Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số bàn và số ghế anh An đóng trong một tuần ($x,y\in \mathbb{N}$).

**Ràng buộc:**
- Thời gian: $6x+3y\le 60\iff 2x+y\le 20$.
- Số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất 2 lần: $y\ge 2x$.
- $x\ge 0,y\ge 0$.

**Hàm mục tiêu:** Lãi $P=150x+100y$ (nghìn đồng).

**Giải:** Miền nghiệm giới hạn bởi $2x+y\le 20$, $y\ge 2x$, $x\ge 0$. Từ $y\ge 2x$ suy ra $2x+2x\le 2x+y\le 20\Rightarrow x\le 5$.

Với mỗi $x$, lãi lớn nhất khi $y$ lớn nhất, tức $y=20-2x$ (thỏa $y\ge 2x$ vì $x\le 5$). Khi đó:
$$P=150x+100(20-2x)=2000-50x.$$
Hàm số giảm theo $x$, nên $P$ lớn nhất khi $x=0$, khi đó $y=20$, $P=2000$ nghìn đồng $=2$ triệu đồng.

Kiểm tra: $x=0,y=20$ thỏa $6\cdot 0+3\cdot 20=60\le 60$ và $20\ge 2\cdot 0$.

So sánh: tại $x=5,y=10$ thì $P=1750$ nghìn; tại $x=0,y=20$ thì $P=2000$ nghìn — lớn nhất.

**Kết luận:** Anh An nên đóng $0$ cái bàn và $20$ cái ghế mỗi tuần để lãi lớn nhất, đạt $2000000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua $(2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $x+y=2$, vẽ nét đứt nên bất phương trình là bất đẳng thức ngặt. Trên hình, phần bị gạch chéo là nửa mặt phẳng chứa gốc $O$ (vì $0+0=0<2$), tức miền $x+y<2$. Do đó phần không bị tô (miền nghiệm) là nửa mặt phẳng phía trên - phải của đường thẳng, tức miền $x+y>2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng lúa, $y$ (ha) là diện tích trồng khoai ($x,y\ge 0$). Ràng buộc: $x+y\le 6$ (đất); $20x+10y\le 100\iff 2x+y\le 10$ (phân bón); $10x+30y\le 120\iff x+3y\le 12$ (ngày công). Lợi nhuận $P=30x+60y$ (triệu đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao của $2x+y=10$ và $x+3y=12$: giải hệ được $x=3,6;y=2,8$; giao của $x+3y=12$ và $x+y=6$: $(3;3)$; giao của $x+y=6$ và $2x+y=10$: $(4;2)$; $(0;4)$. Kiểm tra các đỉnh thoả mọi ràng buộc: $(5;0)$: $P=150$; $(4;2)$: phân $=100$, công $=100$, $P=240$; $(3;3)$: phân $=90$, công $=120$, $P=270$; $(3,6;2,8)$: phân $=100$, công $=120$, $P=30\cdot 3,6+60\cdot 2,8=108+168=276$; $(0;4)$: $P=240$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là 276 triệu đồng khi trồng $3,6$ ha lúa và $2,8$ ha khoai.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ: $P(1;-3)$: $y=-3<0$ loại. $N(-1;3)$: $x=-1<0$ loại. $M(1;0)$: $x+3y-2=1-2=-1<0$ loại. $Q(1;1)$: $1+3-2=2\ge 0$, $x=1\ge 0$, $y=1\ge 0$ thỏa tất cả. Vậy $Q(1;1)$ thuộc miền nghiệm, khớp đáp án D trong bảng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đường thẳng $3x-2y=-6$: với $x=0$ ta có $y=3$; với $y=0$ ta có $x=-2$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$, nên loại hình A (đường thẳng cắt trục tại $(2;0)$ và $(0;3)$).
Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$, tức $O$ không thỏa mãn $3x-2y\le -6$. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$, tức phía trên-bên trái đường thẳng.
Xét các hình còn lại (đều có đường thẳng đi qua $(-2;0)$ và $(0;3)$):
- Hình B: phần bị gạch là phía trên-bên trái (không chứa $O$), nên miền không gạch chứa $O$ → sai.
- Hình D: phần bị gạch là phía dưới-bên trái (chứa $O$), miền không gạch là phía trên-bên phải → sai (đó là miền của $3x-2y\ge -6$).
- Hình C: phần bị gạch là phía dưới-bên phải (chứa $O$), nên miền không bị gạch là phía trên-bên trái, không chứa $O$ → đúng là miền nghiệm của $3x-2y\le -6$.
Vậy miền nghiệm (miền không bị gạch) là Hình C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng.
b) M(4;2): x+y=6>5 nên M không thuộc miền nghiệm → Sai.
c) Miền nghiệm có các đỉnh (0;0), (4;0), (3;2) (giao x+y=5 và 2x+y=8), (0;5): là tứ giác → Đúng.
d) F=5x+4y tại các đỉnh: (0;0):0, (4;0):20, (3;2):23, (0;5):20. Max tại (3;2), y0−x0=2−3=−1≠−2 → Sai. Khớp đáp án mã đề 1001: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tất cả các bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại M(4;2): x+y=6>5 vi phạm bất phương trình x+y≤5 nên M không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (0;0), (4;0), (3;2), (0;5), trong đó (3;2) là giao của x+y=5 và 2x+y=8.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=5x+4y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh (3;2) với F=23 (so với 20 tại (4;0) và (0;5)). Khi đó y0−x0=2−3=−1≠−2.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ (bờ của miền nghiệm) đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(2;0)$ (theo hình vẽ), nên phương trình của $d$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$, tức $x+y=2$. Miền nửa mặt phẳng không bị gạch là miền nghiệm của $mx+y\ge n$ với bờ là $d$, suy ra $m=1$, $n=2$. Khi đó $S=3m-n=3\cdot 1-2=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1001: 1).

Gọi x, y lần lượt là số bàn và số ghế sản xuất trong một ngày (x, y là các số nguyên không âm). Điều kiện: $1,5x+y\le 24$; $x+2y\le 32$; $y\le 3,5x$. Lập được hệ Bpt: $$\{\begin{array}{l}1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3,5x-y\ge 0\\ x\ge 0,y\ge 0\\ x;y\in \mathbb{Z}\end{array}$$ Lợi nhuận (nghìn đồng) là $P=600x+450y$. Cần tìm P lớn nhất trong miền nghiệm của hệ bất phương trình. Biểu diễn đúng miền nghiệm của hệ Bpt. Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác OABC với $O(0;0)$, $A(4;14)$, $B(8;12)$, $C(16;0)$. Thay tọa độ các điểm vào P ta được giá trị lớn nhất bằng 10 200 khi $x=8$ và $y=12$. Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất là 10 200 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $\ge ,<,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, tức là ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A: $x+2y\le 1$ có $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. B: $3x+y^2\le 1$ có $y^2$ bậc hai, không thỏa. C: $2x^2-3y\ge 1$ có $x^2$ bậc hai, không thỏa. D: $3xy+1\le 0$ có hạng tử $xy$ bậc hai, không thỏa. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm giới hạn bởi các đường $x=-1$, $y=0$, $x+y=0$. Ba giao điểm: $(-1;0)$, $(0;0)$, $(-1;1)$ (vì $x=-1$ cắt $x+y=0$ tại $y=1$). Tam giác vuông tại $(0;0)$ với hai cạnh góc vuông bằng $1$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ (đvdt). Khớp với đáp án B.

Thay $(1;2)$ vào hệ: $1-2.2=-3<0$ ; $1+3.2=7>-2$ ; $1-2=-1<3$ . Cả ba bất phương trình đều đúng nên $(1;2)$ thuộc miền nghiệm.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by<c$ (hoặc $ax+by>c$, $ax+by\le c$, $ax+by\ge c$), trong đó $a,b,c\in \mathbb{R}$ và $a,b$ không đồng thời bằng 0. Chỉ có $2x+y>5$ thỏa mãn.

Điều kiện: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$.
a) Sai. Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(8;0)$, $B(6;2)$, $C(0;6)$ ($B$ là giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$), không phải tam giác.
b) Sai. Tổng lợi nhuận là $T=3x+4y$ (triệu đồng).
c) Đúng. Tổng diện tích trồng rau và hoa là $x+y$ (ha).
d) Đúng. Hệ là $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.
a) Sai. Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(8;0)$, $B(6;2)$, $C(0;6)$ ($B$ là giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$), không phải tam giác.
b) Sai. Tổng lợi nhuận là $T=3x+4y$ (triệu đồng).
c) Đúng. Tổng diện tích trồng rau và hoa là $x+y$ (ha).
d) Đúng. Hệ là $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

Miền nghiệm của hệ (I) là tam giác với các đỉnh là giao điểm của từng cặp đường thẳng:

$x+y=4$ và $2x-y=2$ cho $(2;2)$; $x+y=4$ và $y=3$ cho $(1;3)$; $2x-y=2$ và $y=3$ cho $\left(\frac{5}{2};3\right)$.

Xét $F=2x-5y$, giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền tam giác đạt tại một trong các đỉnh:

$F(2;2)=-6$; $F(1;3)=-13$; $F\left(\frac{5}{2};3\right)=-10$. Suy ra $\min F=-13$.

Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thỏa mãn (I) khi và chỉ khi

$-13+m\ge 0\iff m\ge 13$.

Kết hợp $m\in [10;20]$, $m$ nguyên dương ta được $m\in \{13;14;\dots ;20\}$. Vậy có 8 giá trị.

Đường thẳng đi qua $(0;4)$ và $(2;0)$ có phương trình $2x+y=4$. Điểm $O(0;0)$ thuộc phần không bị gạch và $2\cdot 0+0\le 4$ đúng, đường thẳng được vẽ liền nên miền nghiệm là của bất phương trình $2x+y\le 4$. Chọn A.

Doanh thu là $60000x+40000y$ (đồng). Điều kiện: $60000x+40000y\ge 1000000\iff 3x+2y\ge 50$. Suy ra $m=2$, $n=50$, $T=2^2+50^2=2504$. Đáp số: 2504.

a) Điều kiện $x\ge 0$, $y\ge 0$. Lượng bột cần dùng là $0,3x+0,4y\le 18$, lượng đường cần dùng là $0,3x+0,2y\le 15$. Hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+4y\le 180\\ 3x+2y\le 150\end{array}.$$

b) Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OMNP$ (kể cả biên) với $O(0;0)$, $M(0;45)$, $N(40;15)$, $P(50;0)$, trong đó $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $3x+4y=180$ và $3x+2y=150$.

Doanh thu $F=100x+80y$ (triệu đồng). Ta có $F(0;0)=0$, $F(0;45)=3600$, $F(40;15)=4000+1200=5200$, $F(50;0)=5000$.

Vậy doanh thu tối đa là 5200 triệu đồng, đạt được khi sản xuất 40 tấn thực phẩm X và 15 tấn thực phẩm Y.

Thay tọa độ các điểm vào hệ: $A(5;-1):2\cdot 5-(-1)=11<6$ sai; $C(2;1):2+1=3\ge 3$ đúng, $2\cdot 2-1=3<6$ đúng; $D(3;-2):3-2=1\ge 3$ sai; $B(4;-2):4-2=2\ge 3$ sai. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x-y\ge -1\\ x-3y\ge 0\end{array}$:
- $M(-3;2)$: $x-y=-5<-1$, $x-3y=-9<0$, loại.
- $P(1;1)$: $x-y=0\ge -1$ nhưng $x-3y=-2<0$, loại.
- $N(-2;0)$: $x-y=-2<-1$, $x-3y=-2<0$, loại.
- $Q(3;-2)$: $x-y=5\ge -1$ và $x-3y=9\ge 0$, thỏa cả hai bất phương trình.
Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $Q(3;-2)$, khớp đáp án nguồn (mã đề 3727, câu 1: D).