Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mọi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn. Ở phương án D, bất phương trình $x^2+2y\le 15$ chứa $x^2$ nên không phải bậc nhất. Các hệ A, B, C đều chỉ gồm các bất phương trình bậc nhất (B có $y+3\le \pi$ vẫn bậc nhất vì $\pi$ là hằng số; C có $-3<x\le 5$ chỉ chứa ẩn $x$ nhưng vẫn bậc nhất). Vậy hệ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với $x,y$ (ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất, không có tích $xy$, không có mẫu chứa ẩn).
- A: có $x^2+3y>2$ chứa $x^2$ → không phải.
- B: có $x+3xy>0$ chứa tích $xy$ → không phải.
- C: có $\frac{3}{2x}+y>1$ có mẫu chứa ẩn → không phải.
- D: $\{\begin{array}{l}x-y<-2\\ 4x>1\end{array}$: cả hai bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn → là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(0;-3)$ vào từng hệ. A: $2x-y=3\le 3$ đúng nhưng $x+y=-3\le -8$ sai. B: $x-y=3>1$ đúng nhưng $y=-3\le 2x-5=-5$ sai. C: $2x-y=3\le 3$ đúng và $x-3y=0+9=9>8$ đúng, nên $M$ thuộc miền nghiệm. D: $x-2y=6\ge 3$ đúng nhưng $2x=0\ge y+8=5$ sai. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng biên là $x-2y=0$ (đi qua gốc $O$) và $x+3y+2=0$ (đi qua $(-2;0)$). Miền không gạch sọc là góc phía trên nằm giữa hai đường thẳng. Lấy điểm thử $(0;1)$ thuộc miền này: $x-2y=-2\le 0$ và $x+3y+2=5\ge -2$ (tức $x+3y\ge -2$). Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x+3y\ge -2\end{array}$. Miền kể bờ nên lấy dấu $\le ,\ge$ (loại D). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}$: A $(0;4)$: $0+4-2=2>0$ loại. B $(-3;1)$: $-3+1-2=-4\le 0$ thỏa, nhưng $2(-3)-3(1)+2=-7<0$ loại. C $(-1;1)$: $-1+1-2=-2\le 0$ thỏa, nhưng $2(-1)-3(1)+2=-3<0$ loại. D $(1;-1)$: $1+(-1)-2=-2\le 0$ thỏa và $2(1)-3(-1)+2=7>0$ thỏa. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $5x+y\le 6$.
a) Sai: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm (ví dụ $(0;0)$, $(1;0)$, $(0;1)$ đều là nghiệm), không thể chỉ có một nghiệm duy nhất.
b) Sai: Thay $O(0;0)$: $5\cdot 0+0=0\le 6$ (đúng), nên miền nghiệm có chứa gốc tọa độ $O(0;0)$.
c) Đúng: Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $5x+y=6$ (kể cả bờ do dấu $\le$).
d) Đúng: Vì dấu là $\le$ (không ngặt), mọi điểm trên đường thẳng $5x+y=6$ đều thỏa mãn, nên miền nghiệm chứa cả đường thẳng này.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm, ví dụ $(0;0)$, $(1;0)$ đều là nghiệm, nên không có nghiệm duy nhất.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $5\cdot 0+0=0\le 6$ đúng, nên miền nghiệm chứa gốc tọa độ O.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $5x+y=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Do dấu $\le$ không ngặt, mọi điểm trên đường thẳng $5x+y=6$ đều thỏa mãn nên miền nghiệm chứa đường thẳng này.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $2x-5y\le 8$. Thay từng cặp: a) $(3;-4)$: $2\cdot 3-5\cdot (-4)=6+20=26>8$ nên không là nghiệm → khẳng định a) Đúng. b) $(-2;2)$: $2\cdot (-2)-5\cdot 2=-4-10=-14\le 8$ nên là nghiệm → khẳng định 'không là nghiệm' Sai. c) $(-3;-1)$: $2\cdot (-3)-5\cdot (-1)=-6+5=-1\le 8$ nên là nghiệm → Đúng. d) $(5;0)$: $2\cdot 5-0=10>8$ nên không là nghiệm → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2(3)-5(-4)=26>8$, không thỏa bất phương trình nên $(3;-4)$ không là nghiệm → khẳng định Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2(-2)-5(2)=-14\le 8$, thỏa bất phương trình nên $(-2;2)$ là nghiệm → khẳng định 'không là nghiệm' Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2(-3)-5(-1)=-1\le 8$, thỏa bất phương trình nên $(-3;-1)$ là nghiệm → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2(5)-5(0)=10>8$, không thỏa bất phương trình nên $(5;0)$ không là nghiệm → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ($x+2y\le 30$, $y>5$, $-2x+6y>40$), nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng.
b) Thay $(-2;8)$: $x+2y=-2+16=14\le 30$ (thỏa); $y=8>5$ (thỏa); $-2x+6y=4+48=52>40$ (thỏa). Vậy $(-2;8)$ là nghiệm của hệ → Đúng.
c) Thay $(3;1)$: $y=1>5$ sai, nên $(3;1)$ không là nghiệm → Sai.
d) Thay $(-2;-1)$: $y=-1>5$ sai, nên $(-2;-1)$ không là nghiệm → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(-2;8)$: $14\le 30$, $8>5$, $52>40$, thỏa cả ba bất phương trình nên là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(3;1)$: $y=1$ không thỏa $y>5$ nên không là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(-2;-1)$: $y=-1$ không thỏa $y>5$ nên không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng ngô, $y$ (ha) là diện tích trồng đậu xanh ($x,y\ge 0$). Điều kiện: $x+y\le 8$ (diện tích đất) và $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$ (ngày công). Số tiền thu được: $P=40x+50y$ (triệu đồng), cần max $P$.

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh: $(0;0)$, $(8;0)$, giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$, và $(0;6)$.

Tìm giao điểm: từ $x+y=8\Rightarrow x=8-y$, thay vào $2(8-y)+3y=18\Rightarrow 16+y=18\Rightarrow y=2$, $x=6$. Đỉnh $(6;2)$.

Tính $P$ tại các đỉnh:
- $P(0;0)=0$
- $P(8;0)=40\cdot 8=320$ triệu đồng
- $P(6;2)=40\cdot 6+50\cdot 2=240+100=340$ triệu đồng
- $P(0;6)=50\cdot 6=300$ triệu đồng

Vậy $P_{\max }=340$ triệu đồng tại $x=6$, $y=2$. Kiểm tra: $6+2=8\le 8$ ha; $20\cdot 6+30\cdot 2=180\le 180$ ngày công. Đều thỏa mãn.

Kết luận: Bác Năm nên trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh để thu được nhiều tiền nhất là 340 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $2x-3y>0$ có $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. B: $x^2+y^2<2$ có ẩn bậc hai, không thỏa. C: $x+y^2\ge 0$ có $y^2$ bậc hai, không thỏa. D: $x^2-3y\ge 8$ có $x^2$ bậc hai, không thỏa. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+5y-3\le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x+5y-3=0$ (kể cả bờ), chứa ví dụ $(0,0)$ vì $0\le 0$ đúng. Miền này chứa vô số điểm, nên bất phương trình có vô số nghiệm. Nó không chỉ có một nghiệm (loại A), không vô nghiệm (loại B), và không có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ vì ví dụ $(10,0)$ cho $7\le 0$ sai (loại D). Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên $x-y=-2$ tức $y=x+2$ đi qua $(0;2)$ và $(-2;0)$, hệ số góc $1$. Miền nghiệm $x-y\ge -2$ tức $y\le x+2$ là nửa mặt phẳng nằm dưới đường thẳng (thử điểm $O(0;0)$: $0-0=0\ge -2$ đúng, nên gốc tọa độ thuộc miền nghiệm). Trong các hình, chỉ có hình D vẽ đường thẳng qua $(-2;0)$ và $(0;2)$ với phần tô đậm phía dưới đường thẳng chứa gốc $O$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x+2y=6$ đi qua $(0;3)$ và $(2;0)$, đúng như đường thẳng màu xanh trong hình. Miền không gạch chéo nằm phía trên trục $Ox$ (nên $y\ge 0$) và phía trên-trái đường thẳng (thử điểm $(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0\le 6$, gốc tọa độ thuộc miền không gạch chéo), tức là $3x+2y\le 6$. Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}y\ge 0\\ 3x+2y\le 6\end{array}$. Các phương án B, C, D không khớp: B có $3x+2y\le -6$ (đường thẳng sai), C và D dùng $x\ge 0$ thay vì $y\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc: $x\ge 0$, $0\le y\le 5$, $x+y\ge 2$, $x-y\le 2$. Hàm mục tiêu $f=x-2y$ đạt GTLN/GTNN tại đỉnh của miền đa giác. Các đỉnh: giao của $x+y=2$ và $x-y=2$ là $(2;0)$, $f=-2$; giao của $x=0$ và $x+y=2$ là $(0;2)$, $f=-4$; giao của $x=0$ và $y=5$ là $(0;5)$ (thỏa $x+y=5\ge 2$, $x-y=-5\le 2$), $f=0-10=-10$; giao của $y=5$ và $x-y=2$ là $(7;5)$, $f=-3$. Vậy giá trị nhỏ nhất là $-10$ tại $(0;5)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng cách thay điểm $O(0;0)$ vào bất phương trình.
a) $3-2y>0$: tại $O$ ta có $3-2\cdot 0=3>0$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3-2y=0$ chứa $O$; dấu $>$ nên không kể bờ. Mệnh đề đúng.
b) $2x+y>1$: tại $O$ ta có $0>1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$. Mệnh đề sai.
c) $2x-y\ge 1$: tại $O$ ta có $0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-y=1$ không chứa $O$ (dù kể bờ). Mệnh đề sai.
d) $-2x+3y\le -5$ tương đương $2x-3y\ge 5$: tại $O$ ta có $0\ge 5$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-3y=5$ không chứa $O$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $3-2\cdot 0=3>0$ đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3-2y=0$ chứa $O$, không kể bờ vì dấu là $>$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0+0=0>1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x+y=1$ không chứa $O$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0-0=0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-y=1$ không chứa $O$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$-2x+3y\le -5$ tương đương $2x-3y\ge 5$; thay $O(0;0)$: $0\ge 5$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-3y=5$ không chứa $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Đội cần 3 giờ cho mỗi sản phẩm loại I và 2,5 giờ cho mỗi sản phẩm loại II, thời gian tối đa 20 giờ. a) Sai: tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$ (mệnh đề đã hoán đổi hệ số). b) Sai: bất phương trình đúng phải là $3x+2,5y\le 20$ (mệnh đề viết $3x+2,5x<20$, vừa sai hệ số của $y$, vừa sai dấu và dùng cùng biến $x$). c) Đúng: với $(x;y)=(3;4)$, $x,y\in \mathbb{N}$ và $3\cdot 3+2,5\cdot 4=9+10=19\le 20$, nên $(3;4)$ thỏa mãn. d) Sai: với $(x;y)=(5;3)$, $3\cdot 5+2,5\cdot 3=15+7,5=22,5>20$, vượt quá 20 giờ nên không phải nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$; mệnh đề hoán đổi hai hệ số nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình đúng là $3x+2,5y\le 20$; mệnh đề viết $3x+2,5x<20$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 3+2,5\cdot 4=19\le 20$ và $3,4\in \mathbb{N}$ nên $(3;4)$ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 5+2,5\cdot 3=22,5>20$ nên $(5;3)$ không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình: $x+y\le 240$, $y\ge 40$, $x\ge 3y$ (a đúng). Miền nghiệm có 3 đỉnh: giao của $y=40$ và $x=3y$ là $(120;40)$; giao của $y=40$ và $x+y=240$ là $(200;40)$; giao của $x=3y$ và $x+y=240$ là $(180;60)$. Vậy miền nghiệm là một tam giác, không phải tứ giác (b sai). Điểm $C(200;40)$: $200+40=240\le 240$, $y=40\ge 40$, $200\ge 3\cdot 40=120$, nên $C$ thuộc miền nghiệm (c sai). Từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $4y\le 240\Rightarrow y\le 60$; đỉnh $(180;60)$ thỏa mãn hệ nên tung độ lớn nhất là 60 tại $A(180;60)$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng đầu tư không quá 240: $x+y\le 240$; khoản Y ít nhất 40: $y\ge 40$; khoản X ít nhất gấp 3 lần Y: $x\ge 3y$. Hệ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 3 đỉnh $(120;40)$, $(200;40)$, $(180;60)$ nên là tam giác, không phải tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình ($200+40=240$, $40\ge 40$, $200\ge 120$) nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $y\le 60$. Điểm $A(180;60)$ thỏa hệ nên có tung độ lớn nhất $y=60$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Biểu diễn miền nghiệm**

Xét từng bất phương trình:
- $x\le 0$: nửa mặt phẳng bờ $x=0$ (kể cả bờ), phía bên trái trục $Oy$.
- $y\ge -1$: nửa mặt phẳng bờ $y=-1$ (kể cả bờ), phía trên đường thẳng $y=-1$.
- $4x-3y\ge -12$: nửa mặt phẳng bờ đường thẳng $4x-3y=-12$ đi qua $(0;4)$ và $(-3;0)$ (kể cả bờ), phía chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ vì $4\cdot 0-3\cdot 0=0\ge -12$.
- $x+y\le 1$: nửa mặt phẳng bờ đường thẳng $x+y=1$ đi qua $(0;1)$ và $(1;0)$ (kể cả bờ), phía chứa gốc tọa độ.

Miền nghiệm là phần chung của bốn nửa mặt phẳng trên — một tứ giác lồi (kể cả biên) với các đỉnh:

- Giao $x=0$ và $y=-1$: $A(0;-1)$.
- Giao $y=-1$ và $4x-3y=-12$: $4x+3=-12\Rightarrow x=-\frac{15}{4}$, tức $B\left(-\frac{15}{4};-1\right)$.
- Giao $4x-3y=-12$ và $x+y=1$: thay $y=1-x$ vào: $4x-3(1-x)=-12\Rightarrow 7x=-9\Rightarrow x=-\frac{9}{7},y=\frac{16}{7}$, tức $C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$ (thỏa $x\le 0$, $y\ge -1$).
- Giao $x=0$ và $x+y=1$: $D(0;1)$.

(Lưu ý: giao của $x=0$ và $4x-3y=-12$ là $(0;4)$ nhưng không thỏa $x+y\le 1$ nên không phải đỉnh của miền.)

**b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $f(x;y)=4x-3y$**

Vì miền nghiệm là đa giác lồi, $f$ đạt GTLN, GTNN tại các đỉnh:

- Tại $A(0;-1)$: $f=0+3=3$.
- Tại $B\left(-\frac{15}{4};-1\right)$: $f=4\cdot \left(-\frac{15}{4}\right)+3=-15+3=-12$.
- Tại $C\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$: $f=-\frac{36}{7}-\frac{48}{7}=-12$.
- Tại $D(0;1)$: $f=-3$.

Kết luận: $\max f=3$ tại $(0;-1)$; $\min f=-12$ (đạt tại mọi điểm trên đoạn $BC$, ví dụ $\left(-\frac{15}{4};-1\right)$ và $\left(-\frac{9}{7};\frac{16}{7}\right)$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Cho bất phương trình $x+8y-200\ge 0$.

a) Thử $(a;b)=(200;0)$: $200+8\cdot 0-200=0\ge 0$, thỏa mãn. Vậy $(200;0)$ là một nghiệm (các đáp án khác cũng được, ví dụ $(0;25)$, $(100;50)$...).

b) Thử $(c;d)=(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$, không thỏa mãn. Vậy $(0;0)$ không là nghiệm của bất phương trình.

c) Biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng $x+8y-200=0$: đi qua hai điểm $(200;0)$ và $(0;25)$ (vì khi $y=0$ thì $x=200$; khi $x=0$ thì $y=25$).
- Vì bất phương trình có dấu $\ge$, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng trên, kể cả bờ (đường thẳng được vẽ nét liền).
- Lấy điểm thử $O(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$ nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, tức là phần mặt phẳng nằm về phía trên-trái của đường thẳng $x+8y-200=0$ (phía chứa điểm $(200;0)$ hướng về $x$ lớn hơn hoặc $y$ lớn hơn), kể cả đường thẳng bờ.

Tóm lại: miền nghiệm của $x+8y-200\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $x+8y-200=0$ (nét liền) không chứa điểm $O(0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và II sản xuất trong tháng ($x,y\in \mathbb{Z}$, $x\ge 0$, $y\ge 0$). Lợi nhuận: $P=500x+400y$ (nghìn đồng).

Ràng buộc về thời gian:
- Chiến: $3x+2y\le 180$
- Bình: $x+6y\le 220$

Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(60;0)$, $B\left(0;\frac{110}{3}\right)$ và giao điểm $D$ của hai đường thẳng $3x+2y=180$ và $x+6y=220$. Giải hệ: nhân phương trình thứ hai với 3 được $3x+18y=660$; trừ đi $3x+2y=180$ ta được $16y=480\Rightarrow y=30$, suy ra $x=40$. Vậy $D(40;30)$, là điểm nguyên.

Giá trị $P$ tại các đỉnh:
- $P(O)=0$
- $P(A)=500\cdot 60=30000$
- $P(B)=400\cdot \frac{110}{3}\approx 14666,7$
- $P(D)=500\cdot 40+400\cdot 30=20000+12000=32000$

Kiểm tra $D(40;30)$: $3\cdot 40+2\cdot 30=180\le 180$ và $40+6\cdot 30=220\le 220$, thỏa mãn. Vì $D$ là điểm nguyên thuộc miền nghiệm và hàm tuyến tính đạt lớn nhất tại đỉnh $D$, lợi nhuận lớn nhất là $32000$ nghìn đồng $=32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất 40 sản phẩm loại I và 30 sản phẩm loại II.