Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x,y$. Xét từng phương án: A chứa $x+z>4$ có ba ẩn (x, y, z) nên không phải; C chứa $\frac{2}{x}-y\le 4$ có ẩn ở mẫu nên không bậc nhất; D chứa $x+y^2>3$ có ẩn $y$ bậc hai nên không phải. Phương án B: $\{\begin{array}{l}3x+y\le 11\\ x-y<5\end{array}$ cả hai bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn $x,y$, nên B là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mỗi sản phẩm I cần 3 giờ, mỗi sản phẩm II cần 2 giờ nên tổng thời gian là $3x+2y$ (giờ), không phải $2x+3y$. b) Đúng: tổng thời gian không vượt quá 150 giờ nên $3x+2y\le 150$. c) Sai: với $x=25,y=40$ thì $3\cdot 25+2\cdot 40=75+80=155>150$, vượt quá thời gian cho phép. d) Đúng: đường thẳng $3x+2y=150$ đi qua $(0;75)$ và $(50;0)$ như hình vẽ; miền nghiệm $3x+2y\le 150$ (chứa gốc tọa độ $O$ vì $3\cdot 0+2\cdot 0=0\le 150$) là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $3x+2y$ giờ (loại I cần 3 giờ/sản phẩm, loại II cần 2 giờ/sản phẩm), không phải $2x+3y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhà máy có tối đa 150 giờ mỗi tuần nên $3x+2y\le 150$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 25+2\cdot 40=155>150$ nên phương án này không khả thi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x+2y=150$ cắt trục tung tại $(0;75)$ và trục hoành tại $(50;0)$; miền nghiệm chứa $O(0;0)$ là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng phí cố định: 22 ngày làm việc × 500 = 11 000 nghìn đồng; 8 ngày cuối tuần × 800 = 6 400 nghìn đồng, tổng 17 400 nghìn đồng. Phí theo quãng đường: $10x+15y$ (nghìn đồng). Tổng tiền không quá 50 triệu đồng = 50 000 nghìn đồng: $17400+10x+15y\le 50000⟺10x+15y\le 32600⟺2x+3y\le 6520$. Vậy $a=2$, $c=6520$, $c-a=6518$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay y = -2 vào hệ: bất phương trình thứ nhất trở thành x - 5(-2) ≥ 2 ⟺ x + 10 ≥ 2 ⟺ x ≥ -8. Bất phương trình thứ hai: 3x + (-2) < 21 ⟺ 3x < 23 ⟺ x < 23/3 ≈ 7,67. Vậy m phải thỏa -8 ≤ m < 23/3, tức m ∈ {-8, -7, ..., 7}. Số giá trị nguyên là 7 - (-8) + 1 = 16. Kết quả trùng với đáp án nguồn (16).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số học sinh mua combo, $y$ là số học sinh chỉ mua nước ngọt, $z$ là số học sinh chỉ mua bông ngô. Vì 35 học sinh mua nước ngọt nên $x+y=35$; vì 50 học sinh mỗi người mua ít nhất một món nên $x+y+z=50$, suy ra $z=15$. Tổng tiền (nghìn đồng): $95x+28y+74z=3095$. Thay $y=35-x$, $z=15$: $95x+28(35-x)+74\cdot 15=3095\Rightarrow 67x+980+1110=3095\Rightarrow 67x=1005\Rightarrow x=15$. Vậy $y=20$, $z=15$. Số học sinh mua bông ngô là $x+z=15+15=30$. Kiểm tra: $15\cdot 95+20\cdot 28+15\cdot 74=1425+560+1110=3095$ (nghìn đồng) đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện: vốn $15x+30y\le 1200$ (triệu đồng), tổng số xe $x+y\le 50$, và $x\ge 0$, $y\ge 0$. Vậy hệ bất phương trình là $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ 15x+30y\le 1200\end{array}$$ b) Lợi nhuận $P=3x+5y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $O(0;0)$, $A(50;0)$, $B(0;40)$ (vì $30y\le 1200\Rightarrow y\le 40$), và $C$ là giao của $x+y=50$ với $15x+30y=1200$: thay $y=50-x$ ta được $15x+30(50-x)=1200\Rightarrow 1500-15x=1200\Rightarrow x=20$, $y=30$, tức $C(20;30)$. Tính $P$ tại các đỉnh: $P(O)=0$; $P(A)=3\cdot 50=150$; $P(B)=5\cdot 40=200$; $P(C)=3\cdot 20+5\cdot 30=60+150=210$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $210$ triệu đồng, đạt được khi nhập $20$ xe loại $A$ và $30$ xe loại $B$ (kiểm tra: vốn $15\cdot 20+30\cdot 30=1200$ triệu $\le 1200$, tổng xe $50\le 50$, thỏa mãn).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $y=x+2$, tức $x-y=-2$. Đường này được vẽ nét đứt nên bất phương trình có dấu nghiêm ngặt. Miền không gạch chéo nằm về phía dưới-phải của đường thẳng, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Thay $O(0;0)$: $x-y=0>-2$, vậy miền nghiệm là $x-y>-2$. Kiểm tra thêm điểm $(2;0)$ thuộc miền không gạch chéo: $2-0=2>-2$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 3727, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-2,y=1$ vào từng bất phương trình: A) $y=1>0$ đúng; B) $x=-2<0$ đúng; C) $2x+y=2(-2)+1=-3>0$ sai, nên $(-2;1)$ không là nghiệm của $2x+y>0$; D) $2x-y=2(-2)-1=-5<0$ đúng. Vậy cặp số $(-2;1)$ không là nghiệm của bất phương trình ở phương án C, trùng với đáp án nguồn.

Điểm $A(a;b)$ thuộc miền nghiệm của $x-1\ge 0$ nên $a-1\ge 0\iff a\ge 1$. Chọn A.

Thay tọa độ các điểm vào hệ: với $P(1;5)$ ta có $1\ge 0$ và $1-5+4=0\le 0$ (thỏa mãn); các điểm $M,N,Q$ đều không thỏa mãn $x-y+4\le 0$. Chọn C.

a) Hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đúng.

b) Với $(x;y)=(3;4)$: $4.3+5.4=32>10$ nên không thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Sai.

c) Đường thẳng $x=0$ cắt $4x+5y=10$ tại $A(0;2)$, cắt $5x-4y=10$ tại $C\left(0;-\frac{5}{2}\right)$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$ được $B\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Điểm $O(0;0)$ thỏa mãn hai bất phương trình sau nên miền nghiệm là miền tam giác $ABC$ (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đúng.

d) $F(x;y)=x-2y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tam giác $ABC$. Ta có $F(0;2)=-4$, $F\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)=\frac{70}{41}$, $F\left(0;-\frac{5}{2}\right)=5$. Vậy $F$ nhỏ nhất bằng $-4$ tại $(x_0;y_0)=(0;2)$, suy ra $y_0-x_0=2$. Sai.
a) Hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đúng.
b) Với $(x;y)=(3;4)$: $4.3+5.4=32>10$ nên không thỏa mãn bất phương trình thứ ba. Sai.
c) Đường thẳng $x=0$ cắt $4x+5y=10$ tại $A(0;2)$, cắt $5x-4y=10$ tại $C\left(0;-\frac{5}{2}\right)$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}5x-4y=10\\ 4x+5y=10\end{array}$ được $B\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Điểm $O(0;0)$ thỏa mãn hai bất phương trình sau nên miền nghiệm là miền tam giác $ABC$ (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đúng.
d) $F(x;y)=x-2y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tam giác $ABC$. Ta có $F(0;2)=-4$, $F\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)=\frac{70}{41}$, $F\left(0;-\frac{5}{2}\right)=5$. Vậy $F$ nhỏ nhất bằng $-4$ tại $(x_0;y_0)=(0;2)$, suy ra $y_0-x_0=2$. Sai.

$(2;3)$ là nghiệm của $2x+my\le 15$ khi $4+3m\le 15\iff m\le \frac{11}{3}$. Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3\}$. Đáp án: 3.

Vẽ đường thẳng $d:3x+y=3$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$. Thay $O(0;0)$ vào bất phương trình: $3.0+0=0\ge 3$ là sai nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm của bất phương trình $3x+y\ge 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by\ge c$ (hoặc $>,\le ,<$), trong đó $a,b$ không đồng thời bằng $0$. Do đó $x\ge y$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Chọn C.

Bờ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $(4;-2)$, có phương trình $x+2y=0$. Điểm $(0;-1)$ thuộc miền tô đậm và $0+2.(-1)=-2\le 0$. Vậy miền tô đậm (kể cả bờ) là miền nghiệm của $x+2y\le 0$. Chọn B.

Điểm $(0;1)$ thuộc miền không gạch, và $0-3\cdot 1=-3\le 0$, $0+2\cdot 1=2\le 4$.

Điểm này không thỏa mãn $x+2y\ge 4$ (phương án A), $x-3y>0$ (phương án B), $x-3y\ge 0$ (phương án D).

Vậy miền không gạch là miền nghiệm của hệ $$\{\begin{array}{l}x-3y\le 0\\ x+2y\le 4\end{array}$$

Thay $(1;-2)$: $1-3\cdot (-2)=7>5$ và $2\cdot 1+(-2)=0<3$, thỏa mãn hệ.

Các điểm còn lại không thỏa mãn:

$(3;1)$: $3-3\cdot 1=0>5$ sai.

$(3;-1)$: $2\cdot 3+(-1)=5<3$ sai.

$(1;2)$: $1-3\cdot 2=-5>5$ sai.

Gọi $x$, $y$ (ha) lần lượt là diện tích trồng cà phê và ca cao, với $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Tổng diện tích không quá 10 ha: $x+y\le 10$.

Số công chăm sóc cà phê không vượt quá 80: $20x\le 80\iff x\le 4$.

Cà phê do gia đình tự chăm sóc, nên lợi nhuận mỗi ha là 10 triệu đồng.

Ca cao phải thuê 30 công mỗi ha, chi phí $30\cdot 100.000=\mathrm{3.000.000}$ đồng, nên lợi nhuận mỗi ha là $12-3=9$ triệu đồng.

Lợi nhuận thu được là $F=10x+9y$ (triệu đồng).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của $F$ với $$\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ x+y\le 10\\ x\le 4\end{array}$$

Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OMNQ$ với $O(0;0)$, $M(4;0)$, $N(4;6)$, $Q(0;10)$.

$F(0;0)=0$, $F(4;0)=40$, $F(4;6)=10\cdot 4+9\cdot 6=94$, $F(0;10)=90$.

Giá trị lớn nhất của $F$ là 94, đạt được khi $x=4$, $y=6$.

Vậy gia đình bác An cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha ca cao. Khi đó lợi nhuận lớn nhất là 94.000.000 đồng.

Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình $2x+y>1$:

$H(3;3):2\cdot 3+3=9>1$ (đúng).

$G(-1;-1):2\cdot (-1)+(-1)=-3>1$ (sai).

$L(1;1):2\cdot 1+1=3>1$ (đúng).

$J(2;2):2\cdot 2+2=6>1$ (đúng).

Vậy miền nghiệm không chứa điểm $G(-1;-1)$.

$2x+3y<0$ có dạng $ax+by<c$ với $a$, $b$ không đồng thời bằng $0$. Các bất phương trình còn lại chứa $x^2$, $y^2$ hoặc $xy$.