Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

Ta có $M_o=40+\frac{12-9}{12-9+12-10}(60-40)=52$
(Điểm: 0,5)

+ $n=100$, $Q_1\in [22;25)$
+ $Q_1=22+\frac{\frac{1}{4}.100-8}{27}(25-22)=\frac{215}{9}\approx 23,89$ (0,25)
+ $Q_3\in [28;31)$
$Q_3=28+\frac{\frac{3}{4}.100-(8+27+31)}{25}(31-28)=\frac{727}{25}=29,08$ (0,25)
+ ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{727}{25}-\frac{215}{9}=\frac{1168}{225}\approx 5,19$ (0,25)

+ $n=100$ , $Q_1\in [22;25)$
+ $Q_1=22+\frac{\frac{1}{4}.100-10}{26}(25-22)=\frac{617}{26}\approx 23,73$ (0,25)
+ $Q_3\in [28;31)$
$$Q_3=28+\frac{\frac{3}{4}.100-(10+26+32)}{25}(31-28)=\frac{721}{25}=28,84$$ (0,25)
+ ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{721}{25}-\frac{617}{26}=\frac{3321}{650}\approx 5,11$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
a) Tổng số lần chạy của A: $2+10+6+4+3=25>23$ → đúng.

b) Giá trị đại diện các lớp: 10,1; 10,3; 10,5; 10,7; 10,9.
Thời gian trung bình của A: ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 10,1+10\cdot 10,3+6\cdot 10,5+4\cdot 10,7+3\cdot 10,9}{25}=\frac{261,7}{25}=10,468\approx 10,47$ giây.
Của B: ${\bar{x}}_B=\frac{3\cdot 10,1+6\cdot 10,3+8\cdot 10,5+5\cdot 10,7+3\cdot 10,9}{25}=\frac{262,3}{25}=10,492\approx 10,49$ giây → đúng.

c) Với A ($n=25$): $Q_1$ ở vị trí $\frac{25}{4}=6,25$ thuộc lớp $[10,2;10,4)$: $Q_1=10,2+\frac{6,25-2}{10}\cdot 0,2=10,285$. $Q_3$ ở vị trí $\frac{3\cdot 25}{4}=18,75$ thuộc lớp $[10,6;10,8)$: $Q_3=10,6+\frac{18,75-18}{4}\cdot 0,2=10,6375$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=10,6375-10,285=0,3525\approx 0,35\ne 0,34$ → sai.

d) Phương sai của A: $s_A^2=\frac{2(-0,368{)}^2+10(-0,168{)}^2+6(0,032{)}^2+4(0,232{)}^2+3(0,432{)}^2}{25}\approx 0,0534$, $s_A\approx 0,23$.
Phương sai của B: $s_B^2=\frac{3(-0,392{)}^2+6(-0,192{)}^2+8(0,008{)}^2+5(0,208{)}^2+3(0,408{)}^2}{25}\approx 0,0559$, $s_B\approx 0,24$.
Vì $s_A<s_B$ nên A có thành tích ổn định hơn B → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số lần chạy của A là $2+10+6+4+3=25>23$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=261,7/25=10,468\approx 10,47$; ${\bar{x}}_B=262,3/25=10,492\approx 10,49$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=10,285$, $Q_3=10,6375$, khoảng tứ phân vị $\approx 0,35$, không phải 0,34.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s_A\approx 0,23<s_B\approx 0,24$ nên A ổn định hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+5+7+8+2=28$. Tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ $\frac{28}{4}=7$: tích lũy đến nhóm $[20;25)$ là 6, nên Q1 thuộc nhóm $[25;30)$: $Q_1=25+5\cdot \frac{7-6}{5}=26$. Tứ phân vị thứ ba là giá trị thứ $21$: tích lũy $6,11,18,26$ nên Q3 thuộc nhóm $[35;40)$: $Q_3=35+5\cdot \frac{21-18}{8}=35+\frac{15}{8}=\frac{295}{8}$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=\frac{295}{8}-26=\frac{87}{8}$, tối giản với $m=87,n=8$, nên $m+n=95$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+7+4+3=20$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 20}{4}=15$, tức quan sát thứ 15. Tần số tích lũy: nhóm $[0;4)$: 2; $[4;8)$: 6; $[8;12)$: 13; $[12;16)$: 17. Vì $13<15\le 17$ nên quan sát thứ 15 thuộc nhóm $[12;16)$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1214, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, thuộc nhóm $[8,8;9,0)$ với tần số 25, tần số tích lũy trước là 17:
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,8+0,064=8,864.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, thuộc nhóm $[9,0;9,2)$ với tần số 44, tần số tích lũy trước là 42:
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2=9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn: 0,29.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+7+4+3=20$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 20}{4}=15$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;4)$: 2; $[4;8)$: 6; $[8;12)$: 13; $[12;16)$: 17. Vì $13<15\le 17$ nên giá trị thứ 15 nằm trong nhóm $[12;16)$. Đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 1213, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+7+4+3=20$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 20}{4}=15$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;4)$: 2; $[4;8)$: 6; $[8;12)$: 13; $[12;16)$: 17. Vì $13<15\le 17$ nên giá trị thứ 15 nằm trong nhóm $[12;16)$. Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[12;16)$, khớp đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 5; 17; 42; 86; 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, nằm trong nhóm $[8,8;9,0)$ (tần số tích lũy trước là 17, tần số nhóm là 25):
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, nằm trong nhóm $[9,0;9,2)$ (tần số tích lũy trước là 42, tần số nhóm là 44):
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$IQR=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,29.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+7+4+3=20$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot 20}{4}=15$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;4)$: 2; $[4;8)$: 6; $[8;12)$: 13; $[12;16)$: 17. Vì $13<15\le 17$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $[12;16)$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+8+12+10+6=40$, nên trung vị là giá trị thứ $20$ và $21$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có $4$; nhóm $[20;40)$ có $4+8=12$; nhóm $[40;60)$ có $12+12=24\ge 20$. Vậy trung vị thuộc nhóm $[40;60)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [12;14): 4, [14;16): 8, [16;18): 10, [18;20): 6, [20;22): 2; n = 30. Vị trí tứ phân vị thứ nhất: 30/4 = 7,5. Tần số tích lũy: nhóm [12;14) đạt 4 < 7,5; nhóm [14;16) đạt 12 ≥ 7,5. Vậy Q1 thuộc nhóm [14;16). Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số $n=4+8+10+6+2=30$, nên trung vị là giá trị thứ 15 (và 16). Tần số tích lũy: nhóm $[12;14)$ là 4, nhóm $[14;16)$ là 12, nhóm $[16;18)$ là 22. Vì $12<15\le 22$ nên trung vị thuộc nhóm $[16;18)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+8+12+10+6=40$. Tứ phân vị thứ nhất ở vị trí $\frac{n}{4}=10$. Tần số tích lũy: nhóm $[0;20)$ có 4; nhóm $[20;40)$ có $4+8=12\ge 10$. Vậy $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$, khớp đáp án A (mã đề 101, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N=40$ nên $\frac{N}{4}=10$. Tần số tích lũy: $2;7;22;30;39;40$. Vì $7<10\le 22$ nên tứ phân vị thứ nhất nằm trong nhóm $[20;25)$ với $n_1=15$, $x_1=20$, $cf=7$: $$Q_1=20+\frac{10-7}{15}\cdot (25-20)=20+\frac{3}{15}\cdot 5=20+1=21.$$ Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu nhóm: dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm). Các trung điểm lần lượt là 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5. Tính: $\bar{x}=\frac{2\cdot 12,5+5\cdot 17,5+15\cdot 22,5+8\cdot 27,5+9\cdot 32,5+1\cdot 37,5}{40}=\frac{25+87,5+337,5+220+292,5+37,5}{40}=\frac{1000}{40}=25$. Vậy số trung bình là 25 (nghìn đồng), khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị. Với $N=40$, vị trí cần tìm là $\frac{N}{2}=20$. Tần số tích lũy: $2;7;22;30;39;40$. Vì $7<20\le 22$, giá trị thứ 20 thuộc nhóm $[20;25)$ với tần số nhóm $n=15$, cận dưới $20$, độ dài nhóm $5$, tần số tích lũy trước nhóm là $7$. Do đó $$Q_2=20+\frac{20-7}{15}\cdot 5=20+\frac{65}{15}=20+\frac{13}{3}=\frac{73}{3}.$$ Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 102).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị. Với $N=40$, ta xét vị trí $N/2=20$. Tần số tích lũy: $2;7;22;30;39;40$. Vì $7<20\le 22$ nên trung vị thuộc nhóm $[20;25)$ với nhóm trước có tần số tích lũy $7$, tần số nhóm là $15$, độ dài nhóm $5$. Do đó: $Me=20+(20-7)\cdot \frac{5}{15}=20+\frac{65}{15}=20+\frac{13}{3}=\frac{73}{3}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu nhóm: dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm). Các trung điểm lần lượt là 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5.
Tổng: $12,5\cdot 2+17,5\cdot 5+22,5\cdot 15+27,5\cdot 8+32,5\cdot 9+37,5\cdot 1=25+87,5+337,5+220+292,5+37,5=1000$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1000}{40}=25$ (nghìn đồng). Khớp với đáp án B.