4x+5y\le 10$, tương ứng phương án D. (Kiểm tra các phương án khác: A cho miền $y\ge 0$ sai vì tam giác trải cả $y<0$; B dùng $x>0$ nghiêm ngặt và đường $5x+4y=10$ không khớp các đỉnh; C dùng $4x-5y=10$ đi qua $(0;-2)$ không khớp $C(0;-5/2)$.)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x>0\\ x+\sqrt{3}y+1>0\end{array}$: A) $(-1;2)$: $x=-1\le 0$ nên không thuộc $S$, sai. B) $(\sqrt{2};0)$: $x=\sqrt{2}>0$ và $\sqrt{2}+0+1>0$ nên điểm này thuộc $S$, do đó khẳng định $\notin S$ là sai. C) $(1;-\sqrt{3})$: $1+\sqrt{3}(-\sqrt{3})+1=1-3+1=-1<0$ nên không thuộc $S$, sai. D) $(\sqrt{3};0)$: $x=\sqrt{3}>0$ và $\sqrt{3}+0+1>0$, thỏa cả hai bất phương trình nên $(\sqrt{3};0)\in S$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ (I): 3x+2y≥9; x−2y≤3; x+y≤6; x≥1.

Các đỉnh của miền nghiệm: giao của 3x+2y=9 với x=1 là (1;3); giao của x+y=6 với x=1 là (1;5); giao của 3x+2y=9 với x+y=6 là (3;3). Kiểm tra x−2y≤3 tại cả ba điểm đều thỏa (−5≤3, −9≤3, −3≤3). Vậy miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh (1;3), (1;5), (3;3).

a) Đúng: miền nghiệm là miền tam giác (kể cả biên) với các đỉnh nêu trên.

b) Thử (3;2): 3·3+2·2=13≥9; 3−4=−1≤3; 3+2=5≤6; 3≥1. Điểm thỏa mọi bất phương trình nên là nghiệm. Đúng.

c) F=3x−y trên tam giác: F(1;3)=0, F(1;5)=−2, F(3;3)=6. Giá trị lớn nhất là 6 tại (3;3), không phải tại (1;3) (F=0). Sai.

d) Giá trị nhỏ nhất của F=3x−y là −2 tại (1;5), tức x=1, y=5. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với ba đỉnh (1;3), (1;5), (3;3) nên là miền tam giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
(3;2) thỏa cả bốn bất phương trình: 13≥9, −1≤3, 5≤6, 3≥1.
c) (AI giải đề cho tôi)
F đạt max bằng 6 tại (3;3); tại (1;3) thì F=0, không phải max.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(1;5)=−2 là giá trị nhỏ nhất trên tam giác (so với 0 tại (1;3) và 6 tại (3;3)).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$, $y$ là số gói thực phẩm $X$, $Y$ dùng mỗi ngày. Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$; sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$; vitamin $B$: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$; cùng điều kiện $0\le x\le 12$, $0\le y\le 12$.
a) Hệ bất phương trình đúng như đề. Đúng.
b) Các đỉnh miền nghiệm: giao $x+y=12$ với $2x+y=16$ là $(4;8)$; giao $x+y=12$ với $x+2y=14$ là $(10;2)$; giao $2x+y=16$ với $x+2y=14$ là $(6;4)$ nhưng $x+y=10<12$ nên không thuộc miền; $x=12$ với $x+2y=14$ cho $(12;1)$; $y=12$ với $2x+y=16$ cho $(2;12)$; cùng đỉnh $(12;12)$. Vậy miền có 5 đỉnh: $(4;8)$, $(2;12)$, $(12;12)$, $(12;1)$, $(10;2)$ — là ngũ giác. Đúng.
c) Chi phí $F=20x+25y$ (nghìn đồng). Tại các đỉnh: $(4;8)$: 280; $(2;12)$: 340; $(12;12)$: 540; $(12;1)$: 265; $(10;2)$: 250. Giá trị nhỏ nhất 250 nghìn đồng tại $(10;2)$, tức 10 gói $X$ và 2 gói $Y$. Đúng.
d) Tại $(10;8)$: $x+y=18\ge 12$, $2x+y=28\ge 16$, $x+2y=26\ge 14$, $0\le 10\le 12$, $0\le 8\le 12$ — thỏa mọi bất phương trình, nên $(10;8)$ thuộc miền nghiệm. Khẳng định "$(10;8)$ không thuộc miền nghiệm" sai.
Tóm lại: a) Từ yêu cầu canxi, sắt, vitamin $B$ và giới hạn 12 gói mỗi loại ta được đúng hệ đã cho. b) Miền nghiệm có 5 đỉnh $(4;8)$, $(2;12)$, $(12;12)$, $(12;1)$, $(10;2)$ nên là ngũ giác. c) $F=20x+25y$ đạt min 250 nghìn đồng tại $(10;2)$. d) $(10;8)$ thỏa mọi bất phương trình của hệ nên thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ: $y\le x+4$, $y\le -x$, $x\le 0$, $y\ge -2$. Các đường biên: $d_1:y=x+4$, $d_2:y=-x$, $d_3:x=0$, $d_4:y=-2$. Tìm giao các đường biên: $d_1\cap d_2$: $x+4=-x\Rightarrow x=-2,y=2$ cho điểm $(-2;2)$, thỏa $x\le 0,y\ge -2$. $d_2\cap d_3$: $(0;0)$ thỏa các điều kiện còn lại. $d_3\cap d_4$: $(0;-2)$ thỏa. $d_4\cap d_1$: $-2=x+4\Rightarrow x=-6$, điểm $(-6;-2)$ thỏa. $d_4\cap d_2$: $(2;-2)$ không thỏa $x\le 0$ nên loại. Vậy miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(-6;-2),(0;-2),(0;0),(-2;2)$, có 4 cạnh. Suy ra $n=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao của các đường thẳng: $d_1:x-y=1$, $d_2:x+4y=-9$, $d_3:x-2y=-3$.
- $d_1\cap d_2$: $x=y+1\Rightarrow 5y+1=-9\Rightarrow y=-2,x=-1$, đỉnh $A(-1;-2)$.
- $d_1\cap d_3$: $x=y+1\Rightarrow -y+1=-3\Rightarrow y=4,x=5$, đỉnh $B(5;4)$.
- $d_2\cap d_3$: $x=-9-4y\Rightarrow -9-6y=-3\Rightarrow y=-1,x=-5$, đỉnh $C(-5;-1)$.

Miền nghiệm (với $y\ge x-1$, $y\ge \frac{-9-x}{4}$, $y\le \frac{x+3}{2}$) là tam giác $ABC$ có các đỉnh trên. Giá trị $T=3x-2y-4$ tại các đỉnh:
- $T(A)=3(-1)-2(-2)-4=-3$.
- $T(B)=3(5)-2(4)-4=3$.
- $T(C)=3(-5)-2(-1)-4=-17$.

Vậy $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $-17$ tại $(x_0;y_0)=(-5;-1)$. Do đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (II) gồm: $x+y\ge 5$, $x-2y\le 2$, $y\le 3$. Các đỉnh của miền (phần liên tiếp) là giao của các cặp đường thẳng: $x+y=5$ với $x-2y=2$ cho $(4;1)$; $x+y=5$ với $y=3$ cho $(2;3)$; $x-2y=2$ với $y=3$ cho $(8;3)$. Miền không bị chặn về phía $x$ lớn và $y$ nhỏ. Xét $f(x;y)=2x-5y$ trên miền: trên cạnh $y=3$ với $x\ge 2$ thì $f=2x-15$ tăng theo $x$, nhỏ nhất tại $(2;3)$ bằng $-11$; trên cạnh $x+y=5$ với $1\le y\le 3$ thì $f=10-7y$ nhỏ nhất tại $y=3$ bằng $-11$; tại $(4;1)$: $f=3$; tại $(8;3)$: $f=1$. Vậy $\min f=-11$ đạt tại $(2;3)$. Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thuộc miền khi và chỉ khi $m\ge -\min f=11$. Các giá trị nguyên $m\in [-20;20]$ thỏa mãn: $m\in \{11,12,\dots ,20\}$, gồm $10$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (*) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- $3x-y=-1$ và $2x+y=6$: cộng hai phương trình được $5x=5\Rightarrow x=1,y=4$, điểm $A(1;4)$, thỏa $x+3y=13\ge 3$.
- $2x+y=6$ và $x+3y=3$: từ $x=3-3y$ thay vào được $6-5y=6\Rightarrow y=0,x=3$, điểm $B(3;0)$, thỏa $3x-y=9\ge -1$.
- $3x-y=-1$ và $x+3y=3$: từ $y=3x+1$ thay vào được $10x+3=3\Rightarrow x=0,y=1$, điểm $C(0;1)$, thỏa $2x+y=1\le 6$.

Vì $f(x;y)=2x-3y+1$ là hàm tuyến tính nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt tại đỉnh của miền tam giác:
- $f(A)=f(1;4)=2-12+1=-9$.
- $f(B)=f(3;0)=6-0+1=7$.
- $f(C)=f(0;1)=0-3+1=-2$.

Vậy $\max f=f(3;0)=7$ và $\min f=f(1;4)=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số đơn vị vitamin $A$ và $B$ dùng mỗi ngày. Hệ ràng buộc:
$$400\le x+y\le 1000,0\le x\le 600,0\le y\le 500,\frac{x}{2}\le y\le 3x.$$
Chi phí $P=9x+7,5y$ cần nhỏ nhất.

Vì giá mỗi đơn vị $A$ (9 đồng) cao hơn $B$ (7,5 đồng), ta xét các đỉnh của miền nghiệm:
- Giao $y=3x$ với $x+y=400$: $x=100,y=300$ (thỏa mọi ràng buộc), $P=900+2250=3150$ đồng.
- Giao $y=\frac{x}{2}$ với $x+y=400$: $x=\frac{800}{3},y=\frac{400}{3}$, $P=2400+1000=3400$ đồng.
- Giao $y=500$ với $y=3x$: $x=\frac{500}{3}$, $P=1500+3750=5250$ đồng.
- Giao $y=500$ với $x+y=1000$: $x=500$, $P=8250$ đồng.
- Giao $x=600$ với $x+y=1000$: $x=600,y=400$, $P=8400$ đồng; với $y=\frac{x}{2}$: $x=600,y=300$, $P=7650$ đồng.

So sánh, chi phí nhỏ nhất là $3150$ đồng tại $x=100,y=300$. Vậy mỗi ngày nên dùng 100 đơn vị vitamin $A$ và 300 đơn vị vitamin $B$, chi phí rẻ nhất là 3150 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ là số máy hai chiều và một chiều ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: $20x+10y\le 1200$ (triệu đồng), $x+y\le 100$. Lợi nhuận $P=3,5x+2y$ (triệu đồng).

Vì tổng số máy không quá 100 và vốn cho phép mua thêm máy hai chiều (đắt hơn nhưng lợi nhuận/máy cao hơn: $3,5>2$ triệu/máy), ta dùng hết chỉ tiêu số máy: $y=100-x$. Khi đó vốn: $20x+10(100-x)\le 1200\iff 10x\le 200\iff x\le 20$.

Lợi nhuận: $P=3,5x+2(100-x)=200+1,5x$, tăng theo $x$ nên lớn nhất tại $x=20$, khi đó $y=80$, $P=230$ triệu đồng (vốn dùng đúng $1200$ triệu).

Vậy $x+y=20+80=100$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $4(x-1)+5(y-3)>2x-9\iff 4x-4+5y-15>2x-9\iff 2x+5y-10>0$. Thử lần lượt các điểm: $(0;0)$: $-10>0$ sai; $(1;1)$: $2+5-10=-3>0$ sai; $(-1;1)$: $-2+5-10=-7>0$ sai; $(2;5)$: $4+25-10=19>0$ đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $3x+2(y+3)>4(x+1)-y+3\iff 3x+2y+6>4x-y+7\iff -x+3y-1>0\iff x-3y+1<0$. Thử các điểm: $(3;0)$: $3-0+1=4>0$ (loại); $(3;1)$: $3-3+1=1>0$ (loại); $(1;1)$: $1-3+1=-1<0$ (thỏa); $(0;0)$: $1>0$ (loại). Vậy miền nghiệm chứa điểm $(1;1)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào $x-4y+5\ge 0$:
- A $(-5;0)$: $-5-4\cdot 0+5=0\ge 0$ → là nghiệm.
- B $(-2;1)$: $-2-4\cdot 1+5=-1<0$ → không là nghiệm.
- C $(1;-3)$: $1-4(-3)+5=18\ge 0$ → là nghiệm.
- D $(0;0)$: $0-0+5=5\ge 0$ → là nghiệm.
Vậy cặp không là nghiệm là $(-2;1)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. A có ba ẩn $(x,y,z)$; B và C có ẩn bậc hai $x^2$; chỉ có $2x+3y<5$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên $3x-2y=-6$ cắt trục $Ox$ tại $(-2;0)$ và trục $Oy$ tại $(0;3)$. Vì bất phương trình có dấu $>$ (không lấy biên) nên đường biên được vẽ nét đứt. Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể biên) chứa gốc tọa độ, tức phía bên phải đường thẳng. Hình B có biên đi qua $-2$ trên trục $Ox$ và $3$ trên trục $Oy$, phần gạch chéo chứa gốc tọa độ, nên đáp án là B. Hình A sai vì biên đi qua $2$ trên trục $Ox$; C và D sai vì miền gạch chéo không chứa gốc tọa độ.